تمارين (3-3)

(1)- أوجد قيمة $c$ التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

$f\left(x\right)=x^3-9x , x\in [-3,3]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-3,3\right]$ لأنها كثيرة حدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-3,3\right)$ لأنها كثيرة حدود.
3. نجد $f(-3) , f\left(3\right)$

$\begin{array}{rl}& f(-3)=(-3{)}^3-9(-3)=-27+27=0\\ & f\left(3\right)=(3{)}^3-9(3)=27-27=0\\ & f(-3)=f\left(3\right)\end{array}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3x^2-9\\ & f\text{'}\left(c\right)=3c^2-9\\ & 3c^2-9=0\Rightarrow 3c^2=9\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\mp \sqrt{3}\in (-3,3)\end{array}$

$f\left(x\right)=2x+\frac{2}{x} , x\in [\frac{1}{2},2]$

1. الدالة مستمرة على الفترة $[\frac{1}{2},2]$ لأن $0\notin [\frac{1}{2},2]$
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(\frac{1}{2},2)$ لأن $0\notin (\frac{1}{2},2)$
3. نجد $f\left(\frac{1}{2}\right) , f\left(2\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{\frac{1}{2}}=1+4=5\\ & f\left(2\right)=2\left(2\right)+\frac{2}{2}=4+1=5\\ & f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(2\right)\end{array}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2x+\frac{2}{x}\Rightarrow f\left(x\right)=2x+2x^{-1}\\ & f\text{'}\left(x\right)=2-2x^{-2}=2-\frac{2}{x^2}\\ & f\text{'}\left(c\right)=2-\frac{2}{c^2}\Rightarrow 2-\frac{2}{c^2}=0\Rightarrow \frac{2c^2-2}{c^2}=0\Rightarrow 2c^2-2=0\Rightarrow 2c^2=2\\ & \therefore c^2=1\Rightarrow \therefore c=1\in (\frac{1}{2},2) , c=-1\notin (\frac{1}{2},2) \left(\mathrm{السالب} \mathrm{نهمل}\right)\end{array}$

$f\left(x\right)={(x^2-3)}^2 , x\in [-1,1]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-1,1\right]$
2. الدالة قابلة للاشتقاق على $\left(-1,1\right)$
3. نجد $f(-1) , f\left(1\right)$

$\begin{array}{rl}& f(-1)=(1-3{)}^2=4\\ & f\left(1\right)=(1-3{)}^2=4\\ & f(-1)=f\left(1\right)\end{array}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2(x^2-3).2x=4x(x^2-3)\\ & f\left(c\right)=4c(c^2-3)\Rightarrow 4c(c^2-3)=0\\ & \text{either }4c=0\Rightarrow c=0\in (-1,1)\\ & \text{or }{c}^2-3=0\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\mp \sqrt{3}\notin (-1,1)\end{array}$

(2)- جد تقريباً لكل مما يلي باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة:

$\sqrt{63}+\sqrt[3]{63}$

$\begin{array}{rl}& a=64 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=63\\ & h=b-a=63-64=-1\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\\ & f\left(64\right)=\sqrt{64}+\sqrt[3]{64}\Rightarrow f\left(64\right)=8+4=12\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\text{'}\left(64\right)=\frac{1}{2\sqrt{64}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(64{)}^2}}\\ & f\text{'}\left(64\right)=\frac{1}{2\left(8\right)}+\frac{1}{3\left(16\right)}=\frac{1}{16}+\frac{1}{48}=\frac{3+1}{48}=\frac{4}{48}=\frac{1}{12}\\ & f\text{'}\left(64\right)=0.083\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(64+(-1\left)\right)\cong f\left(64\right)+(-1)f\text{'}\left(64\right)\cong 12-0.083=11.917\end{array}$

$(1.04{)}^3+3(1.04{)}^4$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=1\\ & b=1.04\\ & h=1.04-1=0.04\\ & f\left(x\right)=x^3+3x^4\\ & f\left(1\right)=1+3=4\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2+12x^3\\ & f\text{'}\left(1\right)=3+12=15\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f\left(1.04\right)\cong f\left(1\right)+\left(0.04\right)\left(15\right)\cong 4+0.6=4.6\end{array}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=8\\ & b=9\\ & h=9-8=1\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{\frac{-1}{3}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{3}{x}^{\frac{-4}{3}}=\frac{-1}{3\sqrt[3]{x^4}}\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{a^4}}\\ & f\left(8\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}\\ & f\text{'}\left(8\right)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{84}}=\frac{-1}{3}\cdot \frac{1}{(2{)}^4}=\frac{-1}{3}\cdot \frac{1}{16}=\frac{-1}{48}\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(8+1)\cong f\left(8\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(8\right)\\ & f\left(9\right)\cong \frac{1}{2}+\frac{-1}{48}\cong \frac{1}{2}-\frac{1}{48}\cong \frac{24-1}{48}=\frac{23}{48}=0.479\end{array}$

$\frac{1}{101}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=100\\ & b=101\\ & h=101-100=1\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{x}=x^{-1}\\ & f\text{'}\left(x\right)=-x^{-2}\\ & f\left(100\right)=\frac{1}{100}=0.01\\ & f\text{'}\left(100\right)=-(100{)}^{-2}=\frac{-1}{(100{)}^2}=\frac{-1}{10000}=-0.0001\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(100+1)\cong f\left(100\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(100\right)\\ & f\left(101\right)\cong 0.01+(-0.0001)\cong 0.01-0.0001\cong 0.0099\end{array}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} , \sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{0.5}=\sqrt{0.50}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=0.49\\ & b=0.50\\ & h=0.50-0.49=0.01\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & f\left(0.49\right)=\sqrt{0.49}=0.7\\ & f\text{'}\left(0.49\right)=\frac{1}{2\sqrt{0.49}}=\frac{1}{2\left(0.7\right)}=\frac{1}{1.4}=\frac{10}{14}=0.714\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f(0.49+0.01)\cong 0.7+\left(0.01\right)\left(0.714\right)\\ & f\left(0.50\right)\cong 0.7+0.00714\cong 0.70714\end{array}$

(3)- كرة نصف قطرها $\left(6cm\right)$ طليت بطلاء سمكه $\left(0.1cm\right)$ جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

حجم كمية الطلاء = حجم الكرة مع الطلاء – حجم الكرة.

$b=6.1$ وهو يمثل نصف القطر للكرة مضافاً له كمية الطلاء.

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& h=6.1-6=0.1\\ & v=\frac{4}{3}\pi r^3\\ & v\text{'}\left(x\right)=\frac{4}{3}\pi 3x^2=4\pi x^2\\ & v\text{'}\left(a\right)=4\pi a^2\\ & v\text{'}\left(6\right)=4\pi (6{)}^2=144\pi \\ & hv\text{'}\left(a\right)=\left(0.1\right)\left(144\pi \right)=14.4\pi \left(\mathrm{تقريبية} \mathrm{بصورة} \mathrm{الطلاء} \mathrm{كمية}\right)\end{array}$

(4)- كرة حجمها $84c{m}^3$ جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

• نفرض الحجم = $v$
• نفرض نصف القطر = $r$

$v=\frac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow 84\pi =\frac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow \therefore r^3=63\Rightarrow r=\sqrt[3]{63}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{array}{rl}& a=64\\ & b=63\\ & h=63-64=-1\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\left(64\right)=\sqrt[3]{64}=4\\ & f\text{'}\left(64\right)=\frac{1}{3^3\sqrt[3]{(64{)}^2}}=\frac{1}{3(4{)}^2}=\frac{1}{48}=0.02\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f\left(63\right)\cong f\left(64\right)+(-1)f\left(64\right)\cong 4-0.02=3.98\mathrm{cm}\end{array}$

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه $2.98cm$ فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

• نفرض نصف القطر = $r$
• نفرض الارتفاع = $h$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$$\begin{gathered} b=2.98 , a=3 \\ h=b-a=2.98-3=-0.02 \\ v=\frac{1}{3}\pi r^{2}h , h=2r\Rightarrow r=\frac{1}{2}h \\ \begin{array}{rl}& v=\frac{\pi }{3}h{\left(\frac{1}{2}h\right)}^2\\ & v=\frac{\pi }{12}{h}^3\\ & v\text{'}=\frac{\pi }{12}3h^2\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}=\frac{\pi }{4}{h}^2\\ & v\left(3\right)=\frac{1}{12}\pi (3{)}^3=\frac{27}{12}\pi =2.25\pi \\ & v\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{4}\pi a^2\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=\frac{1}{4}\pi (3{)}^2=\frac{9}{4}\pi =2.25\pi \\ & v(a+h)\cong v\left(a\right)+h{v}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\\ & v\left(2.98\right)\cong 2.205\pi m^3\end{array} \end{gathered}$$

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة $c$

$f\left(x\right)=(x-1{)}^4 , [-1,3]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-1,3\right]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على $\left(-1,3\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $f(-1) , f\left(3\right)$

$\begin{array}{rl}& f(-1)=(-1-1{)}^4=16\\ & f\left(3\right)=(3-1{)}^4=16\\ & f(-1)=f\left(3\right)\end{array}$

الدالة $f$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=4(x-1{)}^3\Rightarrow f\text{'}(c)=4(c-1{)}^3 ,f\text{'}\left(c\right)=0\\ & \left[4\right(c-1{)}^3=0]÷4\\ & (c-1{)}^3=0\Rightarrow c-1=0\Rightarrow c=1\in (-1,3)\end{array}$

$h\left(x\right)=x^3-x , [-1,1]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-1,1\right]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على $\left(-1,1\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $h\left(1\right) , h(-1)$

$\begin{array}{rl}& h(-1)=(-1{)}^3-(-1)=-1+1=0\\ & h\left(1\right)=(1{)}^3-(1)=1-1=0\\ & h(-1)=h\left(1\right)\end{array}$

الدالة $h$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{array}{rl}& h^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-1\Rightarrow h^{\mathrm{\prime }}\left(c\right)=3c^2-1 , h^{\mathrm{\prime }}\left(c\right)=0\\ & 3c^2-1=0\\ & 3c^2=1\Rightarrow c^2=\frac{1}{3}\Rightarrow c=\frac{1}{\sqrt{3}}\in (-1,1),c=-\frac{1}{\sqrt{3}}\in (-1,1)\end{array}$

$g\left(x\right)=x^2-3x , [-1,4]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-1,4\right]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على $\left(-1,4\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $g(-1) , g\left(4\right)$

$\begin{array}{rl}& g(-1)=(-1{)}^2-3(-1)=1+3=4\\ & g\left(4\right)=(4{)}^2-3(4)\Rightarrow 16-12=4\\ & g(-1)=g\left(4\right)\end{array}$

الدالة $g$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{array}{rl}& g\text{'}\left(x\right)=2x-3\Rightarrow g\text{'}\left(c\right)=2c-3 , g\text{'}\left(c\right)=0\\ & 2c-3=0\\ & 2c=3\Rightarrow c=\frac{3}{2}\in (-1,4)\end{array}$

$f\left(x\right)=\cos 2x+2\cos x , [0,2\pi ]$

1. الدالة مستمرة على $\left[0,2\pi \right]$
2. الدالة قابلة للاشتقاق على $\left(0,2\pi \right)$
3. نوجد $f\left(0\right) , f\left(2\pi \right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=\cos \left(0\right)+2\cos \left(0\right)=1+2=3\\ & f\left(2\pi \right)=\cos 4\pi +2\cos 2\pi =1+2=3\\ & f\left(0\right)=f\left(2\pi \right)\end{array}$

الدالة $f$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=-2\sin 2x-2\sin x\Rightarrow f\text{'}\left(c\right)=-2\sin 2c-2\sin c , f\text{'}\left(c\right)=0\\ & -2\sin \left(2c\right)-2\sin \left(c\right)=0\stackrel{÷-2}{⟹}\sin \left(2c\right)+\sin \left(c\right)=0\\ & 2\sin \left(c\right)\cos \left(c\right)+\sin \left(c\right)=0\Rightarrow \sin \left(c\right)[2\cos (c)+1]=0\\ & \text{either }\sin c=0\Rightarrow c=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots \Rightarrow c=\pi \in (0,2\pi )\\ & \text{or}2\cos \left(c\right)+1=0\Rightarrow \cos c=\frac{-1}{2}\end{array}$

زاوية الإسناد = $\frac{\pi }{3}$

الإشارة السالبة موجودة في الربعين الثاني والثالث بالنسبة لدال الـ $\cos$

$\begin{array}{rl}& c=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}\in (0,2\pi ) \left(\mathrm{ثاني} \mathrm{ربع}\right)\\ & c=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\in (0,2\pi ) \left(\mathrm{ثالث} \mathrm{ربع}\right)\end{array}$

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم $c$ الممكنة:

$f\left(x\right)=x^3-x-1 , [-1,2]$

1. الدالة $f$ مستمرة على الفترة المغلقة $\left[-1,2\right]$ لأنها كثيرة حدود.

2. الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,2\right)$ لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=3x^2-1\\ & f\text{'}\left(c\right)=3c^2-1 \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\\ & f(-1)=-1+1-1=-1\\ & f\left(2\right)=8-2-1=5\\ & f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{f\left(2\right)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$\begin{array}{rl}& 3c^2-1=2\Rightarrow [3c^2-3=0]÷3\Rightarrow c^2-1=0\Rightarrow c^2=1\\ & c^2=\mp 1\therefore c=1\in (-1,2)\\ & c=-1\notin (-1,2)\end{array}$

$h\left(x\right)=x^2-4x+5 , [-1,5]$

1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $\left[-1,5\right]$ لأنها كثيرة حدود.

2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,5\right)$ لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{array}{rl}& h\left(5\right)=25-20+5=10\\ & h(-1)=1+4+5=10\\ & h\text{'}\left(x\right)=2x-4\Rightarrow h\text{'}\left(c\right)=2c-4 \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\\ & h\text{'}\left(x\right)=\frac{h\left(b\right)-h\left(a\right)}{b-a}=\frac{h\left(5\right)-h(-1)}{5-(-1)}=\frac{10-10}{6}=0 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$2c-4=0\Rightarrow 2c=4\Rightarrow c=2\in [-1,5]$

$g\left(x\right)=\frac{4}{x+2} , [-1,2]$

1. الدالة $h$ مستمرة على الفترة المغلقة $\left[-1,2\right]$ لأن $-2\notin [-1,2]$

2. الدالة $h$ قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,2\right)$ لأن $-2\notin (-1,2)$

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{array}{rl}& g\left(x\right)=4(x+2{)}^{-1}\Rightarrow g\text{'}(x)=-4(x+2{)}^{-2}=\frac{-4}{(x+2{)}^2}\\ & g(-1)=\frac{4}{-1+2}=4\\ & g\left(2\right)=\frac{4}{2+2}=1\\ & g\text{'}\left(c\right)=\frac{-4}{(c+2{)}^2}\\ & g\text{'}\left(c\right)=\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{b-a}=\frac{g\left(2\right)-g(-1)}{2-(-1)}=\frac{1-4}{3}=\frac{-3}{3}=-1\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$\begin{array}{rl}& \frac{-4}{(c+2{)}^2}=-1\Rightarrow [-(c+2{)}^2=-4].-1\\ & (c+2{)}^2=4 \left(\mathrm{بالجذر}\right)\\ & c+2=\pm 2\\ & \text{either }c+2=2\Rightarrow c=0\in (-1,2)\\ & \text{or }c+2=-2\Rightarrow c=-4\notin (-1,2)\end{array}$

$B\left(x\right)=\sqrt[3]{(x+1{)}^2} , [-2,7]$

1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $\left[-2,7\right]$
2. الدالة $B\left(x\right)$ غير قابلة للاشتقاق عند $x=-1$ لأن $-1\in (-2,7)$
3. الدالة $B\left(x\right)$ لا تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لأن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x=-1$

السبب للاطلاع: (توضيح عدم قابلية الاشتقاق).

$\begin{array}{rl}& B\left(x\right)=(x+1{)}^{\frac{2}{3}}\Rightarrow B\text{'}(x)=\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{-1}{3}}=\frac{2}{3(x+1{)}^{\frac{1}{3}}}\\ & 3(x+1{)}^{\frac{1}{3}}=0]÷3\Rightarrow (x+1{)}^{\frac{1}{3}}=0\therefore x+1=0\Rightarrow x=-1\in [-2,7]\end{array}$