جد الجذر التربيعي للعدد $-25$

$c^2=-25\Rightarrow c=\pm \sqrt{-25}=\pm \sqrt{25(-1)}=\pm \sqrt{25i^2}=\pm 5i$

كل معادلة تربيعي لا يمكن حلها بطريقة التجربة فهي تحل بطريقة الدستور فمثلاً:

$a{x}^2+bx+c=0$

حيث $a,b,c\in R , a\ne 0$ فإن $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ونلاحظ أنه إذا كان مقدار المميز $(b^2-4ac)$ سالباً فإن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة ويوجد نوعان من حل المعادلات التربيعية.

النوع الأول: المميز لا يحتوي على (i)

الجذور التربيعية للعدد المركب

إذا كان $x^2=a$ فإن $x=\pm \sqrt{a}$ وهي الجذور التربيعية للعدد $\left(a\right)$ أما إذا كانت $x^2=4$ فإن $x=2$ هو أحد جذري المعادلة ولإيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب لاحظ الأمثلة التالية:

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $c=8+6i$

$$\begin{gathered} 8+6i=(a+bi{)}^2\Rightarrow a^2+2abi-b^2=8+6i \\ \begin{array}{rl}& a^2-b^2+2abi=8+6i\\ & a^2-b^2=8\dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=6\dots \dots \dots \left(2\right)]÷2\\ & ab=3\Rightarrow b=\frac{3}{a}\dots \dots (\ast )\end{array} \end{gathered}$$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{array}{rl}& a^2-\frac{9}{a^2}=8]\times a^2\Rightarrow a^4-9=8a^2\Rightarrow a^4-8a^2-9=0\\ & (a^2-9)(a^2+1)=0\end{array}$

إما:

$$\begin{gathered} a^2-9\Rightarrow a=\pm 3 \\ b=\frac{3}{a}=\frac{3}{\pm 3}\Rightarrow b=\pm 1 \end{gathered}$$

أو:

$a^2+1=0\Rightarrow a^2=-1$ تهمل.

الجذران هما $3+i , -3-i$

ملاحظة: نلاحظ أن $a,b$ تأخذ قيم حقيقية فقط فلذلك $a^2=-1$ وهي قيمة تخيلية تهمل.

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد $-i$

$\begin{array}{rl}& -i=(a+bi{)}^2\\ & 0-i=a^2+2abi-b^2\Rightarrow 0-i=a^2-b^2+2abi\Rightarrow \\ & a^2-b^2=0\dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=-1\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & b=\frac{-1}{2a}\dots \dots \dots (\ast )\end{array}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{array}{rl}& a^2-\frac{1}{4a^2}=0]\times 4a^2\\ & 4a^4-1=0\Rightarrow (2a^2-1)(2a^2+1)=0\end{array}$

إما:

$$\begin{gathered} 2a^2-1=0\Rightarrow 2a^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ b=\frac{-1}{2(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})}=\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})}=\frac{\mp 1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

أو:

$2a^2+1=0\Rightarrow 2a^2=-1\Rightarrow a^2=\frac{-1}{2}$ تهمل.

الجذران هما $\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i , \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب $-1+\sqrt{3}i$

$\begin{array}{rl}& -1+\sqrt{3}i=(x+yi{)}^2\\ & -1+\sqrt{3}i=(x^2-y^2)+2xyi\\ & x^2-y^2=-1\dots \dots \left(1\right)\\ & 2xy=\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2x}\dots \dots \left(2\right)\\ & x^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2x}\right)}^2=-1\\ & x^2-\frac{3}{4x^2}=-1\stackrel{4x^2\times \dot{ٍ}}{=}4x^4-3=-4x^2\Rightarrow 4x^4+4x^2-3=0\\ & (2x^2+3)(2x^2-1)=0\end{array}$

إما:

$2x^2+3=0\Rightarrow 2x^2=-3$ تهمل حيث $x\in R$

أو:

$2x^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{\sqrt{3}}{\pm \frac{2}{\sqrt{2}}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

الجذران هما $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}i , -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}i$

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد $8i$

$\begin{array}{rl}& 8i=(a+bi{)}^2\\ & 0+8i=a^2+2abi-b^2\Rightarrow 0+8i=a^2-b^2+2abi\\ & a^2-b^2=0\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & 2ab=8\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & b=\frac{8}{2a}\Rightarrow b=\frac{4}{a}\dots \dots \dots \dots (\ast )\end{array}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$a^2-\frac{16}{a^2}=0]\times a^2\Rightarrow a^4-16=0\Rightarrow (a^2+4)(a^2-4)=0$

إما:

$a^2+4=0\Rightarrow a^2=-4$ تهمل.

أو:

$a^2-4=0\Rightarrow a=\pm 2$

$b=\frac{4}{\pm 2}=\pm 2$

الجذران هما $2+2i ,-2-2i$

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد $-25$

$c^2=-25\Rightarrow c=\pm \sqrt{-25}=\pm \sqrt{25(-1)}=\pm \sqrt{25i^2}=\pm 5i$