حلول الأسئلة

السؤال

قطع زائد طول محوره الحقيقي $(6)$ وحدات وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - 2 \sqrt{5})$ ، جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل.

الحل

من القطع المكافئ:

النقطتان $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - 2 \sqrt{5})$ متناظرة مع المحور السيني لذا فبؤرته سينية وفتحته نحو اليمين ومعادلة القطع المكافئ $y^{2} = 4 p x$

النقطة $(1, 2 \sqrt{5})$ تحقق معادلة القطع المكافئ (لأنه يمر بها).

$\begin{aligned} (2 \sqrt{5})^{2} = 4 p (1) \Rightarrow 20 = 4 p \Rightarrow p = 5 \Rightarrow (5, 0) (البؤرة) \\ y^{2} = 20 x (المكافئ القطع معادلة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $(5, 0)$ تمثل إحدى بؤرتي القطع الزائد.

من القطع الزائد:

$∵ 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

$(5, 0), (- 5, 0) ∵$ بؤرتا القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} ∴ c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ ∴ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow 25 = 9 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 16 \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (3-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الزائدة الآتية:

$12 x^{2} - 4 y^{2} = 48$

نقسم طرفي المعادلة على (48)

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1 \begin{aligned} a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow 2 a = 4 (وحدة) . . . . (الحقيقي المحور طول) \\ b^{2} = 12 \Rightarrow b = 2 \sqrt{3} \Rightarrow 2 b = 2 (2 \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \end{aligned} \begin{aligned} ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 12 = 16 \Rightarrow c^{2} = 16 \Rightarrow c = 4 \\ V_{1} (2, 0), V_{2} (- 2, 0) (ارأسان) \\ F_{1} (4, 0), F_{2} (- 4, 0) (البؤرتان) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2 > 1 (المركزي الاختلاف) \end{aligned}$

$16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$

نقسم طرفي المعادلة على (144)

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 \begin{aligned} a^{2} = 9 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow 2 a = 6 (وحدة) . . . . (الحقيقي المحور طول) \\ b^{2} = 16 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow 2 b = 8 (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c^{2} = 25 \Rightarrow c = 5 \\ F_{1} (5, 0), F_{2} (- 5, 0) (البؤرتان) \\ V_{1} (3, 0), V_{2} (- 3, 0) (الرأسان) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} > 1 (المركزي الاختلاف) \end{aligned}$

$2 (y + 1)^{2} - 4 (x - 1)^{2} = 8$

نقسم طرفي المعادلة على (8)

$\frac{(y + 1)^{2}}{4} - \frac{(x - 1)^{2}}{2} = 1 \overset{بالمقارنة}{⟹} \frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1, h = 1, k = - 1 \Rightarrow (h, k) = (1, - 1) \begin{aligned} a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow 2 a = 4 الحقيقي المحور طول \\ b^{2} = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2} \Rightarrow 2 b = 2 \sqrt{2} المرافق المحور طول \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow c^{2} = 6 \Rightarrow c = \sqrt{6} \end{aligned} \begin{aligned} \bar{F_{1}} (h, c + k) = \bar{F_{1}} (1, \sqrt{6} - 1) البؤرتان \\ \bar{F_{2}} (h, - c + k) = \bar{F_{2}} (1, - \sqrt{6} - 1) \end{aligned} \begin{aligned} \bar{V_{1}} (h, a + k) = \bar{V_{1}} (1, 1) الرأسان \\ \bar{V_{2}} (h, - a + k) = \bar{V_{2}} (1, - 3) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{2} > 1 المركزي الاختلاف \end{aligned}$

$16 x^{2} + 160 x - 9 y^{2} + 18 y = 185$

نرتب معادلة القطع الزائد بشكل مربع كامل كما يلي:

$16 (x^{2} + 10 x) - 9 (y^{2} - 2 y) = 185$

بإضافة (391) إلى طرفي المعادلة حتى تكون حدود x وحدود y بشكل مربع كامل.

$\begin{aligned} {(\frac{1}{2} x معامل)}^{2} = {(\frac{1}{2} (10))}^{2} = 25 \\ {(\frac{1}{2} y معامل)}^{2} = {(\frac{1}{2} (2))}^{2} = 1 \end{aligned} \begin{aligned} 16 (x^{2} + 10 x + 25) - 9 (y^{2} - 2 y + 1) = 185 + 400 - 9 \\ 16 (x + 5)^{2} - 9 (y - 1)^{2} = 576 \\ \frac{16 (x + 5)^{2}}{576} - \frac{9 (y - 1)^{2}}{576} = \frac{576}{576} \\ \frac{(x + 5)^{2}}{36} - \frac{(y - 1)^{2}}{64} = 1 ⟹ \frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1, h = - 5, k = 1 \Rightarrow (h, k) = (- 5, 1) \end{aligned} \begin{aligned} a^{2} = 36 \Rightarrow a = 6 ⟹ 2 a = 12 الحقيقي المحور طول \\ b^{2} = 64 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow 2 b = 16 المرافق المحور طول \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c^{2} = 100 \Rightarrow c = 10 \end{aligned} \begin{aligned} \bar{F_{1}} (c + h, k) = \bar{F_{1}} (5, 1) البؤرتان \\ \bar{F_{2}} (- c + h, k) = \bar{F_{2}} (- 15, 1) \end{aligned} \begin{aligned} \bar{V_{1}} (a + h, k) = \bar{V_{1}} (1, 1) الرأسان \\ \bar{V_{2}} (- a + h, k) = \bar{V_{2}} (- 11, 1) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} > 1 المركزي الاختلاف \end{aligned}$

(2)- أكتب معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية ثم ارسم القطع:

البؤرتان هما النقطتان $(\pm 5, 0)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ ومركزه نقطة الأصل.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ ∵ \bar{F_{1}} (- 5, 0), \bar{F_{2}} (5, 0) \end{aligned}$

ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ والرأسان هما:

$\begin{aligned} V_{1} (3, 0), V_{2} (- 3, 0) \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 25 = 9 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 16 \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 1

طول محوره الحقيق $(12)$ وحدة، وطول محوره المرافق $(10)$ وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

$\begin{aligned} ∵ 2 a = 12 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow a^{2} = 36 \\ ∵ 2 b = 10 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow b^{2} = 25 \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 25 + 36 \Rightarrow c^{2} = 61 \end{aligned}$

البؤرتان سينيتان فإن معادلة القطع الزائد هي:

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

الشكل 1

البؤرتان صاديتان فإن معادلة القطع الزائد هي:

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

الشكل 2

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق $2 \sqrt{2}$ وحدة واختلافه المركزي $(3)$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} ∵ 2 b = 2 \sqrt{2} \Rightarrow b = \sqrt{2} \Rightarrow b^{2} = 2 \\ ∵ e = \frac{c}{a} \Rightarrow 3 = \frac{c}{a} \Rightarrow c = 3 a \Rightarrow c^{2} = 9 a^{2} \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow 9 a^{2} = a^{2} + 2 \Rightarrow 8 a^{2} = 2 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{4}, c^{2} = \frac{9}{4} \\ \bar{F_{1}} (0, \frac{3}{2}), \bar{F_{2}} (0, - \frac{3}{2}) \\ \bar{V_{1}} (0, \frac{1}{2}), \bar{V_{2}} (0, - \frac{1}{2}) \\ \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{x^{2}}{2} = 1 \Rightarrow \frac{4 y^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 3

(3)- جد باستخدام التعريف القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتيه $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين والقيمة المطلقة للفرق بين بعدي أية نقطة منه عن بؤرتيه يساوي $(4)$

$∵ 2 a = 4 \Rightarrow a = 2 (النقطة) P (x, y) \in (الزائد القطع) ∴ | p F_{1} - p F_{2} | = 2 a (التعريف حسب) \begin{aligned} p F_{1} - p F_{2} = \pm 2 a \\ \begin{aligned} \sqrt{(x - 2 \sqrt{2})^{2} + (y - 0)^{2}} - \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + (y - 0)^{2}} = \pm 4 \\ \sqrt{(x - 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} = \pm 4 \end{aligned} \\ \sqrt{(x - 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} = \pm 4 + \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} (الطرفين بتربيع) \\ x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 + y^{2} = 16 \pm 8 \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} + x^{2} + 4 \sqrt{2} x + 8 + y^{2} \\ [\pm 8 \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} = 16 + 8 \sqrt{2} x] \div 8 \\ \pm \sqrt{(x + 2 \sqrt{2})^{2} + y^{2}} = 2 + \sqrt{2} x (الطرفين بتربيع) \\ x^{2} + 4 \sqrt{2} x + 8 + y^{2} = 4 + 4 \sqrt{2} x + 2 x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 8 - 4 \\ [x^{2} - y^{2} = 4] \div 4 \\ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل

(4)- قطع زائد طول محوره الحقيقي $(6)$ وحدات وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - 2 \sqrt{5})$ ، جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل.

من القطع المكافئ:

النقطة $(1, 2 \sqrt{5})$ تحقق معادلة القطع المكافئ (لأنه يمر بها).

$\begin{aligned} (2 \sqrt{5})^{2} = 4 p (1) \Rightarrow 20 = 4 p \Rightarrow p = 5 \Rightarrow (5, 0) (البؤرة) \\ y^{2} = 20 x (المكافئ القطع معادلة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $(5, 0)$ تمثل إحدى بؤرتي القطع الزائد.

من القطع الزائد:

$∵ 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

$(5, 0), (- 5, 0) ∵$ بؤرتا القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(5)- قطع زائد مركزه نقطة الأصل ومعادلته $h x^{2} - k y^{2} = 90$ وطول محوره الحقيقي $6 \sqrt{2}$ وحدة وبؤرتاه تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته $9 x^{2} + 16 y^{2} = 576$ جد قيمة كل من $h, k$ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

من القطع الناقص:

$\begin{aligned} [9 x^{2} + 16 y^{2} = 576] \div 576 \Rightarrow \frac{9 x^{2}}{576} + \frac{16 y^{2}}{576} = \frac{576}{576} \Rightarrow \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1 \\ a^{2} = 64, b^{2} = 36 \Rightarrow a^{2} = c^{2} + b^{2} \Rightarrow c^{2} = 64 - 36 = 28 \Rightarrow c = 2 \sqrt{7} \\ ∴ (- 2 \sqrt{7}, 0), (2 \sqrt{7}, 0) (الناقص القطع بؤرتا) \end{aligned}$

من القطع الزائد:

$(- 2 \sqrt{7}, 0), (2 \sqrt{7}, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \begin{aligned} c = 2 \sqrt{7} \Rightarrow c^{2} = 28 \\ 2 a = 6 \sqrt{2} \Rightarrow a = 3 \sqrt{2} \Rightarrow a^{2} = 18 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow 28 = 18 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 10 \\ \frac{x^{2}}{18} - \frac{y^{2}}{10} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned} \begin{aligned} [h x^{2} - k y^{2} = 90] \div 90 \Rightarrow \frac{h x^{2}}{90} - \frac{k y^{2}}{90} = \frac{90}{90} \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{90}{h}} - \frac{y^{2}}{\frac{90}{k}} = 1 \\ a^{2} = \frac{90}{h} \Rightarrow h = \frac{90}{a^{2}} = \frac{90}{18} \Rightarrow h = 5, b^{2} = \frac{90}{k} \Rightarrow k = \frac{90}{b^{2}} = \frac{90}{10} \Rightarrow k = 9 \end{aligned}$

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين $1, 9$ وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

$\begin{aligned} 2 c = 1 + 9 = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ 2 a = 9 - 1 = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} \Rightarrow b^{2} = 25 - 16 \Rightarrow b^{2} = 9 \end{aligned}$

هناك احتمالين لمعادلة القطع الزائد:

معادلة القطع الزائد سينية: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$
معادلة القطع الزائد صادية: $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ والنسبة بين طولي محوريه $\frac{5}{3} =$ ومركزه نقطة الأصل.

من القطع الزائد:

$\begin{aligned} [x^{2} - 3 y^{2} = 12] \div 12 \Rightarrow \frac{x^{2}}{12} - \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12} \Rightarrow \frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1 \\ ∴ a^{2} = 12 b^{2} = 4 \Rightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow c^{2} = 12 + 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \Rightarrow c = 4 \\ (- 4, 0), (4, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \end{aligned}$

من القطع الناقص:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ (- 4, 0), (4, 0) \Rightarrow c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 (الناقص القطع بؤرتا) \\ ∵ \frac{2 a}{2 b} = \frac{5}{3} \Rightarrow a = \frac{5 b}{3} \Rightarrow a^{2} = \frac{25 b^{2}}{9} \\ a^{2} = c^{2} + b^{2} \Rightarrow [\frac{25 b^{2}}{9} = 16 + b^{2}] \times 9 \\ 25 b^{2} = 144 + 9 b^{2} \Rightarrow 16 b^{2} = 144 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = \frac{25 b^{2}}{9} = \frac{25 (9)}{9} \Rightarrow a^{2} = 25 \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(8)- النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ جد كلاً من:

قيمة $L$

النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد وهي تحقق معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$

$\begin{aligned} (6)^{2} - 3 y^{2} = 12 \Rightarrow 36 - 3 L^{2} = 12 \Rightarrow 3 L^{2} = 24 \Rightarrow L^{2} = 8 \Rightarrow L = \pm 2 \sqrt{2} \\ ∴ P_{1} (6, 2 \sqrt{2}), P_{2} (6, - 2 \sqrt{2}) \end{aligned}$

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة $P$

من القطع الزائد:

$\begin{aligned} [x^{2} - 3 y^{2} = 12] \div 12 \Rightarrow \frac{x^{2}}{12} - \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12} \Rightarrow \frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1 \Rightarrow a^{2} = 12 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow c^{2} = 12 + 4 = 16 \Rightarrow c = \pm 4 \Rightarrow F_{1} (4, 0), F_{2} (- 4, 0) \end{aligned}$

المقصود بنصف القطر البؤري (اليمين) هو البعد بين البؤرة اليمنى $F_{1} (4, 0)$ والنقطة $p$

$P_{1} F_{1} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{(6 - 4)^{2} + (2 \sqrt{2} - 0)^{2}} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} (طول وحدة)$

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ويمس دليل القطع المكافئ $x^{2} + 12 y = 0$

من القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = - 12 y \\ x^{2} = - 4 p y \end{aligned} ∣\Rightarrow - 4 p = - 12 \Rightarrow p = 3 y = p \Rightarrow y = 3 (الدليل معادلة)$

من القطع الناقص:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \Rightarrow a^{2} = 25, b^{2} = 9 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow c^{2} = 25 - 9 \Rightarrow c^{2} = 16 \Rightarrow c = 4 \\ (0, 4), (0, - 4) \end{aligned}$

من القطع الزائد:

دليل القطع المكافئ يقطع المحور الصادي عند النقطة $(0, 3)$ وهي رأس القطع الزائد:

$a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

بؤرتا القطع الناقص (صاديتان) وتنطبقان على بؤرتي القطع الزائد فمعادلة القطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$(0, 4), (0, - 4) (الزائد القطع بؤرتا) \begin{aligned} c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow 16 = 9 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 7 \\ \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

قطع زائد طول محوره الحقيقي $(6)$ وحدات وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - 2 \sqrt{5})$ ، جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل.

الحل

من القطع المكافئ:

النقطة $(1, 2 \sqrt{5})$ تحقق معادلة القطع المكافئ (لأنه يمر بها).

$\begin{aligned} (2 \sqrt{5})^{2} = 4 p (1) \Rightarrow 20 = 4 p \Rightarrow p = 5 \Rightarrow (5, 0) (البؤرة) \\ y^{2} = 20 x (المكافئ القطع معادلة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $(5, 0)$ تمثل إحدى بؤرتي القطع الزائد.

من القطع الزائد:

$∵ 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

$(5, 0), (- 5, 0) ∵$ بؤرتا القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

تمارين (3-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الزائدة الآتية:

$12 x^{2} - 4 y^{2} = 48$

نقسم طرفي المعادلة على (48)

$16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$

نقسم طرفي المعادلة على (144)

$2 (y + 1)^{2} - 4 (x - 1)^{2} = 8$

نقسم طرفي المعادلة على (8)

$16 x^{2} + 160 x - 9 y^{2} + 18 y = 185$

نرتب معادلة القطع الزائد بشكل مربع كامل كما يلي:

$16 (x^{2} + 10 x) - 9 (y^{2} - 2 y) = 185$

بإضافة (391) إلى طرفي المعادلة حتى تكون حدود x وحدود y بشكل مربع كامل.

(2)- أكتب معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية ثم ارسم القطع:

البؤرتان هما النقطتان $(\pm 5, 0)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ ومركزه نقطة الأصل.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ ∵ \bar{F_{1}} (- 5, 0), \bar{F_{2}} (5, 0) \end{aligned}$

ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ والرأسان هما:

الشكل 1

طول محوره الحقيق $(12)$ وحدة، وطول محوره المرافق $(10)$ وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

البؤرتان سينيتان فإن معادلة القطع الزائد هي:

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

الشكل 1

البؤرتان صاديتان فإن معادلة القطع الزائد هي:

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

الشكل 2

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق $2 \sqrt{2}$ وحدة واختلافه المركزي $(3)$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

الشكل 3

(3)- جد باستخدام التعريف القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتيه $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين والقيمة المطلقة للفرق بين بعدي أية نقطة منه عن بؤرتيه يساوي $(4)$

الشكل

(4)- قطع زائد طول محوره الحقيقي $(6)$ وحدات وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - 2 \sqrt{5})$ ، جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل.

من القطع المكافئ:

النقطة $(1, 2 \sqrt{5})$ تحقق معادلة القطع المكافئ (لأنه يمر بها).

$\begin{aligned} (2 \sqrt{5})^{2} = 4 p (1) \Rightarrow 20 = 4 p \Rightarrow p = 5 \Rightarrow (5, 0) (البؤرة) \\ y^{2} = 20 x (المكافئ القطع معادلة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $(5, 0)$ تمثل إحدى بؤرتي القطع الزائد.

من القطع الزائد:

$∵ 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

$(5, 0), (- 5, 0) ∵$ بؤرتا القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

(5)- قطع زائد مركزه نقطة الأصل ومعادلته $h x^{2} - k y^{2} = 90$ وطول محوره الحقيقي $6 \sqrt{2}$ وحدة وبؤرتاه تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته $9 x^{2} + 16 y^{2} = 576$ جد قيمة كل من $h, k$ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

من القطع الناقص:

من القطع الزائد:

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين $1, 9$ وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

هناك احتمالين لمعادلة القطع الزائد:

معادلة القطع الزائد سينية: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$
معادلة القطع الزائد صادية: $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ والنسبة بين طولي محوريه $\frac{5}{3} =$ ومركزه نقطة الأصل.

من القطع الزائد:

من القطع الناقص:

(8)- النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ جد كلاً من:

قيمة $L$

النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد وهي تحقق معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة $P$

من القطع الزائد:

المقصود بنصف القطر البؤري (اليمين) هو البعد بين البؤرة اليمنى $F_{1} (4, 0)$ والنقطة $p$

$P_{1} F_{1} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{(6 - 4)^{2} + (2 \sqrt{2} - 0)^{2}} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} (طول وحدة)$

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ويمس دليل القطع المكافئ $x^{2} + 12 y = 0$

من القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = - 12 y \\ x^{2} = - 4 p y \end{aligned} ∣\Rightarrow - 4 p = - 12 \Rightarrow p = 3 y = p \Rightarrow y = 3 (الدليل معادلة)$

من القطع الناقص:

من القطع الزائد:

دليل القطع المكافئ يقطع المحور الصادي عند النقطة $(0, 3)$ وهي رأس القطع الزائد:

$a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9$

بؤرتا القطع الناقص (صاديتان) وتنطبقان على بؤرتي القطع الزائد فمعادلة القطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

حلول الأسئلة

مشاركة الحل

تمارين (3-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الزائدة الآتية:

12x2−4y2=48

16x2−9y2=144

2(y+1)2−4(x−1)2=8

16x2+160x−9y2+18y=185

(2)- أكتب معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية ثم ارسم القطع:

البؤرتان هما النقطتان (±5,0) ويتقاطع مع محور السينات عند x=∓3 ومركزه نقطة الأصل.

طول محوره الحقيق 12 وحدة، وطول محوره المرافق 10 وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق 22 وحدة واختلافه المركزي 3

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين 1 , 9 وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته x2−3y2=12 والنسبة بين طولي محوريه 53= ومركزه نقطة الأصل.

(8)- النقطة P(6,L) تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته x2−3y2=12 جد كلاً من:

قيمة L

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة P

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص x29+y225=1 ويمس دليل القطع المكافئ x2+12y=0

مشاركة الدرس

تمارين (3-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الزائدة الآتية:

12x2−4y2=48

16x2−9y2=144

2(y+1)2−4(x−1)2=8

16x2+160x−9y2+18y=185

(2)- أكتب معادلة القطع الزائد في الحالات الآتية ثم ارسم القطع:

البؤرتان هما النقطتان (±5,0) ويتقاطع مع محور السينات عند x=∓3 ومركزه نقطة الأصل.

طول محوره الحقيق 12 وحدة، وطول محوره المرافق 10 وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق 22 وحدة واختلافه المركزي 3

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين 1 , 9 وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته x2−3y2=12 والنسبة بين طولي محوريه 53= ومركزه نقطة الأصل.

(8)- النقطة P(6,L) تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته x2−3y2=12 جد كلاً من:

قيمة L

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة P

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص x29+y225=1 ويمس دليل القطع المكافئ x2+12y=0

$12 x^{2} - 4 y^{2} = 48$

$16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$

$2 (y + 1)^{2} - 4 (x - 1)^{2} = 8$

$16 x^{2} + 160 x - 9 y^{2} + 18 y = 185$

البؤرتان هما النقطتان $(\pm 5, 0)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ ومركزه نقطة الأصل.

طول محوره الحقيق $(12)$ وحدة، وطول محوره المرافق $(10)$ وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق $2 \sqrt{2}$ وحدة واختلافه المركزي $(3)$

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين $1, 9$ وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ والنسبة بين طولي محوريه $\frac{5}{3} =$ ومركزه نقطة الأصل.

(8)- النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ جد كلاً من:

قيمة $L$

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة $P$

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ويمس دليل القطع المكافئ $x^{2} + 12 y = 0$

$12 x^{2} - 4 y^{2} = 48$

$16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$

$2 (y + 1)^{2} - 4 (x - 1)^{2} = 8$

$16 x^{2} + 160 x - 9 y^{2} + 18 y = 185$

البؤرتان هما النقطتان $(\pm 5, 0)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \mp 3$ ومركزه نقطة الأصل.

طول محوره الحقيق $(12)$ وحدة، وطول محوره المرافق $(10)$ وحدات، وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ومركزه نقطة الأصل.

مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق $2 \sqrt{2}$ وحدة واختلافه المركزي $(3)$

(6)- أكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل إذا علمت أن أحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين $1, 9$ وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين.

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ والنسبة بين طولي محوريه $\frac{5}{3} =$ ومركزه نقطة الأصل.

(8)- النقطة $P (6, L)$ تنتمي إلى القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته $x^{2} - 3 y^{2} = 12$ جد كلاً من:

قيمة $L$

طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة $P$

(9)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الناقص $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ويمس دليل القطع المكافئ $x^{2} + 12 y = 0$