باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقرباً لثلاث مراتب عشرية على الأقل كلاً مما يأتي:

$\sqrt[3]{7.8}$

$\begin{array}{rl}& a=8 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=7.8\\ & h=b-a=7.8-8=-0.2\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(8\right)=\sqrt[3]{8}=2\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(8{)}^2}}=\frac{1}{3(2{)}^2}=\frac{1}{12}=0.083\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)⟹f(8+(-0.2\left)\right)\cong f\left(8\right)+(-0.2)f\text{'}\left(8\right)\\ & f\left(7.8\right)\cong 2-\left(0.2\right)\left(0.083\right)\cong 2-0.0166\cong 1.9834\end{array}$

التقريب باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة (نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة)

إذا كانت $f$ دالة مستمرة ومعرفة على $\left[a,b\right]$ وقابلة للاشتقاق في $\left(a,b\right)$ ولو اعتبرنا $(h=b-a)$ فإن $b=a+h$ حيث $h\ne 0 , h\in R$ فإنه بموجب مبرهنة القيمة المتوسطة نحصل على:

$f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{h}\Rightarrow f\text{'}\left(c\right)=\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\Rightarrow f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(c\right)$

وعندما يكون اقتراب $b$ من $a$ قرباً كافياً تكون في هذه الحالة $h$ صغيرة ويصبح الوتر صغيراً ونهايته قريبتان من $a$، أي أن المماس عند $c$ سيكون مماساً للمنحني عند نقطة قريبة جداً من النقطة $(x=a)$ ولذلك يصبح:

$f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)$ ويقال لـ $hf\text{'}\left(a\right)$ التغيير التقريبي للدالة.

ملاحظة: لإيجاد القيمة التقريبية باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة تتبع ما يلي:

1. نفرض دالة على شكل السؤال ونختار قيمة لـ $a$ قريبة من القيمة المعطاة في السؤال بحيث تخرج $f\left(a\right)$ مضبوطة ونجد $f\left(a\right)$
2. نجد قيمة $h$ حيث $h=b-a$
3. نجد $f\text{'}\left(a\right)$
4. نطبق القانون $f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)$ حيث $hf\text{'}\left(a\right)$هو التغيير التقريبي للدالة.

النوع الأول: عندما تكون الدالة موجودة في السؤال:

(1)- إذا كان $f\left(x\right)=x^3+3x^2+4x+5$ فجد بصورة تقريبية $f\left(1.001\right)$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

$$\begin{gathered} a=1 \\ \begin{array}{rl}& b=1.001\\ & h=b-a\Rightarrow 1.001-1=0.001\\ & f\left(a\right)=a^3+3a^2+4a+5\\ & f\left(1\right)=1+3+4+5=13\\ & f\text{'}\left(x\right)=3x^2+6x+4\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=3+6+4=13\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\left(a\right)\\ & f(1+0.001)\cong f\left(1\right)+\left(0.001\right)f\text{'}\left(1\right)\Rightarrow f\left(1.001\right)\cong 13+\left(0.001\right)\left(13\right)\\ & f\left(1.001\right)\cong 13+\left(0.013\right)\cong 13.013\end{array} \end{gathered}$$

النوع الثاني: عندما تكون الدالة غير موجودة في السؤال.

(2)- جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة تقريباً مناسباً للعدد $\sqrt{26}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى يسهل حسابه:

$\begin{array}{rl}& a=25\\ & b=26\\ & h=b-a=26-25=1\\ & f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt{a}\Rightarrow f\left(25\right)=\sqrt{25}=5\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{25}}=\frac{1}{2\left(5\right)}=\frac{1}{10}=0.1\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+h\text{f'}\left(a\right)\\ & f(25+1)\cong f\left(25\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(25\right)\Rightarrow f\left(26\right)\cong 5+\left(1\right)\left(0.1\right)=5.1\end{array}$

(3)- إذا كانت $f\left(x\right)=\sqrt[3]{3x+5}$ جد قيمة تقريبية للدالة $f\left(1.002\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a=1 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=1.002\\ & h=b-a=1.002-1=0.002\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt[3]{3x+5}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{3\sqrt[3]{(3x+5{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x+5{)}^2}}\\ & f\left(a\right)=\sqrt[3]{3\left(1\right)+5}=\sqrt[3]{8}=2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3a+5{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{\left(3\right(1)+5{)}^2}}=\frac{1}{(2{)}^2}=\frac{1}{4}=0.25\\ & h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=\left(0.002\right)\left(0.25\right)=0.00050=0.0005\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\Rightarrow f(1+0.002+h)\cong 2+0.0005\cong 2.0005\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد التغيير التقريبي $\sqrt[5]{(0.98{)}^3}+(0.98{)}^4+3$

$\begin{array}{rl}& a=1 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=0.98\\ & h=b-a=0.98-1=-0.02\\ & y=\sqrt[5]{x^3}+x^4+3=x^{\frac{3}{5}}+x^4+3\\ & y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{5}{x}^{\frac{-2}{5}}+4x^3\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\frac{3}{5}(1{)}^{\frac{-2}{5}}+4(1{)}^3=\frac{3}{5}+4=4.6\\ & h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=-0.02\left(4.6\right)=-0.092\end{array}$

(5)- أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها يساوي نصف قطر قاعدتها حجمها $124\mathrm{\pi }$ جد نصف قطر قاعدتها بصورة تقريبية.

الارتفاع يساوي نصف القطر $h=r$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& v=\pi r^{2}h\Rightarrow r=\pi r^2\cdot r\Rightarrow v=\pi r^3\Rightarrow 124\pi =\pi r^3\\ & r^3=124\Rightarrow v=\sqrt[3]{124}\\ & a=125 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=124\\ & h=b-a=124-125=-1\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f(x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\left(a\right)=f\left(125\right)=\sqrt[3]{125}=5\\ & f^{\mathrm{\prime }\left(a\right)}=f^{\mathrm{\prime }\left(125\right)}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(125{)}^2}}=\frac{1}{3(5{)}^2}=\frac{1}{75}=0.013\end{array} \\ \begin{array}{rl}& h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=(-1)\cdot \left(0.013\right)=-0.013\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\cong 5-0.013\cong 4.987\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: إذا كان المطلوب إيجاد حجم المادة أو كمية المادة نكتفي بإيجاد $h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)$ أي التغير التقريبي.

ثالثاً: عندما يكون في السؤال عبارة من قانون مساحة أو حجم أو ما شابه ذلك.

(6)- كرة مجوفة قطرها $3cm$ وسمك الغلاف $0.2cm$ جد حجم المادة المصنوعة منها.

$\begin{array}{rl}& a=3\\ & h=0.2\\ & v=\frac{4}{3}{r}^3\pi \\ & f\left(x\right)=\frac{4\pi }{3}{x}^3\Rightarrow f(x{)}^{\mathrm{\prime }}=4\pi x^2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=4\pi (3{)}^2=36\pi \\ & h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=\left(0.2\right)\left(36\pi \right)=7.2\pi \left(\mathrm{المصنوعة} \mathrm{المادة} \mathrm{حجم}\right)\end{array}$

(7)- مكعب طول حرفه $9.98cm$ جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

ليكن $v$ حجم المكعب الذي طول حرفه $x$

$\begin{array}{rl}& v\left(x\right)=x^3\\ & \{\begin{array}{c}b=9.98\\ a=10\end{array}\Rightarrow h=b-a=9.98-10=-0.02\\ & v\left(10\right)={10}^3=1000\\ & v\left(a\right)=a^3\\ & v^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=3a^2\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}\left(10\right)=3(10{)}^2=300\\ & v(a+h)\cong v\left(a\right)+h{v}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\\ & v(10+(-0.02\left)\right)\cong v\left(10\right)+(-0.02)v^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\\ & v\left(9.98\right)\cong 1000+(-0.02)\left(300\right)\cong 994{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

(8)- لتكن $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}$ فإذا تغيرت $x$ من $8$ إلى $8.06$ فما مقدار التغيير التقريبي للدالة.

$a=8 , b=8.06$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& h=b-a=8.06-8=0.06\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(8\right)=\frac{2}{3}\sqrt[3]{8}=\frac{2}{3\left(2\right)}=\frac{1}{3}\\ & hf\text{'}\left(a\right)\cong \left(0.06\right)\left(\frac{1}{3}\right)\cong 0.02 \left(\mathrm{التقريبي} \mathrm{التغير} \mathrm{مقدار}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(9)- يراد طلاء مكعب طول حرفه $10cm$ فإذا كان سمك الطلاء $0.15cm$ أوجد حجم الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

سمك الطلاء = $0.3=0.15+0.15$

ليكن $v$ حجم المكعب الذي طول حرفه $x$

طول حرف المكعب مع الطلاء $b=10.3$

نفرض $a=10$ أقرب رقم للعدد المعطى

$\begin{array}{rl}& h=b-a=10.3-10=0.3\\ & v\left(x\right)=x^3\Rightarrow v\text{'}\left(x\right)=3x^2\\ & v\text{'}\left(a\right)=3a^2\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}\left(10\right)=3(10{)}^2=300\\ & hv\text{'}\left(a\right)\cong hv\text{'}\left(10\right)=\left(0.3\right)\left(300\right)\cong 90{\mathrm{cm}}^3 \left(\mathrm{تقريبية} \mathrm{بصورة} \mathrm{الطلاء} \mathrm{حجم}\right)\end{array}$

(10)- باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقرباً لثلاث مراتب عشرية على الأقل كلاً مما يأتي:

$\sqrt[3]{7.8}$

$\begin{array}{rl}& a=8 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=7.8\\ & h=b-a=7.8-8=-0.2\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(8\right)=\sqrt[3]{8}=2\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(8{)}^2}}=\frac{1}{3(2{)}^2}=\frac{1}{12}=0.083\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)⟹f(8+(-0.2\left)\right)\cong f\left(8\right)+(-0.2)f\text{'}\left(8\right)\\ & f\left(7.8\right)\cong 2-\left(0.2\right)\left(0.083\right)\cong 2-0.0166\cong 1.9834\end{array}$

$\sqrt{17}+\sqrt[4]{17}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a=16\\ & b=17\\ & h=17-16=1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\\ & f\left(16\right)=\sqrt{16}+\sqrt[4]{16}=4+2=6\\ & f\text{'}\left(16\right)=\frac{1}{2\sqrt{16}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{(16{)}^3}}=\frac{1}{2\left(4\right)}+\frac{1}{4(2{)}^3}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=\frac{4+1}{32}=\frac{5}{32}=0.156\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f\left(17\right)\cong f\left(16\right)+\left(1\right)f\text{'}\left(16\right)\cong 6+\left(1\right)\left(0.156\right)\cong 6.156\end{array} \end{gathered}$$

$\sqrt[3]{0.12}$

$\begin{array}{rl}& a=0.125\\ & b=0.120\\ & h=b-a=0.120-0.125=-0.005\\ & f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ & f\left(a\right)=f\left(0.125\right)=\sqrt[3]{0.125}=0.5\\ & f\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(0.125\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{(0.125{)}^2}=\frac{1}{3(0.5{)}^2}=\frac{1}{3\left(0.25\right)}=\frac{1}{0.75}=1.333\\ & f(a+h)\cong f\left(a\right)+hf\text{'}\left(a\right)\\ & f\left(0.12\right)\cong f\left(0.125\right)+(-0.005)\left(1.333\right)\\ & f\left(0.12\right)\cong 0.5-0.006665\cong 0.493335\end{array}$

(11)- مخروط دائري قائم ارتفاعه ثلاثة أمثال نصف قطره فإذا كان نصف قطره $1.90$ جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a=2 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=1.9\\ & h=b-a=1.9-2=-0.1\\ & h=3\left(r\right)\Rightarrow h=3r\\ & v=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h\Rightarrow v=\frac{\pi }{3}{r}^2.3r\Rightarrow v=\pi r^3\\ & v=\pi x^3 , v^{\mathrm{\prime }}=3x^2\pi \\ & f\left(a\right)=f\left(2\right)=\pi (2{)}^3=8\pi \end{array} \\ \begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=3\pi (2{)}^2=12\pi \\ & f(a+h)=f\left(a\right)+h{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)\\ & f(2+(-0.1\left)\right)=8\pi +(-0.1)12\pi =8\pi -1.2\pi =6.8\pi \end{array} \end{gathered}$$