حلول الأسئلة

السؤال

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

الحل

$x^{3} = 8 \Rightarrow x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

إما:

$(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

أو:

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 \overset{}{⟹} a = 1, b = 2, c = 4 \begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (1) (4)}}{2 (1)} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} \\ x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2} \Rightarrow x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12 i^{2}}}{2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3} i}{2} = - 1 \pm \sqrt{3} i \end{aligned}$

مجموعة الحل ${2, - 1 + \sqrt{3} i, - 1 - \sqrt{3} i}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 55 - 48 i$ ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$

نفرض أن الجذر التربيعي للعدد $- 55 - 48 i$ هو $a + b i$

$a + b i = \sqrt{- 55 - 48 i}$

بتربيع الطرفين:

$(a + b i)^{2} = - 55 - 48 i \begin{aligned} a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} = - 55 - 48 i \Rightarrow (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i = - 55 - 48 i \\ a^{2} - b^{2} = - 55 \dots \dots \dots (1) \end{aligned} \begin{aligned} 2 a b = - 48 \Rightarrow a = \frac{- 48}{2 b} \Rightarrow a = \frac{- 24}{b} \\ b^{4} - 55 b^{2} - 576 = 0 \Rightarrow (b^{2} - 64) (b^{2} + 9) = 0 \end{aligned}$

إما:

$b^{2} = 64 ⟹ b = \pm 8$

نعوض في معادلة (2)

$a = \frac{- 24}{b} \Rightarrow a = \frac{- 24}{\pm 8} \Rightarrow a = \mp 3$

أو:

$b^{2} + 9 = 0 \Rightarrow b^{2} = - 9$ تهمل.

الجذران هما $3 - 8 i, - 3 + 8 i$

الآن نحل المعادلة $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$ باستخدام قانون الدستور حيث:

$a = 1, b = (1 + 2 i), c = 13 (1 + i)$

$\begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{- (1 + 2 i) \pm \sqrt{(1 + 2 i)^{2} - (4) (1) (13 + 13 i)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- (1 + 2 i) \pm \sqrt{1 + 4 i + 4 i^{2} - (52 + 52 i)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- (1 + 2 i) \pm \sqrt{1 + 4 i - 4 - (52 + 52 i)}}{2} = \frac{- (1 + 2 i) \pm \sqrt{- 55 - 48 i}}{2} \end{aligned}$

إما:

$x_{1} = \frac{- 1 - 2 i + 3 - 8 i}{2} = \frac{2 - 10 i}{2} = 1 - 5 i$

أو:

$x_{2} = \frac{- 1 - 2 i - 3 + 8 i}{2} = \frac{- 4 + 6 i}{2} = - 2 + 3 i$

مجموعة الحل ${- 2 + 3 i, 1 - 5 i}$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{10}{3 - i}, 3 - i$

$\begin{aligned} x_{1} = 3 - i \\ x_{2} = \frac{10}{3 - i} = \frac{10}{3 - i} \times \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{10 (3 + i)}{3^{2} + 1^{2}} = \frac{10 (3 + i)}{10} = 3 + i \end{aligned}$

مجموع الجذرين:

$(3 - i) + (3 + i) = (3 + 3) + (- 1 + 1) i = 6$

ضرب الجذرين:

$(3 - i) (3 + i) = 9 + 3 i - 3 i - i^{2} = 9 + 1 = 10$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - 6 x + 10 = 0$}

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $- 8 i$

$\begin{aligned} x^{3} = - 8 i \Rightarrow x^{3} + 8 i = 0 \Rightarrow x^{3} - 8 i (i^{2}) = 0 \Rightarrow x^{3} - 8 i^{3} = 0 \\ x^{3} - 8 i^{3} = 0 \Rightarrow (x - 2 i) (x^{2} + 2 x i + 4 i^{2}) = 0 \Rightarrow (x - 2 i) (x^{2} + 2 x i - 4) = 0 \end{aligned}$

إما:

$x - 2 i = 0 \Rightarrow x = 2 i$

أو:

$x^{2} + 2 i x - 4 = 0 \overset{}{⟹} a = 1, b = 2 i, c = - 4 \begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 (1) (- 4)}}{2 (1)} = \frac{- 2 i \pm \sqrt{- 4 + 16}}{2} \\ x = \frac{- 2 i \pm \sqrt{12}}{2} \Rightarrow x = \frac{- 2 i \pm 2 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = - i \pm \sqrt{3} \end{aligned}$

مجموعة الحل ${2 i, - i + \sqrt{3}, - i - \sqrt{3}}$

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

$x^{3} = 8 \Rightarrow x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

إما:

$(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

أو:

مجموعة الحل ${2, - 1 + \sqrt{3} i, - 1 - \sqrt{3} i}$

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية $i x^{2} - 2 x - 2 i = 0$

نقسم المعادلة على i

$\begin{aligned} i x^{2} - 2 x - 2 i = 0 \\ \frac{i x^{2}}{i} - \frac{2 x}{i} - \frac{2 i}{i} = 0 \Rightarrow x^{2} - \frac{2 i^{4}}{i} x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 i^{3} x - 2 = 0 \\ x^{2} + 2 i x - 2 = 0 \overset{}{⟹} a = 1, b = 2 i, c = - 2 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 i \pm \sqrt{(2 i)^{2} - 4 (1) (- 2)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 2 i \pm \sqrt{- 4 + 8}}{2} = \frac{- 2 i \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{- 2 i \pm 2}{2} = - i \pm 1 \end{aligned}$

مجموعة الحل ${- i + 1, - i - 1}$

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية $x^{2} - 4 \sin θ x + 4 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} - 4 \sin θ x + 4 = 0 \Rightarrow a = 1, b = - 4 \sin θ, c = 4 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 4 \sin θ) \pm \sqrt{(- 4 \sin θ)^{2} - 4 (1) (4)}}{2 (1)} \\ x = \frac{4 \sin θ \pm \sqrt{16 (\sin θ)^{2} - 16}}{2} = \frac{4 \sin θ \pm \sqrt{16 [(\sin θ)^{2} - 1]}}{2} \\ x = \frac{4 \sin θ \pm \sqrt{16 [- (\cos θ)^{2}]}}{2} = \frac{4 \sin θ \pm \sqrt{16 [(\cos θ)^{2} i^{2}]}}{2} \\ x = \frac{4 \sin θ \pm 4 \cos θ i}{2} = 2 \sin θ \pm 2 \cos θ i \end{aligned}$

مجموعة الحل ${2 \sin θ + 2 \cos θ i, 2 \sin θ - 2 \cos θ i}$

(7)- أوجد قيمة كل من $x, y$ من المعادلة التالية $(x + y i)^{2} - \frac{8 - 8 i}{1 + i} + 15 = 0$

$\begin{aligned} (x + y i)^{2} - \frac{8 - 8 i}{1 + i} + 15 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x y i + y^{2} i^{2} = \frac{8 - 8 i}{1 + i} - 15 \\ (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = (\frac{8 - 8 i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i}) - 15 \\ (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = (\frac{8 - 8 i - 8 i + 8 i^{2}}{1^{2} + 1^{2}}) - 15 \\ (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = (\frac{- 16 i}{2}) - 15 \Rightarrow (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = - 8 i - 15 \\ x^{2} - y^{2} = - 15 \dots \dots \dots (1) \\ 2 x y = - 8 \Rightarrow x = \frac{- 8}{2 y} \Rightarrow x = \frac{- 4}{y} \dots \dots . . (2) \\ {(\frac{- 4}{y})}^{2} - y^{2} = - 15 \Rightarrow \frac{16}{y^{2}} - y^{2} = - 15 \overset{y^{2} \times}{⟹} 16 - y^{4} = - 15 y^{2} \\ y^{4} - 15 y^{2} - 16 = 0 \Rightarrow (y^{2} - 16) (y^{2} + 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$\begin{aligned} y^{2} - 16 = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \\ x = \frac{- 4}{y} = \frac{- 4}{\pm 4} \Rightarrow x = \mp 1 \end{aligned}$

أو:

$y^{2} + 1 = 0 \Rightarrow y^{2} = - 1$ تهمل.

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها $(\sqrt{2} - i)^{2}$

الجذر الأول $(\sqrt{2} - i)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \sqrt{2} i + i^{2} = 1 - 2 \sqrt{2} i$

المعاملات حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق $1 + 2 \sqrt{2} i$

المجموع:

$(1 - 2 \sqrt{2} i) + (1 + 2 \sqrt{2} i) = (1 + 1) + (- 2 \sqrt{2} i + 2 \sqrt{2} i) = 2$

الضرب:

$(1 - 2 \sqrt{2} i) (1 + 2 \sqrt{2} i) = 1 + 2 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} i - (2 \sqrt{2} i)^{2} = 1 + 8 = 9$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - 2 x + 9 = 0$}

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

الحل

$x^{3} = 8 \Rightarrow x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

إما:

$(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

أو:

مجموعة الحل ${2, - 1 + \sqrt{3} i, - 1 - \sqrt{3} i}$

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 55 - 48 i$ ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$

نفرض أن الجذر التربيعي للعدد $- 55 - 48 i$ هو $a + b i$

$a + b i = \sqrt{- 55 - 48 i}$

بتربيع الطرفين:

إما:

$b^{2} = 64 ⟹ b = \pm 8$

نعوض في معادلة (2)

$a = \frac{- 24}{b} \Rightarrow a = \frac{- 24}{\pm 8} \Rightarrow a = \mp 3$

أو:

$b^{2} + 9 = 0 \Rightarrow b^{2} = - 9$ تهمل.

الجذران هما $3 - 8 i, - 3 + 8 i$

الآن نحل المعادلة $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$ باستخدام قانون الدستور حيث:

$a = 1, b = (1 + 2 i), c = 13 (1 + i)$

إما:

$x_{1} = \frac{- 1 - 2 i + 3 - 8 i}{2} = \frac{2 - 10 i}{2} = 1 - 5 i$

أو:

$x_{2} = \frac{- 1 - 2 i - 3 + 8 i}{2} = \frac{- 4 + 6 i}{2} = - 2 + 3 i$

مجموعة الحل ${- 2 + 3 i, 1 - 5 i}$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{10}{3 - i}, 3 - i$

$\begin{aligned} x_{1} = 3 - i \\ x_{2} = \frac{10}{3 - i} = \frac{10}{3 - i} \times \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{10 (3 + i)}{3^{2} + 1^{2}} = \frac{10 (3 + i)}{10} = 3 + i \end{aligned}$

مجموع الجذرين:

$(3 - i) + (3 + i) = (3 + 3) + (- 1 + 1) i = 6$

ضرب الجذرين:

$(3 - i) (3 + i) = 9 + 3 i - 3 i - i^{2} = 9 + 1 = 10$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - 6 x + 10 = 0$}

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $- 8 i$

إما:

$x - 2 i = 0 \Rightarrow x = 2 i$

أو:

مجموعة الحل ${2 i, - i + \sqrt{3}, - i - \sqrt{3}}$

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

$x^{3} = 8 \Rightarrow x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

إما:

$(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

أو:

مجموعة الحل ${2, - 1 + \sqrt{3} i, - 1 - \sqrt{3} i}$

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية $i x^{2} - 2 x - 2 i = 0$

نقسم المعادلة على i

مجموعة الحل ${- i + 1, - i - 1}$

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية $x^{2} - 4 \sin θ x + 4 = 0$

مجموعة الحل ${2 \sin θ + 2 \cos θ i, 2 \sin θ - 2 \cos θ i}$

(7)- أوجد قيمة كل من $x, y$ من المعادلة التالية $(x + y i)^{2} - \frac{8 - 8 i}{1 + i} + 15 = 0$

إما:

$\begin{aligned} y^{2} - 16 = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \\ x = \frac{- 4}{y} = \frac{- 4}{\pm 4} \Rightarrow x = \mp 1 \end{aligned}$

أو:

$y^{2} + 1 = 0 \Rightarrow y^{2} = - 1$ تهمل.

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها $(\sqrt{2} - i)^{2}$

الجذر الأول $(\sqrt{2} - i)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \sqrt{2} i + i^{2} = 1 - 2 \sqrt{2} i$

المعاملات حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق $1 + 2 \sqrt{2} i$

المجموع:

$(1 - 2 \sqrt{2} i) + (1 + 2 \sqrt{2} i) = (1 + 1) + (- 2 \sqrt{2} i + 2 \sqrt{2} i) = 2$

الضرب:

$(1 - 2 \sqrt{2} i) (1 + 2 \sqrt{2} i) = 1 + 2 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} i - (2 \sqrt{2} i)^{2} = 1 + 8 = 9$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - 2 x + 9 = 0$}

حلول الأسئلة

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب 8

مشاركة الحل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب −55−48i ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: x2+(1+2i)x+13(1+i)=0

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها 103−i , 3−i

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب -8i

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب 8

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية ix2−2x−2i=0

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية x2−4sin⁡θx+4=0

(7)- أوجد قيمة كل من x,y من المعادلة التالية (x+yi)2−8−8i1+i+15=0

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها (2−i)2

مشاركة الدرس

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب 8

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب −55−48i ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: x2+(1+2i)x+13(1+i)=0

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها 103−i , 3−i

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب -8i

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب 8

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية ix2−2x−2i=0

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية x2−4sin⁡θx+4=0

(7)- أوجد قيمة كل من x,y من المعادلة التالية (x+yi)2−8−8i1+i+15=0

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها (2−i)2

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 55 - 48 i$ ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{10}{3 - i}, 3 - i$

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $- 8 i$

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية $i x^{2} - 2 x - 2 i = 0$

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية $x^{2} - 4 \sin θ x + 4 = 0$

(7)- أوجد قيمة كل من $x, y$ من المعادلة التالية $(x + y i)^{2} - \frac{8 - 8 i}{1 + i} + 15 = 0$

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها $(\sqrt{2} - i)^{2}$

جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 55 - 48 i$ ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: $x^{2} + (1 + 2 i) x + 13 (1 + i) = 0$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{10}{3 - i}, 3 - i$

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $- 8 i$

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب $8$

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية $i x^{2} - 2 x - 2 i = 0$

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية $x^{2} - 4 \sin θ x + 4 = 0$

(7)- أوجد قيمة كل من $x, y$ من المعادلة التالية $(x + y i)^{2} - \frac{8 - 8 i}{1 + i} + 15 = 0$

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها $(\sqrt{2} - i)^{2}$