جد إحداثيات المركز والبؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي وطول المحورين للقطع الزائد الذي معادلته: $\frac{(x+2{)}^2}{9}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=1$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الزائد $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

$$\begin{gathered} h=-2,k=1\Rightarrow (h,k)=(-2,1) \mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{مركز} \\ \begin{array}{rl}& a^2=9\Rightarrow a=3\Rightarrow 2a=6 \mathrm{الحقيقي} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & b^2=4\Rightarrow b=2\Rightarrow 2b=4 \mathrm{المرافق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2+b^2\Rightarrow c^2=9+4=13\Rightarrow c=\sqrt{13}\\ & \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(\sqrt{13}-2,1),\overline{F_2}(h-c,k)=\overline{F_2}(-2-\sqrt{13},1) \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(1,1),\overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_2}(-5,1) \mathrm{الرأسان}\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}>1 \mathrm{المركزي} \mathrm{الاختلاف}\end{array} \end{gathered}$$

انسحاب المحاور للقطع الزائد

درسنا في الأمثلة السابقة القطع الزائد الذي يكون مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تقعان على إحدى المحاور الإحداثية، والآن سوف ندرس القطع الزائد بعد انسحابه إلى جهة معينة وسوف نرمز إلى مركز القطع بـ $\left(h,k\right)$ وهذا الجدول يلخص لنا جميع الحالات:

القطع الزائد	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المعادلة
	$\begin{array}{c}\overline{F_1}(c+h,k)\\ \overline{F_2}(-c+h,k)\end{array}$	$\begin{array}{c}\overline{V_1}(a+h,k)\\ \overline{V_2}(-a+h,k)\end{array}$	$\begin{array}{c}(h,b+k)\\ (h,-b+k)\end{array}$	$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$
	$\begin{array}{rl}& \overline{F_1}(h,c+k)\\ & \overline{F_2}(h,-c+k)\end{array}$	$\begin{array}{c}\overline{V_1}(h,a+k)\\ \overline{V_2}(h,-a+k)\end{array}$	$\begin{array}{rl}& (b+h,k)\\ & (-b+h,k)\end{array}$	$\frac{(y-k{)}^2}{a^2}-\frac{(x-h{)}^2}{b^2}=1$

(1)- جد إحداثيات المركز والبؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي وطول المحورين للقطع الزائد الذي معادلته: $\frac{(x+2{)}^2}{9}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=1$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الزائد $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

$$\begin{gathered} h=-2,k=1\Rightarrow (h,k)=(-2,1) \mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{مركز} \\ \begin{array}{rl}& a^2=9\Rightarrow a=3\Rightarrow 2a=6 \mathrm{الحقيقي} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & b^2=4\Rightarrow b=2\Rightarrow 2b=4 \mathrm{المرافق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2+b^2\Rightarrow c^2=9+4=13\Rightarrow c=\sqrt{13}\\ & \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(\sqrt{13}-2,1),\overline{F_2}(h-c,k)=\overline{F_2}(-2-\sqrt{13},1) \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(1,1),\overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_2}(-5,1) \mathrm{الرأسان}\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}>1 \mathrm{المركزي} \mathrm{الاختلاف}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- جد إحداثيات المركز والبؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته: $4x^2-9y^2-16x-54y=101$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 4(x^2-4x)-9(y^2+6y)=101\\ & 4(x^2-4x+4)-9(y^2+6y+9)=101+16-81 {(\frac{1}{2}x \mathrm{معامل})}^2={\left(\frac{1}{2}\right(4\left)\right)}^2=4\\ & 4(x-2{)}^2-9(y+3{)}^2=36]÷36 {(\frac{1}{2}y \mathrm{معامل})}^2={\left(\frac{1}{2}\right(6\left)\right)}^2=9\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (h,k)=(2,-3) \mathrm{المركز}\\ & \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(2+\sqrt{13},-3) \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{F_2}(-c+h,k)=\overline{F_2}(2-\sqrt{13},-3)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(5,-3) \mathrm{الرأسان}\\ & \overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_1}(-1,-3)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3} \mathrm{المركزي} \mathrm{الاختلاف}\end{array} \end{gathered}$$