إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة $(-3,4)$ والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

البؤرة تنتمي لأحد المحورين أي أن هنالك احتمالان:

تمارين (1-2)

(1)- جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يأتي ثم ارسم المنحني البياني لها:

البؤرة $(5,0)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(5,0)$ سينية موجبة (الفتحة نحو اليمين):

معادلة الدليل:

$p=5\Rightarrow x=-5$

$y^2=4px\Rightarrow y^2=4\left(5\right)x\Rightarrow y^2=20x$

البؤرة $(0,-4)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0,-4)$ صادية سالبة (الفتحة نحو الأسفل):

معادلة الدليل:

$p=4\Rightarrow y=4$

$x^2=-4py\Rightarrow x^2=-4\left(4\right)y\Rightarrow x^2=-16y$

البؤرة $(0,\sqrt{2})$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0,\sqrt{2})$ صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

معادلة الدليل:

$p=\sqrt{2}\Rightarrow y=-\sqrt{2}$

$x^2=4py\Rightarrow x^2=4\sqrt{2}y$

معادلة دليل القطع المكافئ $4y+3=0$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل:

$4y+3=0\Rightarrow 4y=-3\Rightarrow y=\frac{-3}{4}$

البؤرة:

$y=-p\Rightarrow p=\frac{3}{4}\Rightarrow F(0,\frac{3}{4})$

نلاحظ بأن البؤرة صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

$\begin{array}{rl}{x}^2=4py& \Rightarrow x^2=4\left(\frac{3}{4}\right)y\\ & \Rightarrow x^2=3y\end{array}$

(2)- في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل والقطع المكافئ:

$x^2=4y$

الفتحة نحو الأعلى:

$\begin{array}{rl}& (x-0{)}^2=4(y-0)\\ & (x-h{)}^2=4p(y-k)\\ & h=0 , k=0 , 4p=4\Rightarrow p=1\end{array}$

البؤرة:

$F(0,p)=F(0,1)$

الرأس:

$V(h,k)=V(0,0)$

معادلة المحور:

$x=0$

معادلة الدليل:

$y=-1$

$2x+16y^2=0$

الفتحة نحو اليسار:

$\begin{array}{rl}& 16y^2=-2x\Rightarrow y^2=\frac{-1}{8}x\Rightarrow (y-0{)}^2=\frac{-1}{8}(x-0)\\ & (y-k{)}^2=-4p(x-h)\\ & h=0 , k=0 , 4p=\frac{1}{8}\Rightarrow p=\frac{1}{32}\end{array}$

البؤرة:

$F(-p,0)=F(-\frac{1}{32},0)$

الرأس:

$V(h,k)=V(0,0)$

معادلة المحور:

$y=0$

معادلة الدليل:

$x=\frac{1}{32}$

$y^2=-4(x-2)$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ $(y-k{)}^2=-4p(x-h)$ نحصل على:

$\begin{array}{rl}& (y-0{)}^2=-4(x-2) \mathrm{اليسار} \mathrm{نحو} \mathrm{الفتحة}\\ & h=2,k=0,-4p=-4\Rightarrow p=1\\ & \overline{F}(-p+h,k)=\overline{F}(-1+2,0)=\overline{F}(1,0) \mathrm{البؤرة}\\ & \overline{V}(h,k)=\overline{V}(2,0) \mathrm{الرأس}\\ & y=0 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & \because x=p+h\Rightarrow x=1+2=3 \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array}$

$(x-1{)}^2=8(y-1)$

$\begin{array}{rl}& (x-h{)}^2=4p(y-k) \mathrm{الأعلى} \mathrm{نحو} \mathrm{الفتحة}\\ & h=1,k=1,4p=8\Rightarrow p=2\\ & \overline{F}(h,p+k)=\overline{F}(1,3) \mathrm{البؤرة}\\ & \overline{V}(h,k)=\overline{V}(1,1) \mathrm{الرأس}\\ & x=1 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & \because y=-p+k\Rightarrow y=-2+1=-1 \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array}$

$y^2+4y+2x=-6$

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود y في طرف وحدود x في الطرف الآخر.

$y^2+4y=-2x-6$

نضيف 4 إلى طرفي معادلة القطع المكافئ حتى تكون حدود y بشكل مربع كامل.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y^2+4y+4=-2x-6+4\\ & (y+2{)}^2=-2x-2 \mathrm{اليسار} \mathrm{نحو} \mathrm{الفتحة}\\ & (y+2{)}^2=-2(x+1)\\ & (y-k{)}^2=-4p(x-h)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& h=-1,k=-2,-4p=-2\Rightarrow p=\frac{1}{2}\\ & \overline{F}(-p+h,k)=\overline{F}(\frac{-3}{2},-2) \mathrm{البؤرة}\\ & \overline{V}(h,k)=\overline{V}(-1,-2) \mathrm{الرأس}\\ & y=-2 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & \because x=p+h\Rightarrow x=\frac{1}{2}-1=\frac{-1}{2} \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array} \end{gathered}$$

$x^2+6x-y=0$

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود y في طرف وحدود x في الطرف الآخر.

$x^2+6x=y$

نضيف 9 إلى طرفي المعادلة حتى تكون حدود x بشكل مربع كامل.

$\begin{array}{rl}& x^2+6x+9=y+9\\ & (x+3{)}^2=y+9 \mathrm{الأعلى} \mathrm{نحو} \mathrm{الفتحة}\\ & (x-h{)}^2=4p(y-k)\\ & h=-3,k=-9,4p=1\Rightarrow p=\frac{1}{4}\\ & \overline{F}(h,p+k)=\overline{F}(-3,\frac{1}{4}-9)=\overline{F}(-3,\frac{-35}{4}) \mathrm{البؤرة}\\ & \overline{V}(h,k)=\overline{V}(-3,-9) \mathrm{الرأس}\\ & x=-3 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & y=-p+k\Rightarrow y=-\frac{1}{4}-9=\frac{-1-36}{4}=\frac{-37}{4} \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array}$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين $(2,5) , (2,-5)$ والرأس في نقطة الأصل.

نلاحظ بأن الإحداثي السيني في النقطتين متساويين وموجبين فتكون المعادلة (سينية موجبة):

النقطتان تحققان المعادلة $y^2=4px$

$25=4p\left(2\right)\Rightarrow 25=8p\Rightarrow p=\frac{25}{8}$

المعادلة هي $y^2=4\left(\frac{25}{8}\right)x\Rightarrow y^2=\left(\frac{25}{2}\right)x$

(4)- إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة $(-3,4)$ والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

البؤرة تنتمي لأحد المحورين أي أن هنالك احتمالان:

(5)- قطع مكافئ معادلته $A{x}^2+8y=0$ ويمر بالنقطة $(1,2)$ جد قيمة $A$ ثم جد بؤرته ودليله ثم ارسم القطع.

$(1,2)$ تنتمي للقطع المكافئ فهي تحقق معادلته:

$\begin{array}{rl}& A(1{)}^2+8(2)=0\Rightarrow A=-16\\ & -16x^2+8y=0\Rightarrow -16x^2=-8y\\ & x^2=\frac{1}{2}y\\ & x^2=4py\end{array}$

نلاحظ بأن البؤرة صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

$4p=\frac{1}{2}\Rightarrow p=\frac{1}{8}$

البؤرة:

$F(0,p)⟹F(0,\frac{1}{8})$

معادلة الدليل:

$y=-\frac{1}{8}$

(6)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ:

البؤرة $(7,0)$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل:

$p=7\Rightarrow x=-7$

تعريف القطع المكافئ:

$MF=MQ$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} \sqrt{(x-7{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{(x+7{)}^2+(y-y{)}^2} \\ \begin{array}{rl}& (x-7{)}^2+(y-0{)}^2=(x+7{)}^2\\ & x^2-14x+49+y^2=x^2+14x+49\\ & -14x+y^2=14x\end{array} \end{gathered}$$

معادلة القطع المكافئ:

$y^2=28x$

معادلة الدليل $y=\sqrt{3}$ والرأس في نقطة الأصل.

$y=\sqrt{3} , y=p\Rightarrow y=\sqrt{3}$

البؤرة:

$\therefore F(0,-p)=F(0,-\sqrt{3})$

تعريف القطع المكافئ:

$MF=MQ$

بتربيع الطرفين:

$$\begin{gathered} \sqrt{(x-0{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{(x-x{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2} \\ \begin{array}{rl}& x^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=(y-\sqrt{3}{)}^2\\ & x^2+y^2+2\sqrt{3}y+3=y^2-2\sqrt{3}y+3\\ & x^2+2\sqrt{3}y=-2\sqrt{3}y\end{array} \end{gathered}$$

معادلة القطع المكافئ:

$x^2=-4\sqrt{3}y$

قطع مكافئ: باستخدام قانون المسافة $p{F}_1=p{F}_2$

$(\sqrt{}=\sqrt{}{)}^2$ بالتربيع ترفع الجذور.