حلول الأسئلة

السؤال

عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

الحل

$- 2 + 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 2}{2 \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

زاوية الاسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

$θ = \arg (z) = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا كان $z = x + y i = (x, y)$ فإن $I (z) = y = r \sin θ, R (z) = x = r \cos θ$ حيث أن $R (z)$ الجزء الحقيق للعدد المركب، $I (z)$ الجزء التخيلي للعدد المركب، $(r)$ مقياس العدد المركب وهو عدد حقيقي غير سالب ويسمى $m o d z$ ويرمز له بالرمز $| | Z | |$ وتسمى $(θ)$ سعة العدد المركب وتكتب $θ = \arg (z)$ حيث $θ \in [0, 2 π]$ ويمكن القول أن:

$Z = ∥ z ∥ (\cos (\arg Z) + i \sin (\arg Z))$ أو يكتب $Z = r (\cos θ + i \sin θ)$

المقياس $r = ∥ Z ∥ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{x}{| | Z | |}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{y}{| | Z | |}$

الشكل يوضح كيفية إيجاد الزاوية باستخدام زاوية الإسناد وحسب موقعها والربع الذي تقع فيه.

$(θ)$ الإسناد الزاوية.

الشكل

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب $Z = 1 + \sqrt{3} i$

$r = \mod Z = ∥ Z ∥ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \begin{aligned} \cos θ = \frac{x}{∥ Z ∥} = \frac{1}{2} \\ \sin θ = \frac{y}{∥ Z ∥} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

تقع في الربع الأول والقيمة الأساسية للسعة:

$θ = \arg (z) = \frac{π}{3}$

(2)- إذا كان $Z = - 1 - i$ فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد $Z$

$\begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثالث.

القيمة الأساسية للسعة:

$θ = \arg (z) = π + \frac{π}{4} = \frac{π}{1} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$Z = r (\cos θ + i \sin θ) \Rightarrow Z = \sqrt{2} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})$

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

$- 2 + 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 2}{2 \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

زاوية الاسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

$θ = \arg (z) = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \end{aligned}$

$2 \sqrt{3} - 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{4 \times 3 + 4} = \sqrt{16} = 4$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 2}{4} = \frac{- 1}{2}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{6}$ تقع في الربع الرابع.

سعة العدد المركب:

$θ = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 4 [\cos (\frac{11 π}{6}) + i \sin (\frac{11 π}{6})] \end{aligned}$

(4)- عبر بالصيغة القطبية عن كل من الأعداد التالية:

$1$

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(1)^{2} + 0} = \sqrt{1} = 1 \begin{aligned} \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{1}{1} = 1, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{0}{1} = 0, θ = 0 \\ Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 1 (\cos 0 + i \sin 0) \end{aligned}$

$- 1$

$\begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 1)^{2} + 0} = \sqrt{1} = 1 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{1} = - 1, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{0}{1} = 0, θ = π \\ Z = 1 (\cos π + i \sin π) \end{aligned}$

$i$

$\begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{0 + (1)^{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{0}{1} = 0, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{1}{1} = 1, θ = \frac{π}{2} \\ Z = 1 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) \end{aligned}$

$- i$

$\begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{0}{1} = 0, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 1}{1} = - 1, θ = \frac{3 π}{2} \\ Z = 1 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2}) \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

الحل

$- 2 + 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 2}{2 \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

زاوية الاسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

$θ = \arg (z) = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \end{aligned}$

الصيغة القطبية للعدد المركب

إذا كان $z = x + y i = (x, y)$ فإن $I (z) = y = r \sin θ, R (z) = x = r \cos θ$ حيث أن $R (z)$ الجزء الحقيق للعدد المركب، $I (z)$ الجزء التخيلي للعدد المركب، $(r)$ مقياس العدد المركب وهو عدد حقيقي غير سالب ويسمى $m o d z$ ويرمز له بالرمز $| | Z | |$ وتسمى $(θ)$ سعة العدد المركب وتكتب $θ = \arg (z)$ حيث $θ \in [0, 2 π]$ ويمكن القول أن:

$Z = ∥ z ∥ (\cos (\arg Z) + i \sin (\arg Z))$ أو يكتب $Z = r (\cos θ + i \sin θ)$

المقياس $r = ∥ Z ∥ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{x}{| | Z | |}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{y}{| | Z | |}$

الشكل يوضح كيفية إيجاد الزاوية باستخدام زاوية الإسناد وحسب موقعها والربع الذي تقع فيه.

$(θ)$ الإسناد الزاوية.

الشكل

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب $Z = 1 + \sqrt{3} i$

تقع في الربع الأول والقيمة الأساسية للسعة:

$θ = \arg (z) = \frac{π}{3}$

(2)- إذا كان $Z = - 1 - i$ فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد $Z$

$\begin{aligned} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \\ \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثالث.

القيمة الأساسية للسعة:

$θ = \arg (z) = π + \frac{π}{4} = \frac{π}{1} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$Z = r (\cos θ + i \sin θ) \Rightarrow Z = \sqrt{2} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})$

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

$- 2 + 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 2}{2 \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

زاوية الاسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الثاني.

سعة العدد المركب:

$θ = \arg (z) = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 2 \sqrt{2} (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \end{aligned}$

$2 \sqrt{3} - 2 i$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{4 \times 3 + 4} = \sqrt{16} = 4$

القيمة الأساسية:

$\cos θ = \frac{x}{r} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 2}{4} = \frac{- 1}{2}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{6}$ تقع في الربع الرابع.

سعة العدد المركب:

$θ = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ Z = 4 [\cos (\frac{11 π}{6}) + i \sin (\frac{11 π}{6})] \end{aligned}$

حلول الأسئلة

عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

مشاركة الحل

الصيغة القطبية للعدد المركب

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب Z=1+3i

(2)- إذا كان Z=−1−i فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد Z

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

−2+2i

23−2i

(4)- عبر بالصيغة القطبية عن كل من الأعداد التالية:

1

-1

i

-i

مشاركة الدرس

عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

الصيغة القطبية للعدد المركب

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب Z=1+3i

(2)- إذا كان Z=−1−i فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد Z

(3)- عبر عن كل من الأعداد التالية بالصيغة القطبية:

−2+2i

23−2i

(4)- عبر بالصيغة القطبية عن كل من الأعداد التالية:

1

-1

i

-i

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب $Z = 1 + \sqrt{3} i$

(2)- إذا كان $Z = - 1 - i$ فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد $Z$

$- 2 + 2 i$

$2 \sqrt{3} - 2 i$

$1$

$- 1$

$i$

$- i$

(1)- جد المقياس والقيمة الأساسية للعدد المركب $Z = 1 + \sqrt{3} i$

(2)- إذا كان $Z = - 1 - i$ فجد المقياس والقيمة الأساسية للعدد $Z$

$- 2 + 2 i$

$2 \sqrt{3} - 2 i$

$1$

$- 1$

$i$

$- i$