قطعة معدنية على شكل قطع ناقص بمساحة ثابتة تساوي $\left(60\pi \right)$ وحدة مربعة فإذا ازداد طول محوره الأصغر بمعدل $\left(0.2\right)$ وحدة طول/ دقيقة فجد معدل النقصان في طول محوره الأكبر عندما يكون طول محوره الأصغر $\left(12\right)$ وحدة طول.

• طول المحور الأكبر = $2a$
• طول المحور الأصغر = $2b$

1. معدل تغير طول محوره الأكبر = $\frac{da}{dt}$
2. معدل تغير طول محوره الأصغر = $\frac{db}{dt}$

المساحة للقطع الناقص $A=ab\pi$ علاقة أساسية.

$60\pi =ab\pi \stackrel{\left(\mathrm{نشتق}\right)}{\Rightarrow }0=a\frac{db}{dt}\pi +b\pi \frac{da}{dt}\dots \dots \left(1\right)$

التغير بالمساحة $\frac{dA}{dt}=0$ لأن السماحة ثابتة.

$\begin{array}{rl}& 2b=12\Rightarrow b=6\\ & A=ab\pi \Rightarrow 60\pi =a\left(6\pi \right)\Rightarrow a=\frac{60\pi }{6\pi }=10 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 0=\left(10\right)\left(0.2\right)\pi +6\pi \frac{da}{dt}\Rightarrow 2\pi +6\pi \frac{da}{dt}=0\Rightarrow 6\pi \frac{da}{dt}=-2\pi \\ & \frac{da}{dt}=\frac{-2\pi }{6\pi }=\frac{-1}{3}\end{array}$

معدل النقصان في طول محوره الأكبر = $\frac{1}{3}$ وحدة طول / دقيقة.

الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة

(1)- جد نقطة على الدائرة التي معادلتها $x^2+y^2-4x=4$ يكون عندها معدل ازدياد $y$ مساوياً لمعدل ازدياد $x$

• معدل التغير الزمني ل $x$ = $\frac{dx}{dt}$
• معدل التغير الزمني ل $y$ = $\frac{dy}{dt}$

$\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2+y^2-4x=4\dots \dots .\left(1\right)\\ & 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}-4\frac{dx}{dt}=0 \left(\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt} \mathrm{نضع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& [2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dx}{dt}-4\frac{dx}{dt}=0]÷2\\ & \frac{dx}{dt}[x+y-2=0]\Rightarrow \frac{dx}{dt}=0\\ & \therefore x+y-2=0\Rightarrow y=2-x\dots \dots \dots \left(2\right) \left(\left(1\right) \mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & x^2+(2-x{)}^2-4x=4\Rightarrow x^2+4-4x+x^2-4x=4\\ & 2x^2-8x=0]÷2\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x(x-4)=0\\ & \left(\mathrm{إما}\right) x=0\Rightarrow y=2-0\Rightarrow y=2\\ & (0,2) \left(\mathrm{النقطة}\right)\\ & x-4=0\Rightarrow x=4\Rightarrow y=2-4\Rightarrow y=-2\\ & (4,-2) \left(\mathrm{النقطة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(2)- سيارة تسير بسرعة $(30\mathrm{m}/\mathrm{s})$ اجتازت إشارة مرورية حمراء ارتفاعها $\left(3m\right)$ عن سطح الأرض وبعد أن ابتعدت عنها مسافة $\left(3\sqrt{3}m\right)$ اصطدمت بسيارة أخرى نتيجة عدم الالتزام بقوانين المرور جد سرعة تغير المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية.

• معدل سرعة السيارة = $\frac{dx}{dt}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$
• معدل تغير المسافة بين السيارة والإشارة = $\frac{dy}{dt}$

$y=3\sqrt{3}m$

$\begin{array}{rl}& y^2=x^2+9\\ & (3\sqrt{3}{)}^2=x^2+9\Rightarrow 27=x^2+9\\ & x^2=18\Rightarrow x=3\sqrt{2}\\ & [2y\frac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt}]÷2\\ & 3\sqrt{3}\frac{dy}{dt}=3\sqrt{2}\left(30\right)\Rightarrow \therefore \frac{dy}{dt}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(3)- أسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل $(0.5\mathrm{cm}/\mathrm{s})$ بحيث يظل حجمها دائماً مساوياً $\left(320\pi {\mathrm{cm}}^3\right)$ جد معدل تغير نصف قطر القاعدة عندما يكون الارتفاع $5\mathrm{cm}$

• الحجم = $v=320\pi {\mathrm{cm}}^3$
• الارتفاع = $h=5\mathrm{cm}$

1. معدل تغير نصف القطر = $\frac{dr}{dt}$
2. معدل تغير الارتفاع = $\frac{dh}{dt}=0.5\mathrm{cm}/\mathrm{s}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& v=\pi r^{2}h\Rightarrow 320\pi =\pi r^{2}h\Rightarrow 320=r^{2}h \left(\mathrm{العلاقة}\right)\\ & 320=\left(5\right)r^2\Rightarrow r^2=64\Rightarrow r=8\mathrm{cm}\\ & 320=r^{2}h\stackrel{\left(\mathrm{نشتق}\right)}{⟹}=r^2\frac{dh}{dt}+h\cdot 2r\cdot \frac{dr}{dt}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (8{)}^2\cdot (0.5)+5\cdot (2\times 8)\cdot \frac{dr}{dt}=0\Rightarrow 64\cdot (0.5)+5\cdot (16)\cdot \frac{dr}{dt}=0\Rightarrow 32+80\frac{dr}{dt}=0\\ & 80\frac{dr}{dt}=-32\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{-32}{80}=\frac{-2}{5}\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array} \end{gathered}$$

(4)- طريقان متعامدان يلتقيان في $m$. تحركت سيارتان من نقطة $m$ كل منهما في طريق وكان معدل سرعة السيارة الأولى $80\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ومعدل سرعة السيارة الثانية $60\mathrm{km}/\mathrm{h}$، جد معدل الابتعاد بين السيارتين بعد ربع ساعة من بدء الحركة من $m$

• معدل تغير السيارة الأولى = $\frac{dx}{dt}=80\mathrm{km}\mathrm{\setminus }h$
• معدل تغير السيارة الثانية = $\frac{dy}{dt}=60\mathrm{km}\mathrm{\setminus }h$
• معدل الابتعاد بين السيارتين = $\frac{dz}{dt}$

السرعة = $\frac{\mathrm{المسافة}}{\mathrm{الزمن}}$

• المسافة = السرعة × الزمن
• المسافة التي قطعتها السيارة الأولى بعد ربع ساعة $\left(x\right)$ = $20\mathrm{km}=80\times \frac{1}{4}$
• المسافة التي قطعتها السيارة الأولى بعد ربع ساعة $\left(y\right)$ = $15\mathrm{km}=60\times \frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z^2=x^2+y^2 \left(\mathrm{فيثاغورس}\right) x=20,y=15\\ & z^2=(20{)}^2+(15{)}^2=400+225=625\Rightarrow z^2=625\Rightarrow z=25\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2z\cdot \frac{dz}{dt}=2x\cdot \frac{dx}{dt}+2y\cdot \frac{dy}{dt}]÷2\\ & z\cdot \frac{dz}{dt}=x\cdot \frac{dx}{dt}+y\cdot \frac{dy}{dt}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 25\frac{dz}{dt}=20\left(80\right)+15\left(60\right)\\ & 25\frac{dz}{dt}=1600+900\Rightarrow 25\frac{dz}{dt}=2500\Rightarrow \frac{dz}{dt}=\frac{2500}{25}=100\mathrm{km}\mathrm{\setminus }h\end{array} \end{gathered}$$

(5)- سلم طوله $\left(13m\right)$ يرتكز على حائط شاقولي، فإذا كان تحرك الطرف الأسفل للسلم مبتعداً عن الحائط بمعدل $4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ جد معدل انزلاق الطرف الأعلى للسلم عن الأرض في اللحظة التي يكون فيها الطرف الأسفل على بعد $5m$ من الحائط

• بعد السلم عن الحائط = $x$
• بعد السلم عن الأرض = $y$

1. معدل تغير الطرف الأسفل عن الحائط = $\frac{dx}{dt}=4\mathrm{m}/\mathrm{s}$
2. معدل تغير الطرف العلوي عن الأرض = $\frac{dy}{dt}$

$$\begin{gathered} x^2+y^2=169\Rightarrow 25+y^2=169\Rightarrow y^2=144\Rightarrow y=12 \\ \begin{array}{rl}& m2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0]÷2\\ & x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0\Rightarrow 5\left(4\right)+12\frac{dy}{dt}=0\\ & 20+12\frac{dy}{dt}=0\Rightarrow 12\frac{dy}{dt}=-20\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{-20}{12}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{-5}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array} \end{gathered}$$

(6)- يراد ملئ خزان على شكل مخروط دائري قائم رأسه إلى الأسفل، طول نصف قطر قاعدته يساوي $\left(5m\right)$ والارتفاع يساوي $\left(10m\right)$ فإذا كان معدل ملئ الماء $2m^3/\min$، جد سرعة ارتفاع الماء عندما يكون ارتفاع الماء يساوي $\left(6m\right)$

• نصف قطر المخروط = $r$
• الارتفاع = $h$
• الحجم = $v$

1. معدل الحجم (ملئ الماء) = $\frac{dy}{dt}$
2. معدل الارتفاع = $\frac{dh}{dt}$

$$\begin{gathered} v=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ \begin{array}{rl}& \tan \theta =\frac{r}{h}=\frac{5}{10}\Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{1}{2} \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المثلث}\right)\\ & \tan \theta =\frac{r}{h}\Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2r=h\Rightarrow r=\frac{1}{2}h.\dots \dots \left(2\right) \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المثلث}\right)\end{array} \end{gathered}$$

نعوض (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& v=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}h\right)}^{2}h\\ & v=\frac{1}{3}\pi \frac{1}{4}{h}^2.h\Rightarrow v=\frac{\pi }{12}{h}^3 \left(\mathrm{نشتق}\right)\\ & \frac{dv}{dt}=\frac{\pi }{12}3h^2\frac{dh}{dt}\Rightarrow 2=\frac{\pi }{4}(6{)}^2\frac{dh}{dt}\Rightarrow 2=\frac{\pi }{4}(36)\frac{dh}{dt}\\ & 2=9\pi \frac{dh}{dt}\Rightarrow \frac{dh}{dt}=\frac{2}{9\pi }\mathrm{m}/\min \end{array}$

(7)- قطعة معدنية على شكل قطع ناقص بمساحة ثابتة تساوي $\left(60\pi \right)$ وحدة مربعة فإذا ازداد طول محوره الأصغر بمعدل $\left(0.2\right)$ وحدة طول/ دقيقة فجد معدل النقصان في طول محوره الأكبر عندما يكون طول محوره الأصغر $\left(12\right)$ وحدة طول.

• طول المحور الأكبر = $2a$
• طول المحور الأصغر = $2b$

1. معدل تغير طول محوره الأكبر = $\frac{da}{dt}$
2. معدل تغير طول محوره الأصغر = $\frac{db}{dt}$

المساحة للقطع الناقص $A=ab\pi$ علاقة أساسية.

$60\pi =ab\pi \stackrel{\left(\mathrm{نشتق}\right)}{\Rightarrow }0=a\frac{db}{dt}\pi +b\pi \frac{da}{dt}\dots \dots \left(1\right)$

التغير بالمساحة $\frac{dA}{dt}=0$ لأن السماحة ثابتة.

$\begin{array}{rl}& 2b=12\Rightarrow b=6\\ & A=ab\pi \Rightarrow 60\pi =a\left(6\pi \right)\Rightarrow a=\frac{60\pi }{6\pi }=10 \left(\left(1\right) \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 0=\left(10\right)\left(0.2\right)\pi +6\pi \frac{da}{dt}\Rightarrow 2\pi +6\pi \frac{da}{dt}=0\Rightarrow 6\pi \frac{da}{dt}=-2\pi \\ & \frac{da}{dt}=\frac{-2\pi }{6\pi }=\frac{-1}{3}\end{array}$

معدل النقصان في طول محوره الأكبر = $\frac{1}{3}$ وحدة طول / دقيقة.