جد النقط الحرجة للدوال التالية:

$f\left(x\right)=2x+3$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\\ & 2=0\end{array}$

غير ممكن لا توجد نقاط حرجة.

كيفية إيجاد النقط الحرجة

الحالة الأولى: نجد $f\text{'}\left(x\right)$ ثم نجعل $f\text{'}\left(x\right)=0$ ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد قيم $x$ ولتكن $x_1,x_2,\dots$ ثم نعوض قيم $\left(x\right)$ في الدالة الأصلية ونجد قيم $\left(y\right)$ المقابلة لها فتكون $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots$ هي النقط الحرجة.

(1)- جد النقط الحرجة للدوال التالية:

$f\left(x\right)=3x^2-6x$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=6x-6(f\text{'}(x)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right))\\ & 6x-6=0\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1\\ & y=f\left(1\right)=3(1{)}^2-6(1)=3-6=-3\end{array}$

النقطة الحرجة $\therefore (1,-3)$

$f\left(x\right)=2x+3$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right)\\ & 2=0\end{array}$

غير ممكن لا توجد نقاط حرجة.

$f\left(x\right)=\frac{3}{x}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3x^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-3x^{-2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-3}{x^2}f\text{'}\left(x\right)=0 \left(\mathrm{نجعل}\right) \\ \frac{-3}{x^2}=0\Rightarrow -3=0 \end{gathered}$$

غير ممكن لا توجد نقاط حرجة.

الحالة الثانية: إذا أعطيت نقطة حرجة يستفاد من ذلك في إيجاد الثوابت في الدالة المعطاة.

(2)- لتكن $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+5$ وكانت للدالة نقطة حرجة هي $\left(-1,10\right)$ فجد قيم الثوابت $a,b\in R$

$\left(-1,10\right)$

$\begin{array}{rl}& 10=(-1{)}^3+a(-1{)}^2-b+5\Rightarrow 10=-1+a-b+5\Rightarrow a-b=6\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b\Rightarrow f\text{'}(-1)=3(-1{)}^2-2a+b , f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0\\ & 3-2a+b=0\dots \dots \left(2\right)\end{array}$

وبحل المعادلتين آنياً نحصل على $a=-3 , b=-9$