حلول الأسئلة

السؤال

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

الحل

نرتب القطع بحيث تكون حدود (x) وحدود (y) مربع كامل وكما يلي:

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x + 9 y^{2} + 36 y = - 4 \\ 4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = - 4 \end{aligned}$

نضيف إلى طريق المعادلة (40) أي ما أضفناه إلى المربع الكامل للقوس الأول والقوس الثاني:

${(\frac{1}{2} \times 2)}^{2} = 1$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2} \times 4)}^{2} = (2)^{2} = 4$ مربع نصف معامل y

$\begin{aligned} 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = - 4 + 40 \\ [4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36] \div 36 \\ \frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1 \end{aligned}$

بالمقارنة بالمعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} h = 1, k = - 2, a^{2} = 9 \Rightarrow a = 3 \\ b^{2} = 4 \Rightarrow b = 2 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 9 - 4 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \end{aligned} \begin{aligned} \bar{F_{1}} (c + h, k) = \bar{F_{1}} (\sqrt{5} + 1, - 2) السينات محور على البؤرتان \\ \bar{F_{2}} (- c + h, k) = \bar{F_{2}} (- \sqrt{5} + 1, - 2) \end{aligned} \begin{aligned} \bar{V_{1}} (a + h, k) = \bar{V_{1}} (4, - 2) \\ \bar{V_{2}} (- a + h, k) = \bar{V_{2}} (- 2, - 2) \end{aligned}$

طول المحور الكبير 2a=6
طول المحور الصغير 2b=4
معادلة المحور الكبير y=-2
معادلة المحور الصغير x=1
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

انسحاب المحاور للقطع الناقص

درسنا في الأمثلة السابقة القطع الناقص الذي يكون مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تقعان على إحدى المحاور الإحداثية، والآن سوف ندرس القطع الناقص بعد انسحابه إلى جهة معينة وسوف نرمز إلى مركز القطع $(h, k)$ وهذا الجدول يلخص لنا جميع الحالات:

القطع الناقص	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المركز	المعادلة	القانون
	$\begin{matrix} \bar{F_{1}} (c + h, k) \\ \bar{F_{2}} (- c + h, k) \end{matrix}$	$\begin{matrix} \bar{V_{1}} (a + h, k) \\ \bar{V_{2}} (- a + h, k) \end{matrix}$	$\begin{aligned} (h, b + k) \\ (h, - b + k) \end{aligned}$	$(h, k)$	$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
	$\begin{aligned} \bar{F_{1}} (h, c + k) \\ \bar{F_{2}} (h, - c + k) \end{aligned}$	$\begin{matrix} \bar{V_{1}} (h, a + k) \\ \bar{V_{2}} (h, - a + k) \end{matrix}$	$\begin{aligned} (b + h, k) \\ (- b + h, k) \end{aligned}$	$(h, k)$	$\frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} = 1$	$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

ملاحظة: معادلة المحور الكبير يؤخذ من البسط الذي مقامه أصغر، والمحور الصغير يؤخذ من البسط الذي مقامه أكبر.

فمثلاً:

$\frac{(x - 4)^{2}}{100} + \frac{(y + 7)^{2}}{64} = 1 x = 4 الصغير المحور معادلة y = - 7 الكبير المحور معادلة$

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x - 5)^{2}}{25} + \frac{(y + 4)^{2}}{16} = 1$

البؤرتان سينيتان فالمعادلة هي:

$\begin{aligned} \frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 \\ h = 5, k = - 4, a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5 \\ b^{2} = 16 \Rightarrow b = 4 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3 \end{aligned} \begin{aligned} \bar{F_{1}} (c + h, k) = \bar{F_{1}} (8, - 4) البؤرتان \\ \bar{F_{2}} (- c + h, k) = \bar{F_{2}} (2, - 4) \\ \bar{V_{1}} (a + h, k) = \bar{V_{1}} (10, - 4) الرأسان \\ \bar{V_{2}} (- a + h, k) = \bar{V_{2}} (0, - 4) \end{aligned}$

طول المحور الكبير 2a=10
طول المحور الصغير 2b=8
معادلة المحور الكبير y=-4 أي أن y=k
معادلة المحور الصغير x=5 أي أن x=h
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

نرتب القطع بحيث تكون حدود (x) وحدود (y) مربع كامل وكما يلي:

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x + 9 y^{2} + 36 y = - 4 \\ 4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = - 4 \end{aligned}$

نضيف إلى طريق المعادلة (40) أي ما أضفناه إلى المربع الكامل للقوس الأول والقوس الثاني:

${(\frac{1}{2} \times 2)}^{2} = 1$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2} \times 4)}^{2} = (2)^{2} = 4$ مربع نصف معامل y

$\begin{aligned} 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = - 4 + 40 \\ [4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36] \div 36 \\ \frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1 \end{aligned}$

بالمقارنة بالمعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

طول المحور الكبير 2a=6
طول المحور الصغير 2b=4
معادلة المحور الكبير y=-2
معادلة المحور الصغير x=1
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

الحل

نرتب القطع بحيث تكون حدود (x) وحدود (y) مربع كامل وكما يلي:

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x + 9 y^{2} + 36 y = - 4 \\ 4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = - 4 \end{aligned}$

نضيف إلى طريق المعادلة (40) أي ما أضفناه إلى المربع الكامل للقوس الأول والقوس الثاني:

${(\frac{1}{2} \times 2)}^{2} = 1$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2} \times 4)}^{2} = (2)^{2} = 4$ مربع نصف معامل y

$\begin{aligned} 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = - 4 + 40 \\ [4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36] \div 36 \\ \frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1 \end{aligned}$

بالمقارنة بالمعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

طول المحور الكبير 2a=6
طول المحور الصغير 2b=4
معادلة المحور الكبير y=-2
معادلة المحور الصغير x=1
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

انسحاب المحاور للقطع الناقص

القطع الناقص	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المركز	المعادلة	القانون
	$\begin{matrix} \bar{F_{1}} (c + h, k) \\ \bar{F_{2}} (- c + h, k) \end{matrix}$	$\begin{matrix} \bar{V_{1}} (a + h, k) \\ \bar{V_{2}} (- a + h, k) \end{matrix}$	$\begin{aligned} (h, b + k) \\ (h, - b + k) \end{aligned}$	$(h, k)$	$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
	$\begin{aligned} \bar{F_{1}} (h, c + k) \\ \bar{F_{2}} (h, - c + k) \end{aligned}$	$\begin{matrix} \bar{V_{1}} (h, a + k) \\ \bar{V_{2}} (h, - a + k) \end{matrix}$	$\begin{aligned} (b + h, k) \\ (- b + h, k) \end{aligned}$	$(h, k)$	$\frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} = 1$	$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

ملاحظة: معادلة المحور الكبير يؤخذ من البسط الذي مقامه أصغر، والمحور الصغير يؤخذ من البسط الذي مقامه أكبر.

فمثلاً:

$\frac{(x - 4)^{2}}{100} + \frac{(y + 7)^{2}}{64} = 1 x = 4 الصغير المحور معادلة y = - 7 الكبير المحور معادلة$

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x - 5)^{2}}{25} + \frac{(y + 4)^{2}}{16} = 1$

البؤرتان سينيتان فالمعادلة هي:

طول المحور الكبير 2a=10
طول المحور الصغير 2b=8
معادلة المحور الكبير y=-4 أي أن y=k
معادلة المحور الصغير x=5 أي أن x=h
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

نرتب القطع بحيث تكون حدود (x) وحدود (y) مربع كامل وكما يلي:

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x + 9 y^{2} + 36 y = - 4 \\ 4 (x^{2} - 2 x) + 9 (y^{2} + 4 y) = - 4 \end{aligned}$

نضيف إلى طريق المعادلة (40) أي ما أضفناه إلى المربع الكامل للقوس الأول والقوس الثاني:

${(\frac{1}{2} \times 2)}^{2} = 1$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2} \times 4)}^{2} = (2)^{2} = 4$ مربع نصف معامل y

$\begin{aligned} 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 9 (y^{2} + 4 y + 4) = - 4 + 40 \\ [4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36] \div 36 \\ \frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1 \end{aligned}$

بالمقارنة بالمعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

طول المحور الكبير 2a=6
طول المحور الصغير 2b=4
معادلة المحور الكبير y=-2
معادلة المحور الصغير x=1
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

حلول الأسئلة

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: x 2 + 9 y 2 − 8 x + 36 y = − 4

مشاركة الحل

انسحاب المحاور للقطع الناقص

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: (x−5)225+(y+4)216=1

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: x2+9y2−8x+36y=−4

مشاركة الدرس

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: x 2 + 9 y 2 − 8 x + 36 y = − 4

انسحاب المحاور للقطع الناقص

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: (x−5)225+(y+4)216=1

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: x2+9y2−8x+36y=−4

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x - 5)^{2}}{25} + \frac{(y + 4)^{2}}{16} = 1$

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x - 5)^{2}}{25} + \frac{(y + 4)^{2}}{16} = 1$

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y = - 4$