جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x-5{)}^2}{25}+\frac{(y+4{)}^2}{16}=1$

البؤرتان سينيتان فالمعادلة هي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1\\ & h=5,k=-4,a^2=25\Rightarrow a=5\\ & b^2=16\Rightarrow b=4\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=25-16=9\Rightarrow c=3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(8,-4) \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{F_2}(-c+h,k)=\overline{F_2}(2,-4)\\ & \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(10,-4) \mathrm{الرأسان}\\ & \overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_2}(0,-4)\end{array} \end{gathered}$$

• طول المحور الكبير 2a=10
• طول المحور الصغير 2b=8
• معادلة المحور الكبير y=-4 أي أن y=k
• معادلة المحور الصغير x=5 أي أن x=h
• الاختلاف المركزي $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$

انسحاب المحاور للقطع الناقص

درسنا في الأمثلة السابقة القطع الناقص الذي يكون مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تقعان على إحدى المحاور الإحداثية، والآن سوف ندرس القطع الناقص بعد انسحابه إلى جهة معينة وسوف نرمز إلى مركز القطع $(h,k)$ وهذا الجدول يلخص لنا جميع الحالات:

القطع الناقص	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المركز	المعادلة	القانون
	$\begin{array}{c}\overline{F_1}(c+h,k)\\ \overline{F_2}(-c+h,k)\end{array}$	$\begin{array}{c}\overline{V_1}(a+h,k)\\ \overline{V_2}(-a+h,k)\end{array}$	$\begin{array}{rl}& (h,b+k)\\ & (h,-b+k)\end{array}$	$(h,k)$	$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
	$\begin{array}{rl}& \overline{F_1}(h,c+k)\\ & \overline{F_2}(h,-c+k)\end{array}$	$\begin{array}{c}\overline{V_1}(h,a+k)\\ \overline{V_2}(h,-a+k)\end{array}$	$\begin{array}{rl}& (b+h,k)\\ & (-b+h,k)\end{array}$	$(h,k)$	$\frac{(x-h{)}^2}{b^2}+\frac{(y-k{)}^2}{a^2}=1$	$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

ملاحظة: معادلة المحور الكبير يؤخذ من البسط الذي مقامه أصغر، والمحور الصغير يؤخذ من البسط الذي مقامه أكبر.

فمثلاً:

$$\begin{gathered} \frac{(x-4{)}^2}{100}+\frac{(y+7{)}^2}{64}=1 \\ x=4 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة} \\ y=-7 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة} \end{gathered}$$

(1)- جد البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $\frac{(x-5{)}^2}{25}+\frac{(y+4{)}^2}{16}=1$

البؤرتان سينيتان فالمعادلة هي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1\\ & h=5,k=-4,a^2=25\Rightarrow a=5\\ & b^2=16\Rightarrow b=4\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=25-16=9\Rightarrow c=3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(8,-4) \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{F_2}(-c+h,k)=\overline{F_2}(2,-4)\\ & \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(10,-4) \mathrm{الرأسان}\\ & \overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_2}(0,-4)\end{array} \end{gathered}$$

• طول المحور الكبير 2a=10
• طول المحور الصغير 2b=8
• معادلة المحور الكبير y=-4 أي أن y=k
• معادلة المحور الصغير x=5 أي أن x=h
• الاختلاف المركزي $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$

(2)- جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من الحورين والاختلاف المركزي للقطع الناقص: $x^2+9y^2-8x+36y=-4$

نرتب القطع بحيث تكون حدود (x) وحدود (y) مربع كامل وكما يلي:

$\begin{array}{rl}& x^2-8x+9y^2+36y=-4\\ & 4(x^2-2x)+9(y^2+4y)=-4\end{array}$

نضيف إلى طريق المعادلة (40) أي ما أضفناه إلى المربع الكامل للقوس الأول والقوس الثاني:

${(\frac{1}{2}\times 2)}^2=1$ مربع نصف معامل x

${(\frac{1}{2}\times 4)}^2=(2{)}^2=4$ مربع نصف معامل y

$\begin{array}{rl}& 4(x^2-2x+1)+9(y^2+4y+4)=-4+40\\ & \left[4\right(x-1{)}^2+9(y+2{)}^2=36]÷36\\ & \frac{(x-1{)}^2}{9}+\frac{(y+2{)}^2}{4}=1\end{array}$

بالمقارنة بالمعادلة القياسية للقطع الناقص $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=1,k=-2,a^2=9\Rightarrow a=3\\ & b^2=4\Rightarrow b=2\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=9-4=5\Rightarrow c=\sqrt{5}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{F_1}(c+h,k)=\overline{F_1}(\sqrt{5}+1,-2) \mathrm{السينات} \mathrm{محور} \mathrm{على} \mathrm{البؤرتان}\\ & \overline{F_2}(-c+h,k)=\overline{F_2}(-\sqrt{5}+1,-2)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overline{V_1}(a+h,k)=\overline{V_1}(4,-2)\\ & \overline{V_2}(-a+h,k)=\overline{V_2}(-2,-2)\end{array} \end{gathered}$$

• طول المحور الكبير 2a=6
• طول المحور الصغير 2b=4
• معادلة المحور الكبير y=-2
• معادلة المحور الصغير x=1
• الاختلاف المركزي $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$