حلول الأسئلة

السؤال

جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

الحل

$\begin{aligned} 3 y^{2} - 24 y = 12 x] \div 3 \\ y^{2} - 8 y = 4 x \\ y^{2} - 8 y + 16 = 4 x + 16 \\ (y - 4)^{2} = 4 (x + 4) \\ (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ h = - 4, k = 4 \Rightarrow (h, k) = (- 4, 4) الرأس \\ 4 p = 4 \Rightarrow p = \frac{4}{4} = 1 \Rightarrow \bar{F} (p + h, k) = \bar{F} (1 - 4, 4) = \bar{F} (- 3, 4) البؤرة \end{aligned} \begin{aligned} y = k \Rightarrow y = 4 المحور معادلة \\ x = - p + h \Rightarrow x = - 1 - 4 = - 5 الدليل معادلة \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

انسحاب المحاور للقطع المكافئ

درسنا في الأمثلة السابقة القطع المكافئ الذي يكون رأسه نقطة الأصل وبؤرته تقع على إحدى المحاور الإحداثية (السينية أو الصادية)، والآن سوف ندرس القطع المكافئ بعد انسحابه إلى جهة معينة وسوف ترمز إلى رأس القطع بـ $(h, k)$ وهذا الجدول يلخص لنا جميع الحالات:

فتحة القطع	المحور الموازي	البؤرة	معادلة الدليل	معادلة المحور	معادلة القطع
يمين	x	$\bar{F} (p + h, k)$	$x = - p + h$	y=k	$(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$
يسار	x	$\bar{F} (- p + h, k)$	$x = p + h$	y=k	$(y - k)^{2} = - 4 p (x - h)$
أعلى	y	$\bar{F} (h, p + k)$	$y = - p + k$	x=h	$(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$
أسفل	y	$\bar{F} (h, - p + k)$	$y = p + k$	x=h	$(x - h)^{2} = - 4 p (y - k)$

والجدول أدناه يوضح الفروق بين المعادلات بين كلاً المحورين:

عندما يكون على محور السينات $x - a x i s$	عندما يكون على محور الصادات $y - a x i s$
البؤرة $\bar{F} (p + h, k)$ ومعادلة الدليل $x = - p + h$	البؤرة $\bar{F} (h, p + k)$ ومعادلة الدليل $y = - p + k$
الدليل يوازي المحور الصادي	الدليل يوازي المحور السيني
الرأس والبؤرة يقعا على الإحداثي السيني	الرأس البؤرة يقعان على الإحداثي الصادي
الرأس $V (h, k)$	الرأس $V (h, k)$
القانون $(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$	القانون $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$
معادلة المحور y=k	معادلة المحور x=h

ملاحظة: الرأس هو منتصف البعد بين البؤرة والدليل أي أن:

$x_{الرأس} = \frac{x_{الدليل} + x_{البؤرة}}{2}$ وكذلك $y_{الرأس} = \frac{y_{الدليل} + y_{البؤرة}}{2}$

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: $(y + 1)^{2} = 4 (x - 2)$

الفتحة نحو اليمين: بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ

$\begin{aligned} (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ h = 2 k = - 1 \Rightarrow (h, k) = (2, - 1) الرأس \end{aligned} \begin{aligned} ∵ 4 p = 4 \Rightarrow p = \frac{4}{4} = 1 \\ \bar{F} (p + h, k) = \bar{F} (1 + 2, - 1) = \bar{F} (3, - 1) البؤرة \end{aligned} \begin{aligned} y = k \Rightarrow y = - 1 المحور معادلة \\ x = - p + h \Rightarrow x = - 1 + 2 = 1 الدليل معادلة \end{aligned}$

ملاحظة: في بعض الحالات نحتاج إلى التحويل الصيغة المربع الكامل لجعل ممكنة مع معادلة القطع فإذا كانت المعادلة $(x^{2} + \underline{b} x = c)$ فنضيف للطرفين (مربع نصف معامل x) أي ${(\frac{b}{2})}^{2}$ ولا يصح هذا القانون إلا إذا كان (معامل $1 = x^{2}$ ).

(2)- ناقش القطع المكافئ $x^{2} + 4 x + 2 y - 2 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} + 4 x = - 2 y + 2 \\ x^{2} + 4 x + 4 = - 2 y + 2 + 4 \\ (x + 2)^{2} = - 2 y + 6 \\ (x + 2)^{2} = - 2 (y - 3) \\ (x - h)^{2} = - 4 p (y - k) \\ h = - 2, k = 3 \Rightarrow (h, k) = (- 2, 3) الرأس \\ - 4 p = - 2 \Rightarrow p = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \bar{F} (h, - p + k) = \bar{F} (- 2, \frac{- 1}{2} + 3) = \bar{F} (- 2, \frac{5}{2}) البؤرة \\ x = h \Rightarrow x = - 2 المحور معادلة \\ ∵ y = p + k \Rightarrow y = \frac{1}{2} + 3 = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y = 3 \frac{1}{2} الدليل معادلة \end{aligned}$

(3)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(- 1, 3)$ ويمر بالنقطة $(3, 5)$ ومحوره يوازي محور السينات.

$\begin{aligned} (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ (y - 3)^{2} = 4 p (x + 1) \end{aligned} (h, k) \Rightarrow (- 1, 3) الرأس (3, 5) \in للقطع (5 - 3)^{2} = 4 p (3 + 1) \Rightarrow 4 = 16 p \Rightarrow p = \frac{1}{4} \Rightarrow ∴ (y - 3)^{2} = (x + 1) المعادلة$

(5)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

$\begin{aligned} y^{2} + 8 y - 8 x + 24 = 0 \\ y^{2} + 8 y = 8 x - 24 \\ y^{2} + 8 y + (16) = 8 x - 24 + (16) \\ y^{2} + 8 y + (16) = 8 x - 8 \\ (y + 4)^{2} = 8 (x - 1) \\ (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ h = 1, k = - 4 \Rightarrow (h, k) = (1, - 4) الرأس \\ 4 p = 8 \Rightarrow p = \frac{8}{4} = 2 \Rightarrow \bar{F} (p + h, k) = \bar{F} (2 + 1, - 4) = \bar{F} (3, - 4) البؤرة \end{aligned} \begin{aligned} y = k \Rightarrow y = - 4 الدليل معادلة \\ x = - p + h \Rightarrow x = - 2 + 1 \Rightarrow x = - 1 المحور معادلة \end{aligned}$

ملاحظة: يمكننا استنتاج معادلة المحور من الجزء الذي فيه تربيع في المعادلة، كما في الأمثلة أدناه:

$\begin{aligned} (y - 5)^{2} = 6 (x - 2) \Rightarrow y = 5 \\ (x + 2)^{2} = 3 (y - 1) \Rightarrow x = - 2 \\ x^{2} = 12 y \Rightarrow x = 0 \\ y^{2} = - 4 x \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

الحل

انسحاب المحاور للقطع المكافئ

فتحة القطع	المحور الموازي	البؤرة	معادلة الدليل	معادلة المحور	معادلة القطع
يمين	x	$\bar{F} (p + h, k)$	$x = - p + h$	y=k	$(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$
يسار	x	$\bar{F} (- p + h, k)$	$x = p + h$	y=k	$(y - k)^{2} = - 4 p (x - h)$
أعلى	y	$\bar{F} (h, p + k)$	$y = - p + k$	x=h	$(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$
أسفل	y	$\bar{F} (h, - p + k)$	$y = p + k$	x=h	$(x - h)^{2} = - 4 p (y - k)$

والجدول أدناه يوضح الفروق بين المعادلات بين كلاً المحورين:

عندما يكون على محور السينات $x - a x i s$	عندما يكون على محور الصادات $y - a x i s$
البؤرة $\bar{F} (p + h, k)$ ومعادلة الدليل $x = - p + h$	البؤرة $\bar{F} (h, p + k)$ ومعادلة الدليل $y = - p + k$
الدليل يوازي المحور الصادي	الدليل يوازي المحور السيني
الرأس والبؤرة يقعا على الإحداثي السيني	الرأس البؤرة يقعان على الإحداثي الصادي
الرأس $V (h, k)$	الرأس $V (h, k)$
القانون $(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$	القانون $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$
معادلة المحور y=k	معادلة المحور x=h

ملاحظة: الرأس هو منتصف البعد بين البؤرة والدليل أي أن:

$x_{الرأس} = \frac{x_{الدليل} + x_{البؤرة}}{2}$ وكذلك $y_{الرأس} = \frac{y_{الدليل} + y_{البؤرة}}{2}$

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: $(y + 1)^{2} = 4 (x - 2)$

الفتحة نحو اليمين: بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ

(2)- ناقش القطع المكافئ $x^{2} + 4 x + 2 y - 2 = 0$

(3)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(- 1, 3)$ ويمر بالنقطة $(3, 5)$ ومحوره يوازي محور السينات.

(5)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

ملاحظة: يمكننا استنتاج معادلة المحور من الجزء الذي فيه تربيع في المعادلة، كما في الأمثلة أدناه:

$\begin{aligned} (y - 5)^{2} = 6 (x - 2) \Rightarrow y = 5 \\ (x + 2)^{2} = 3 (y - 1) \Rightarrow x = - 2 \\ x^{2} = 12 y \Rightarrow x = 0 \\ y^{2} = - 4 x \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$

حلول الأسئلة

جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

مشاركة الحل

انسحاب المحاور للقطع المكافئ

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: (y+1)2=4(x−2)

(2)- ناقش القطع المكافئx2+4x+2y−2=0

(3)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه (-1,3) ويمر بالنقطة (3,5) ومحوره يوازي محور السينات.

(5)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(y−5)2=6(x−2)⇒y=5(x+2)2=3(y−1)⇒x=−2x2=12y⇒x=0y2=−4x⇒y=0

مشاركة الدرس

جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

انسحاب المحاور للقطع المكافئ

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: (y+1)2=4(x−2)

(2)- ناقش القطع المكافئx2+4x+2y−2=0

(3)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه (-1,3) ويمر بالنقطة (3,5) ومحوره يوازي محور السينات.

(5)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

(y−5)2=6(x−2)⇒y=5(x+2)2=3(y−1)⇒x=−2x2=12y⇒x=0y2=−4x⇒y=0

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: $(y + 1)^{2} = 4 (x - 2)$

(2)- ناقش القطع المكافئ $x^{2} + 4 x + 2 y - 2 = 0$

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(- 1, 3)$ ويمر بالنقطة $(3, 5)$ ومحوره يوازي محور السينات.

$\begin{aligned} (y - 5)^{2} = 6 (x - 2) \Rightarrow y = 5 \\ (x + 2)^{2} = 3 (y - 1) \Rightarrow x = - 2 \\ x^{2} = 12 y \Rightarrow x = 0 \\ y^{2} = - 4 x \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: $(y + 1)^{2} = 4 (x - 2)$

(2)- ناقش القطع المكافئ $x^{2} + 4 x + 2 y - 2 = 0$

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(- 1, 3)$ ويمر بالنقطة $(3, 5)$ ومحوره يوازي محور السينات.

$\begin{aligned} (y - 5)^{2} = 6 (x - 2) \Rightarrow y = 5 \\ (x + 2)^{2} = 3 (y - 1) \Rightarrow x = - 2 \\ x^{2} = 12 y \Rightarrow x = 0 \\ y^{2} = - 4 x \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$