بين هل أن مبرهنة رول تتحقق على الدوال الآتية؟ ثم جد قيمة $c$ عند تحقق المبرهنة:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-2} , x\in [-1,1]$

1. مجال الدالة هو $R/2$ حيث أن $x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$ الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-1,1\right]$ لأن الفترة تقع ضمن مجالها.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,1\right)$ لأن الفترة ضمن مجالها.
3. نجد $f\left(1\right) , f(-1)$

$\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=\frac{(1{)}^2-1}{1-2}=\frac{0}{-1}=0\\ & f(-1)=\frac{(-1{)}^2-1}{-1-2}=\frac{0}{-3}=0\\ & f\left(1\right)=f(-1)\end{array}$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض $(x=c)$ ونفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}f\text{'}\left(x\right)& =\frac{(x-2)\cdot \left(2x\right)-(x^2-1)\cdot \left(1\right)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+1}{(x-2{)}^2}\\ f\text{'}\left(c\right)& =\frac{c^2-4c+1}{(c-2{)}^2} , f\text{'}\left(c\right)=0\end{array}$

نستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة:

$$\begin{gathered} \frac{c^2-4c+1}{(c-2{)}^2}=0\Rightarrow c^2-4c+1=0{\left(\frac{-4}{2}\right)}^2=(-2{)}^2=4 \\ \begin{array}{rl}& c^2-4c=-1\Rightarrow c^2-4c+4=-1+4\Rightarrow (c-2{)}^2=3\stackrel{\mathrm{بالجذر}}{=}c-2=\pm \sqrt{3}\\ & c=\pm \sqrt{3}+2 ,\text{either }c=\sqrt{3}+2\notin (-1,1)\text{or }c=-\sqrt{3}+2\in (-1,1)\end{array} \end{gathered}$$

مبرهنتا رول والقيمة المتوسطة

مبرهنة رول (Rolle's Theorem):

إذا كانت f:

1. مستمرة في الفترة المغلقة $[a,b]$
2. قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة $(a,b)$
3. $f\left(b\right)=f\left(a\right)$

فإنه يوجد على الأقل قيمة واحد $c$ تنتمي إلى $(a,b)$ وتحقق $f\text{'}\left(c\right)=0$

ملاحظات:

1. هذه النظرية تعني هندسياً وجود نقطة واحدة على الأقل تنتمي للمنحني وتكون موازية لمحور السينات.
2. عند عدم توفر أحد الشروط الثلاثة فإن مبرهنة رول لا تنطبق.

(1)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة $c$ الممكنة.

$f\left(x\right)=(2-x{)}^2 , x\in [0,4]$

1. الدالة مستمرة على الفترة $\left[0,4\right]$ لأنها كثيرة حدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(0,4\right)$ لأنها كثيرة حدود.
3. نجد $f\left(4\right) , f\left(0\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=(2-0{)}^2=4\\ & f\left(4\right)=(2-4{)}^2=(-2{)}^2=4\end{array}$

$f\left(0\right)=f\left(4\right)$ الدالة $f$ تحقق مبرهنة رول ضمن الفترة المعطاة.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=2(2-x)(-1)=-2(2-x)\\ & f\text{'}\left(c\right)=-2(2-c) , f\text{'}\left(c\right)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -2(2-c)=0]÷-2\\ & 2-c=0\Rightarrow \therefore c=2\in (0,4)\end{array} \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=9x+3x^2-x^3 , x\in [-1,1]$

1. الدالة مستمرة على الفترة $\left[-1,1\right]$ لأنها كثيرة حدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,1\right)$ لأنها كثيرة حدود.
3. نجد $f(-1) , f\left(1\right)$

$\begin{array}{rl}& f(-1)=9(-1)+3(-1{)}^2-(-1{)}^3=-9+3+1=-5\\ & f\left(1\right)=9\left(1\right)+3(1{)}^2-(1{)}^3=9+3-1=11\end{array}$

$f(-1)\ne f\left(1\right)$ فإن الدالة $f$ لا تحقق مبرهنة رول لأن الشرط الثالث لم يتحقق.

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cl}{x}^2+1& x\in [-1,2]\\ -1& x\in [-4,-1]\end{array}$

مجال الدالة = $[-4,2]$

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -1^{+}}{lim}(x^2+1)=(-1{)}^2+1=2=L_1\\ & \underset{x\to -1^{-}}{lim}-1=-1=L_2\\ & \therefore {\mathrm{L}}_1\ne {\mathrm{L}}_2\end{array}$

الدالة غير مستمرة لأن الغاية غير موجودة عند $x=-1$ وهو الحد الفاصل للفترة.

الدالة $f$ لا تحقق مبرهنة رول.

$f\left(x\right)=k , x\in [a,b]$

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $[a,b]$ لأنها دالة ثابتة.
2. الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة $(a,b)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. $f\left(a\right)=k , f\left(b\right)=k , f\left(a\right)=f\left(b\right)=k$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وإن قيمة $c$ يمكن أن تكون أي قيمة ضمن الفترة لأن $(a,b)$$f^{\mathrm{\prime }}\left(c\right)=0$ دائماً.

(2)- بين أن هذه الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول؟

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2-9} , x\in [0,5]$

1. الدالة غير مستمرة على $\left[0,5\right]$ لأن الدالة غير معرفة.
2. الدالة غير قابلة للاشتقاق على $\left(0,5\right)$ لأنها غير معرفة عند $x=3$

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

$f\left(x\right)=\frac{3x}{2x-4} , x\in [-1,3]$

1. الدالة غير مستمرة على $x=2$ لأن الدالة غير معرفة.
2. الدالة غير قابلة للاشتقاق لأنها غير معرفة عند $x=2$

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2} , x\in [-1,1]$

1. الدالة مستمرة على $\left[-1,1\right]$ لأنها مستمرة على المجموعة الحقيقية $R$
2. الدالة غير قابلة للاشتقاق على $\left(-1,1\right)$ لأنها غير معرفة عند $x=0$ ,skghp/ `g; ;hgNjd:

$f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

ملاحظة:

• الدالة المطلقة دائماً مستمرة على أي فترة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عندما تكون $x$ تجعل الدالة = $0$
• الدالة المثلثية$\sin ax , \cos ax$ هي دوال مستمرة وقابلة للاشتقاق دائماً لأن مجالها $R$

(3)- هل الدالة $f\left(x\right)=\cos 2x , x\in [\frac{-\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ تحقق شروط مبرهنة رول ثم جد $c$ إن أمكن.

1. الدالة مستمرة على $[\frac{-\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$
2. الدالة قابلة للاشتقاق ومعرفة على $[\frac{-\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$
3. نجد $f\left(a\right) , f\left(b\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=f(-\frac{\pi }{4})=\cos 2(-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{2}=0\\ & f\left(b\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0\\ & f\left(a\right)=f\left(b\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=-2\sin 2x\\ & f\text{'}\left(c\right)=-2\sin 2c , f\text{'}\left(c\right)=0\\ & -2\sin 2c=0\Rightarrow 2c=0\Rightarrow c=0 , 0\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})\\ & 2c=\pi \Rightarrow c=\frac{\pi }{2}\notin (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})\end{array}$

(4)- جد قيمة $c$ للدالة $f\left(x\right)=\sin x+\cos x , x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ التي تحقق شروط مبرهنة رول.

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول فنقوم بالاشتقاق

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sin x+\cos x\\ & f\text{'}\left(x\right)=\cos x-\sin x\\ & f\text{'}\left(c\right)=\cos c-\sin c , f\text{'}\left(c\right)=0\\ & \cos c-\sin c=0\Rightarrow [\cos c=\sin c]÷\cos c\Rightarrow 1=\tan c\\ & \text{either }c=\frac{\pi }{4}\in (0,\frac{\pi }{2})\text{or}c=\frac{5\pi }{4}\notin (0,\frac{\pi }{2})\end{array}$

(5)- إذا كانت الدالة $f\left(x\right)=x^2+2x+1 , x\in [a,3]$ تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة $a$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.

$\begin{array}{rl}& \therefore f\left(a\right)=f\left(3\right)\\ & a^2+2a+1=(3{)}^2+2(3)+1a^2+2a+1=16\\ & a^2+2a-15=0\\ & (a+5)(a-3)=0\\ & \text{either }a=-5\\ & \text{or }a=3 \left(\mathrm{يهمل} \mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right)\end{array}$

(6)- إذا كانت الدالة $f\left(x\right)=a{x}^2-x^3 , x\in [-2,3]$ تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة $a$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.

$\begin{array}{rl}& \therefore f(-2)=f\left(3\right)\\ & a(-2{)}^2-(-2{)}^3=a(3{)}^2-(3{)}^3\\ & 4a+8=9a-27\Rightarrow -9a+4a=-8-27\Rightarrow -5a=-35\Rightarrow a=\frac{-35}{-5}=7\end{array}$

(7)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة $c$ عند تحقق المبرهنة:

$f\left(x\right)=8x^2-x^4 , x\in [-2,2]$

1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $[-2,2]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة $\left(-2,2\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $f(-2) , f\left(2\right)$

$\begin{array}{rl}& f(-2)=8(-2{)}^2-(-2{)}^4=32-16=16\\ & f\left(2\right)=8(2{)}^2-(2{)}^4=32-16=16\\ & f(-2)=f\left(2\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=16x-4x^3\\ & f\text{'}\left(c\right)=16c-4c^3 , f\text{'}\left(c\right)=0\\ & [16c-4c^3=0]÷4\\ & 4c-c^3=0\Rightarrow c(4-c^2)=0\\ & \text{either }c=0\in (-2,2)\\ & \text{or }{c}^2=4\Rightarrow c=\pm 2\notin (-2,2)\end{array}$

(8)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق على الدوال الآتية؟ ثم جد قيمة $c$ عند تحقق المبرهنة:

$f\left(x\right)=\sin x , [0,2\pi ]$

1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $[0,2\pi ]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة $\left(0,2\pi \right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $f\left(0\right) , f\left(2\pi \right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=\sin \left(0\right)=0\\ & f\left(2\pi \right)=\sin \left(2\pi \right)=0\\ & f\left(0\right)=f\left(2\pi \right)\end{array}$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض $(x=c)$ ونفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sin x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\cos x\\ & f\text{'}\left(c\right)=\cos c\Rightarrow \cos c=0\\ & \text{either }c=\frac{\pi }{2}\Rightarrow c=\frac{\pi }{2}\in (0,2\pi ) , \text{or}c=\frac{3\pi }{2}\in (0,2\pi )\end{array}$

$f\left(x\right)=9 , [5,9]$

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[5,9\right]$ لأنها دالة ثابتة.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(5,9\right)$
3. نجد $f\left(5\right) , f\left(9\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(5\right)=9\\ & f\left(9\right)=9\\ & f\left(5\right)=f\left(9\right)\end{array}$

الدالة تحقق مبرهنة رول وإن قيمة $\left(c\right)$ يمكن أن تكون ضمن الفترة $\left(5,9\right)$

$f\left(x\right)=\sqrt{16-x^2} , x\in [-2,2]$

أوسع مجال للدالة $\left[-4,4\right]$

$\because 16-x^2=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-4,4\right]$ لأنها مستمرة على الفترات الجزئية.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-4,4\right)$
3. نجد $f\left(2\right) , f(-2)$

$\begin{array}{rl}& f\left(2\right)=\sqrt{16-(2{)}^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}\\ & f(-2)=\sqrt{16-(-2{)}^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}\\ & \therefore f(-2)=f\left(2\right)\end{array}$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض $(x=c)$ ونفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}& f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{16-x^2}}\Rightarrow f\text{'}\left(c\right)=\frac{-c}{\sqrt{16-c^2}} , f\text{'}\left(c\right)=0\\ & \frac{-c}{\sqrt{16-c^2}}=0\Rightarrow -c=0\Rightarrow c=0\in (-4,4)\end{array}$

ملاحظة: نقوم بتطبيق شروط الاستمرارية الثلاثة على الدوال النسبية.

$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-2} , x\in [-1,1]$

1. مجال الدالة هو $R/2$ حيث أن $x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$ الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-1,1\right]$ لأن الفترة تقع ضمن مجالها.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-1,1\right)$ لأن الفترة ضمن مجالها.
3. نجد $f\left(1\right) , f(-1)$

$\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=\frac{(1{)}^2-1}{1-2}=\frac{0}{-1}=0\\ & f(-1)=\frac{(-1{)}^2-1}{-1-2}=\frac{0}{-3}=0\\ & f\left(1\right)=f(-1)\end{array}$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض $(x=c)$ ونفرض $f\text{'}\left(c\right)=0$

$\begin{array}{rl}f\text{'}\left(x\right)& =\frac{(x-2)\cdot \left(2x\right)-(x^2-1)\cdot \left(1\right)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+1}{(x-2{)}^2}\\ f\text{'}\left(c\right)& =\frac{c^2-4c+1}{(c-2{)}^2} , f\text{'}\left(c\right)=0\end{array}$

نستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة:

$$\begin{gathered} \frac{c^2-4c+1}{(c-2{)}^2}=0\Rightarrow c^2-4c+1=0{\left(\frac{-4}{2}\right)}^2=(-2{)}^2=4 \\ \begin{array}{rl}& c^2-4c=-1\Rightarrow c^2-4c+4=-1+4\Rightarrow (c-2{)}^2=3\stackrel{\mathrm{بالجذر}}{=}c-2=\pm \sqrt{3}\\ & c=\pm \sqrt{3}+2 ,\text{either }c=\sqrt{3}+2\notin (-1,1)\text{or }c=-\sqrt{3}+2\in (-1,1)\end{array} \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=2\sin x-\cos 2x , x\in [0,\pi ]$

1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $\left[0,\pi \right]$ لأنها دوال مثلثية.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(0,\pi \right)$ لأن الفترة ضمن مجالها.
3. نجد $f\left(0\right) , f\left(\pi \right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(\pi \right)=2\sin \pi -\cos 2\pi =2\left(0\right)-\left(1\right)=-1\\ & f\left(0\right)=2\sin \left(0\right)-\cos 2\left(0\right)=2\left(0\right)-\left(1\right)=-1\\ & f\left(\pi \right)=f\left(0\right)\end{array}$

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وتوجد قيمة واحدة على الأقل $c\in (a,b)$ وتحقق $f\text{'}\left(c\right)=0$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2\cos x-(-\sin 2x.(2\left)\right)=2\cos x+2\sin 2x \\ f\text{'}\left(c\right)=2\cos c+2\sin 2c , f\text{'}\left(c\right)=0 \\ \begin{array}{rl}& 2\cos c+2\sin 2c=0\Rightarrow 2\cos c+2(2\sin c\cos c)=0\\ & 2\cos c+4\sin c2\cos c=0\Rightarrow 2\cos c(1+2\sin c)=0\end{array} \\ \text{either }2\cos c=0\Rightarrow \cos c=0\therefore c=\frac{\pi }{2}\in (0,\pi ) \\ \text{or }1+2\sin c=0\Rightarrow 2\sin c=-1\Rightarrow \sin c=\frac{-1}{2}\therefore \theta =\frac{\pi }{6} \left(\mathrm{الاسناد} \mathrm{زاوية}\right) \\ c=\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}\notin (0,\pi ) \end{gathered}$$

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x+6& \mathrm{\forall }x<1\\ 7-4x& \mathrm{\forall }x\ge 1\end{array}$

$\begin{array}{ll}7-4x& \mathrm{\forall }x\ge 1 \left(\mathrm{حدود} \mathrm{كثيرة} \mathrm{لأنها} \mathrm{مستمرة}\right)\\ x^2-4x+6& \mathrm{\forall }x<1 \left(\mathrm{حدود} \mathrm{كثيرة} \mathrm{لأنها} \mathrm{مستمرة}\right)\end{array}$

نطبق شروط الاستمرارية الثلاثة على هذا النوع من الدوال:

$$\begin{gathered} \text{1) }f\left(1\right)=7-4\left(1\right)=3 \\ \text{2)}\underset{x\to 1^{+}}{lim}(7-4x)=7-4\left(1\right)=3=L_1 \\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}(x^2-4x+6)=(1{)}^2-4(1)+6=3=L_2 \\ \therefore {\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2=3 \left(\mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\right) \\ \text{3) }f(1)=\underset{x\to 1}{lim}f(x)=3 \left(\mathrm{المعطاة} \mathrm{الفترة} \mathrm{على} \mathrm{مستمرة} \mathrm{الدالة}\right) \\ {f}^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x-4& \mathrm{\forall }x<1\\ -4& \mathrm{\forall }x\ge 1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}(1{)}^{+}=-4\\ & f^{\mathrm{\prime }}(1{)}^{-}=2(1)-4=-2\end{array} \end{gathered}$$