حلول الأسئلة
السؤال
بين أن هذه الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول؟
الحل
- الدالة مستمرة على لأنها مستمرة على المجموعة الحقيقية
- الدالة غير قابلة للاشتقاق على لأنها غير معرفة عند ,skghp/ `g; ;hgNjd:
الدالة لا تحقق مبرهنة رول.
ملاحظة:
- الدالة المطلقة دائماً مستمرة على أي فترة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عندما تكون تجعل الدالة =
- الدالة المثلثية هي دوال مستمرة وقابلة للاشتقاق دائماً لأن مجالها
مشاركة الحل
مبرهنتا رول والقيمة المتوسطة
مبرهنة رول (Rolle's Theorem):
إذا كانت f:
- مستمرة في الفترة المغلقة
- قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة
فإنه يوجد على الأقل قيمة واحد تنتمي إلى وتحقق
ملاحظات:
- هذه النظرية تعني هندسياً وجود نقطة واحدة على الأقل تنتمي للمنحني وتكون موازية لمحور السينات.
- عند عدم توفر أحد الشروط الثلاثة فإن مبرهنة رول لا تنطبق.
(1)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة الممكنة.
- الدالة مستمرة على الفترة لأنها كثيرة حدود.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة لأنها كثيرة حدود.
- نجد
الدالة تحقق مبرهنة رول ضمن الفترة المعطاة.
- الدالة مستمرة على الفترة لأنها كثيرة حدود.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة لأنها كثيرة حدود.
- نجد
فإن الدالة لا تحقق مبرهنة رول لأن الشرط الثالث لم يتحقق.
مجال الدالة =
الدالة غير مستمرة لأن الغاية غير موجودة عند وهو الحد الفاصل للفترة.
الدالة لا تحقق مبرهنة رول.
- الدالة مستمرة في الفترة المغلقة لأنها دالة ثابتة.
- الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة لأنها كثيرة الحدود.
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وإن قيمة يمكن أن تكون أي قيمة ضمن الفترة لأن دائماً.
(2)- بين أن هذه الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول؟
- الدالة غير مستمرة على لأن الدالة غير معرفة.
- الدالة غير قابلة للاشتقاق على لأنها غير معرفة عند
الدالة لا تحقق مبرهنة رول.
- الدالة غير مستمرة على لأن الدالة غير معرفة.
- الدالة غير قابلة للاشتقاق لأنها غير معرفة عند
الدالة لا تحقق مبرهنة رول.
- الدالة مستمرة على لأنها مستمرة على المجموعة الحقيقية
- الدالة غير قابلة للاشتقاق على لأنها غير معرفة عند ,skghp/ `g; ;hgNjd:
الدالة لا تحقق مبرهنة رول.
ملاحظة:
- الدالة المطلقة دائماً مستمرة على أي فترة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عندما تكون تجعل الدالة =
- الدالة المثلثية هي دوال مستمرة وقابلة للاشتقاق دائماً لأن مجالها
(3)- هل الدالة تحقق شروط مبرهنة رول ثم جد إن أمكن.
- الدالة مستمرة على
- الدالة قابلة للاشتقاق ومعرفة على
- نجد
(4)- جد قيمة للدالة التي تحقق شروط مبرهنة رول.
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول فنقوم بالاشتقاق
(5)- إذا كانت الدالة تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.
(6)- إذا كانت الدالة تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.
(7)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة عند تحقق المبرهنة:
- الدالة مستمرة على الفترة المغلقة لأنها كثيرة الحدود.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة لأنها كثيرة الحدود.
- نجد
(8)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق على الدوال الآتية؟ ثم جد قيمة عند تحقق المبرهنة:
- الدالة مستمرة على الفترة المغلقة لأنها كثيرة الحدود.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة لأنها كثيرة الحدود.
- نجد
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض ونفرض
- الدالة مستمرة في الفترة المغلقة لأنها دالة ثابتة.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة
- نجد
الدالة تحقق مبرهنة رول وإن قيمة يمكن أن تكون ضمن الفترة
أوسع مجال للدالة
- الدالة مستمرة في الفترة المغلقة لأنها مستمرة على الفترات الجزئية.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة
- نجد
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض ونفرض
ملاحظة: نقوم بتطبيق شروط الاستمرارية الثلاثة على الدوال النسبية.
- مجال الدالة هو حيث أن الدالة مستمرة في الفترة المغلقة لأن الفترة تقع ضمن مجالها.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة لأن الفترة ضمن مجالها.
- نجد
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض ونفرض
نستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة:
- الدالة مستمرة على الفترة المغلقة لأنها دوال مثلثية.
- الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة لأن الفترة ضمن مجالها.
- نجد
الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وتوجد قيمة واحدة على الأقل وتحقق
نطبق شروط الاستمرارية الثلاثة على هذا النوع من الدوال:
المشتقة من اليمين لا تساوي المشتقة من اليسار لذلك فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق ولا تحقق مبرهنة رول.
(9)- ابحث تحقق مبرهنة رول على الدالة
المشتقة من اليمين لا تساوي المشتقة من اليسار لذلك فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق ولا تحقق مبرهنة رول.