تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

$x^2+2y^2=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}}=1 \left(\mathrm{بالمقارنة}\right) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ & a^2=1\Rightarrow a=1 , b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore F_1(\frac{1}{\sqrt{2}},0) , F_2(-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \left(\mathrm{السينات} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore V_1(1,0),V_2(-1,0) \left(\mathrm{الرأسان}\right)\\ & 2a\Rightarrow 2\left(1\right)=2 \left(\mathrm{القطبان}\right) .... \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طرفا}\right)\\ & 2b\Rightarrow 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & 2c=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \left(\mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\right)\\ & y=0 \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\right)\\ & x=0 \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\right)\\ & (0,0) \left(\mathrm{المركز}\right)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1\end{array} \end{gathered}$$

$9x^2+13y^2=117$

بالقسمة على 117

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{9}=1\\ & a^2=13\Rightarrow a=\sqrt{13} , b^2=9\Rightarrow b=3\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=13-9=4\Rightarrow c=2\\ & \therefore F_1(2,0) , F_2(-2,0) \left(\mathrm{السينات} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\right)\\ & \therefore V_1(\sqrt{13},0),V_2(-\sqrt{13},0) \left(\mathrm{الرأسان}\right)\\ & \therefore P_1(0,3),P_2(0,-3) \left(\mathrm{القطبان}\right)\\ & 2a\Rightarrow 2\left(\sqrt{13}\right)=2\sqrt{13} \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & 2b\Rightarrow 2\left(3\right)=6 \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & y=0 \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\right)\\ & x=0 \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\right)\\ & (0,0) \left(\mathrm{المركز}\right)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{13}}<1\end{array}$

$\frac{(x-4{)}^2}{81}+\frac{(y+1{)}^2}{25}=1$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=4,k=-1,(h,k)=(4,-1),a^2=81\Rightarrow a=9,b^2=25\Rightarrow b=5\\ & c^2=a^2-b^2=81-25=56\Rightarrow c=2\sqrt{14}\\ & {\overline{F}}_1(c+h,k)={\overline{F}}_1(2\sqrt{14}+4,-1) \mathrm{السينات} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\\ & {\overline{F}}_2(-c+h,k)={\overline{F}}_2(-2\sqrt{14}+4,-1)\\ & {\overline{V}}_1(a+h,k)={\overline{V}}_1(13,-1) \mathrm{الرأسان}\\ & {\overline{V}}_2(-a+h,k)={\overline{V}}_2(-5,-1)\\ & {\overline{P}}_1(h,b+k)={\overline{P}}_1(4,4) \mathrm{القطبان}\\ & {\overline{P}}_2(h,-b+k)={\overline{P}}_2(4,-6)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a=2\left(9\right)=18 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2b=2\left(5\right)=10 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2c=2\left(2\sqrt{14}\right)=4\sqrt{14} \mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\\ & y=-1 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & x=4 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{14}}{9}<1\end{array} \end{gathered}$$

$\frac{(x+3{)}^2}{9}+\frac{(y+2{)}^2}{25}=1$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x-h{)}^2}{b^2}+\frac{(y-k{)}^2}{a^2}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=-3,k=-2,a^2=25\Rightarrow a=5,b^2=9\Rightarrow b=3\\ & c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4\\ & {\overline{F}}_1(h,c+k)={\overline{F}}_1(-3,2) \mathrm{السينات} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\\ & {\overline{F}}_2(h,-c+k)={\overline{F}}_2(-3,-6)\\ & {\overline{V}}_1(h,a+k)={\overline{V}}_1(-3,3) \mathrm{الرأسان}\\ & {\overline{V}}_2(h,-a+k)={\overline{V}}_2(-3,-7)\\ & {\overline{P}}_1(h+b,k)={\overline{P}}_1(0,-2) \mathrm{القطبين}\\ & {\overline{P}}_2(h-b,k)={\overline{P}}_2(-6,-2)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a=2\left(5\right)=10 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2b=2\left(3\right)=6 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2c=2\left(4\right)=8 \mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=-2 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & x=-3 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}<1\end{array} \end{gathered}$$

$x^2+25y^2+4x-150y+204=0$

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود x وحدود y مربع كامل كما يلي:

$x^2+25y^2+4x-150y=-204\Rightarrow (x^2+4x)+25(y^2-6y)=-204$

${(\frac{1}{2}\times 4)}^2=(2{)}^2=4$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2}\times 6)}^2=(3{)}^2=9$ مربع نصف معامل y

بإضافة 229 إلى طرفي معادلة القطع الناقص حتى تكون حدود x وحدود y بشكل مربع كامل.

$\begin{array}{rl}& (x^2+4x+4)+25(y^2-6y+9)=-204+229\\ & (x+2{)}^2+25(y-3{)}^2=25]÷\left(25\right)\end{array}$

معادلة القطع الناقص $\frac{(x+2{)}^2}{25}+\frac{(y-3{)}^2}{1}=1$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$ نحصل على:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=-2,k=3\Rightarrow (h,k)=(-2,3) \mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{مركز}\\ & a^2=25\Rightarrow a=5,b^2=1\Rightarrow b=1\\ & c^2=a^2-b^2=25-1=24\Rightarrow c=2\sqrt{6}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\overline{F}}_1(c+h,k)={\overline{F}}_1(2\sqrt{6}-2,3) \mathrm{السينان} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\\ & {\overline{F}}_2(-c+h,k)={\overline{F}}_2(-2\sqrt{6}-2,3)\\ & {\overline{V}}_1(a+h,k)={\overline{V}}_1(3,3) \mathrm{الرأسان}\\ & {\overline{V}}_2(-a+h,k)={\overline{V}}_2(-7,3)\\ & {\overline{P}}_1(h,b+k)={\overline{P}}_1(-2,4) \mathrm{القطبان}\\ & {\overline{P}}_2(h,-b+k)={\overline{P}}_2(-2,2)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a=2\left(5\right)=10 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2b=2\left(1\right)=2 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\\ & 2c=2\left(2\sqrt{6}\right)=4\sqrt{6} \mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=3 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & x=-2 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان $(-5,0) , (5,0)$ وطول محوره الكبير يساوي $\left(12\right)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ & c=5\Rightarrow c^2=25\\ & 2a=12\Rightarrow a=6\Rightarrow a^2=36\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2-b^2\\ & 25=36-b^2\Rightarrow b^2=11\\ & \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

البؤرتان هما $(0,\pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x=\pm 4$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع:

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\\ & c=2\Rightarrow c^2=4\\ & b=4\Rightarrow b^2=16\\ & a^2=b^2+c^2\\ & a^2=16+4\Rightarrow a^2=20\\ & \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{20}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5 , 1$ وحدة على الترتيب:

$\begin{array}{rl}& 2a=5+1=6\Rightarrow a=3\Rightarrow a^2=9\\ & 2c=5-1=4\Rightarrow c=2\Rightarrow c^2=4\\ & c^2=a^2-b^2\\ & 4=9-b^2\Rightarrow b^2=9-4=5\end{array}$

هناك حالتين لمعادلة القع الناقص هما:

• إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$
• إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $\left(12\right)$ وحدة طولية.

لم يحدد موقع البؤرتين فنكتب معادلتين:

$$\begin{gathered} \because e=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{c}{a}\Rightarrow a=2c\Rightarrow a^2=4c^2 \\ \begin{array}{rl}& \because 2b=12\Rightarrow b=6\Rightarrow b^2=36\\ & \because c^2=a^2-b^2\\ & c^2=4c^2-36\Rightarrow 3c^2=36\Rightarrow c^2=12\\ & a^2=4\left(12\right)\Rightarrow a^2=48\end{array} \end{gathered}$$

• إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{48}=1$
• إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{36}=1$

المسافة بين بؤرتيه تساوي $\left(8\right)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $\left(3\right)$ وحدات.

لم يحدد موقع البؤرتين:

$\begin{array}{rl}& 2c=8\Rightarrow c=4\Rightarrow c^2=16\\ & \frac{1}{2}\left(2b\right)=3\Rightarrow b=3\Rightarrow b^2=9\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=9+16\Rightarrow a^2=25\end{array}$

• إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$
• إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان $(0,\pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0,\pm 3)$، ومركزه نقطة الأصل:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \because c=2 , a=3\\ & p{F}_1+p{F}_2=2a \left(\mathrm{التعريف} \mathrm{حسب}\right)\\ & \sqrt{(x-0{)}^2+(y-2{)}^2}+\sqrt{(x-0{)}^2+(y+2{)}^2}=2\left(3\right)\\ & \sqrt{x^2+(y-2{)}^2}+\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}=6\\ & {[\sqrt{x^2+(y-2{)}^2}=6-\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}]}^2 \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\\ & (x^2+y^2-4y+4)=(36-12\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}+x^2+y^2+4y+4)\\ & \left(12\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}\right)=36+8y \left(4 \mathrm{على} \mathrm{نقسم}\right)\\ & 3\sqrt{x^2+(y+2{)}^2}=9+2y \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\\ & 9[x^2+(y+2{)}^2]=(9+2y{)}^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 9(x^2+y^2+4y+4)=81+36y+4y^2\\ & 9x^2+9y^2+36y+36=81+36y+4y^2\\ & 9x^2+5y^2=45\Rightarrow \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1\end{array} \end{gathered}$$

المسافة بين البؤرتين $\left(6\right)$ وحدة والعدد الثابت $\left(10\right)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \because 2c=6\Rightarrow c=3\Rightarrow (\pm 3,0) \left(\mathrm{البؤرتان}\right)\\ & \because 2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow (\pm 5,0) \left(\mathrm{الرأسان}\right)\\ & \therefore P{F}_1+P{F}_2=2a \left(\mathrm{التعريف} \mathrm{حسب}\right)\\ & \sqrt{(x-3{)}^2+(y-0{)}^2}+\sqrt{(x+3{)}^2+(y-0{)}^2}=2\left(5\right)\\ & \sqrt{(x-3{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=10\\ & \sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=10-\sqrt{(x+3{)}^2+y^2} \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\\ & x^2-6x+9+y^2=100-20\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}+x^2+6x+9+y^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& [20\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=100+12x]÷4\\ & 5\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=25+3x \left(\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\\ & 25(x^2+6x+9+y^2)=625+150x+9x^2\\ & 25x^2+150x+225+25y^2=625+150x+9x^2\\ & 16x^2+25y^2=625-225\\ & 16x^2+25y^2=400]÷\left(400\right)\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^2+8x=0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2\sqrt{3},\sqrt{3})$

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=-8x\\ & y^2=-4xp\Rightarrow -4p=-8\Rightarrow p=2\Rightarrow (-2,0) \left(\mathrm{البؤرة}\right)\end{array}$

بؤرة القطع المكافئ $F(-2,0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F(-2,0)$

القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& F_1(2,0),F_2(-2,0),c=2\Rightarrow c^2=4\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=b^2+4\dots \dots \left(1\right)\end{array}$

$(2\sqrt{3},\sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{(2\sqrt{3}{)}^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{3}{)}^2}{b^2}=1\dots \dots \left(2\right)\\ & \frac{12}{b^2+4}+\frac{3}{b^2}=1]\times b^2(b^2+4)\\ & 12b^2+3b^2+12=b^2(b^2+4)\\ & 15b^2+12=b^4+4b^2\Rightarrow b^4-15b^2+4b^2-12=0\\ & b^4-11b^2-12=0\\ & (b^2-12)(b^2+1)=0\\ & \text{either }{b}^2=12\Rightarrow a^2=12+4=16 \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض} \right)\\ & \text{or}{b}^2=-1 \left(\mathrm{تهمل}\right) \\ & \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3,4) , (6,2)$

البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع الناقص هي $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$(6,2)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(6{)}^2}{a^2}+\frac{(2{)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{36}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\dots ..\left(1\right)$

$(3,4)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(3{)}^2}{a^2}+\frac{(4{)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1.....\left(2\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{144}{a^2}+\frac{16}{b^2}=4\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \mp \frac{9}{a^2}\mp \frac{16}{b^2}=\mp 1......\left(2\right)\end{array} \left(\mathrm{بالطرح}\right) \\ \frac{135}{a^2}=3\Rightarrow a^2=\frac{135}{3}\Rightarrow a^2=45 \end{gathered}$$

نعوض قيمة $a^2$ في المعادلة (1)

$$\begin{gathered} \frac{36}{45}+\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow \frac{4}{b^2}=1-\frac{36}{45}\Rightarrow \frac{4}{b^2}=\frac{9}{45}\Rightarrow \frac{4}{b^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow b^2=20 \\ \frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^2+y^2-3x=16$$y^2=12x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^2=12x$

المنحني $x^2+y^2-3x=16$ يقطع المحور الصادي فإن $x=0$

$0+y^2-3\left(0\right)=16\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm 4\Rightarrow (0,4),(0,-4)$

وتمثلان بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية):

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

$c=4\Rightarrow c^2=16$

لإيجاد معادلة الدليل للقطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=12x\\ & y^2=4px\Rightarrow 4p=12\Rightarrow p=3\\ & x=-3 \left(\mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\right) \Rightarrow (-3,0) \left(\mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}\right)\end{array}$

معادلة القطع الناقص صادية ومعادلة القطع المكافئ سينية، ويما أن النقطة $\left(-3,0\right)$ تحقق معادلة القطع الناقص لأنه يمر بها.

$\begin{array}{rl}& \frac{(-3{)}^2}{b^2}+\frac{(0{)}^2}{a^2}=1\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=9+16\Rightarrow a^2=25\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^2+8x=0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $\left(-2\right)$

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x=-2$

$y^2+8(-2)=0\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm 4\Rightarrow (-2,-4),(-2,4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$2a=2\left(2b\right)\Rightarrow a=2b\Rightarrow a^2=4b^2$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

$\begin{array}{rl}& \frac{(-2{)}^2}{4b^2}+\frac{(4{)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{4}{4b^2}+\frac{16}{b^2}=1\Rightarrow \frac{1}{b^2}+\frac{16}{b^2}=1\Rightarrow \frac{17}{b^2}=1\Rightarrow b^2=17\\ & a^2=4\left(17\right)\Rightarrow a^2=68\Rightarrow \frac{x^2}{68}+\frac{y^2}{17}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(8)- قطع ناقص $h{x}^2+k{y}^2=36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $\left(60\right)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^2=4\sqrt{3}x$ ما قيمة كل من $h , k$؟

القطع المكافئ:

نلاحظ بأن معادلة القطع المكافئ سينية موجبة:

$$\begin{gathered} y^2=4px \\ {y}^2=4\sqrt{3}x\Rightarrow p=\sqrt{3} \end{gathered}$$

بؤرة القطع المكافئ $F(\sqrt{3},0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته سينية).

القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& h{x}^2+k{y}^2=36\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{36}{h}}+\frac{y^2}{\frac{36}{k}}=1\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 , c=\sqrt{3}\Rightarrow c^2=3\end{array}$

مجموع مربعي طولي محوريه يساوي (60):

$\begin{array}{rl}& (2a{)}^2+(2b{)}^2=60\\ & 4a^2+4b^2=60\\ & a^2+b^2=15\Rightarrow b^2=15-a^2\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=15-a^2+3\\ & 2a^2=18\Rightarrow a^2=9\Rightarrow b^2=15-9=6\\ & \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

بالمقارنة $\frac{x^2}{\frac{36}{h}}+\frac{y^2}{\frac{36}{k}}=1$

$\frac{36}{h}=9\Rightarrow h=4 , \frac{36}{k}=6\Rightarrow k=6$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^2=24y$ ومجموع طولي محوريه $\left(36\right)$ وحدة.

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& x^2=4py\\ & x^2=24y4p=24\Rightarrow p=6\end{array}$

بؤرة القطع المكافئ $F(0,6)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية).

القطع الناقص:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 , c=6\Rightarrow c^2=36$

مجموع طولي محوريه (36):

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2a+2b=36\Rightarrow a+b=18\Rightarrow a=18-b\\ & a^2=b^2+c^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (18-b{)}^2=b^2+36\Rightarrow 324-36b+b^2=b^2+36\\ & 36b=324-36\Rightarrow 36b=288\Rightarrow b=\frac{288}{36}=8\Rightarrow a=18-8=10\\ & \therefore b^2=64 , a^2=100\\ & \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_2(-4,0) , F_1(4,0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q{F}_1{F}_2$ يساوي $\left(24\right)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{array}{rl}& \because F_2(-4,0),F_1(4,0)\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 , c=4\Rightarrow c^2=16\end{array}$

محيط المثلث = مجموع أضلاعه الثلاثة

$$\begin{gathered} \underset{2a}{\underbrace{Q{F}_1+Q{F}_2}}+\underset{2c}{\underbrace{F_1{F}_2}}=24 \\ \begin{array}{rl}& F_1{F}_2=2c=2\left(4\right)=8 \left(\mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\right)\\ & Q{F}_1+Q{F}_2=2a \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{تعريف} \mathrm{حسب}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 2a+8=24\Rightarrow 2a=24-8\Rightarrow 2a=16\\ & a=8\Rightarrow a^2=64\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow 64=b^2+16\Rightarrow b^2=48\\ & \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$