حلول الأسئلة

السؤال

ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

الحل

i 4 n + 1

 

i 4 n + 1 = i 4 n i = ( i 4 ) n i = ( 1 ) i = i = 0 + i

 

مشاركة الحل

تمارين (1-1)

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

i5

i5=i4i=(1).i=i=0+i

i6

i6=i4i2=(1)(1)=1=1+0i

i124

i124=(i4)31=(1)31=1=1+0i

i999

i999=(i4)249i3=(1)i2i=i=0i

i4n+1

i4n+1=i4ni=(i4)ni=(1)i=i=0+i

(2+3i)2+(12+2i)

(2+3i)2+(12+2i)=4+12i+9i2+(12+2i)=(5+12i)+(12+2i)=7+14i

(10+3i)(0+6i)

(10+3i)(0+6i)=0+60i+0+18i2=18+60i

(1+i)4(1i)4

(1+i)4(1i)4=[(1+i)2]2[(1i)2]2=[1+2i+i2]2[12i+i2]2=(2i)2(2i)2=4i24i2=0=0+0i

12+ii×ii

12+ii×ii=12ii2i2=112i1=112i

3+4i34i

3+4i34i=3+4i34i×3+4i3+4i=9+12i+12i+16i232+42=7+24i9+16=7+24i25=725+2425i

i2+3i

i2+3i=i2+3i×23i23i=2i3i222+32=3+2i4+9=3+2i13=313+213i

(3+i1+i)3

(3+i1+i)3=(3+i1+i×1i1i)3

ملاحظة: عدد مركب بصورة كسرية مرفوع لقوة يضرب داخل القوس في المرافق أولاً ثم يبسط وبعدها نتخلص من القوة المرفوع لها.

=(33i+ii212+12)3=(42i2)3=(2i)3=(2i)2(2i)=(44i+i2)(2i)=(34i)(2i)=63i8i+4i2=211i

2+3i1i×1+4i4+i

2+3i1i×1+4i4+i=2+8i+3i+12i24+i4ii2=10+11i53i×5+3i5+3i=5030i+55i+33i252+32=83+25i25+9=83+25i34=8334+2534i

(1+i)3+(1i)3

(1+i)3+(1i)3=(1+i)2(1+i)+(1i)2(1i)=(1+2i+i2)(1+i)+(12i+i2)(1i)=(2i)(1+i)+(2i)(1i)=2i+2i22i+2i2=4=4+0i

(2)- جد قيمة كل من x,y الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

y+5i=(2x+i)(x+2i)

y+5i=2x2+4xi+xi+2i2y+5i=(2x22)+(4x+x)iy+5i=(2x22)+5xiy=(2x22)(1)5=5x.(2)55=5x5x=1

نعوض في المعادلة (1)

y=2(1)22=22=0y=0

8i=(x+2i)(y+2i)+1

8i=xy+2xi+2yi+4i2+18i=(xy3)+(2x+2y)ixy3=0xy=3y=3x.(1)2x+2y=8]÷2x+y=4y=4x.(2)

نعوض (1) في (2)

4x=3xx×x(4x)=34xx2=3x24x+3=0(x3)(x1)=0

إما: x3=0x=3

نعوض في المعادلة (2)

y=1

أو: x1=0x=1

نعوض في المعادلة (2)

y=3

(1i1+i)+(x+yi)=(1+2i)2

(x+yi)=(1+2i)2(1i1+i)(x+yi)=(1+4i+4i2)(1i1+i×1i1i)(x+yi)=3+4i(1ii+i212+12)(x+yi)=3+4i(2i2)(x+yi)=3+4i+ix+yi=3+5ix=3 , y=5

2i1+ix+3i2+iy=1i

[2i1+i×1i1i]x+[3i2+i×2i2i]y=i4i[22ii+i212+12]x+[63i2i+i222+12]y=i3[13i2]x+[55i5]y=i]×105(13i)x+2(55i)y=10i5x15xi+10y10yi=010i5x+10y=0...(1)15x10y=10...(2)10x=10x=1

نعوض في المعادلة (1)

5(1)+10y=010y=5y=510y=12

(3)- أثبت أن:

1(2i)21(2+i)2=825i

LHS  1(2i)21(2+i)2=144i+i214+4i+i2=144i114+4i1=134i×3+4i3+4i13+4i×34i34i=3+4i9+1634i9+16=3+4i2534i25=3+4i3+4i25=825i  RHS

(1i)21+i+(1+i)21i=2

LHS  (1i)21+i+(1+i)21i=12i+i21+i+1+2i+i21i=2i1+i+2i1i=2i1+i×1i1i+2i1i×1+i1+i=2i+2i212+12+2i+2i212+12=2i22+2i22=2i222+2i222=i1+i1=2  RHS

(4)- حلل كلاً من الأعداد 29 ، 125 ، 41 ، 85 إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة a+bi حيث a,b عددان نسبيان.

85=81+4=814i2=(92i)(9+2i)41=25+16=2516i2=(54i)(5+4i)125=121+4=1214i2=(112i)(11+2i)29=25+4=254i2=(52i)(5+2i)

(5)- جد قيمة x,y الحقيقيتين إذا علمت أن 3+i2i , 6x+yi مترافقان.

6x+yi=3i2+i(x+yi)(3i)=12+6ix+yi=12+6i3ix+yi=12+6i3i×3+i3+i=36+12i+18i+6i232+12=366+30i9+1x+yi=30+30i10x+yi=3+3ix=3 , y=3

مشاركة الدرس

السؤال

ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

الحل

i 4 n + 1

 

i 4 n + 1 = i 4 n i = ( i 4 ) n i = ( 1 ) i = i = 0 + i

 

تمارين (1-1)

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

i5

i5=i4i=(1).i=i=0+i

i6

i6=i4i2=(1)(1)=1=1+0i

i124

i124=(i4)31=(1)31=1=1+0i

i999

i999=(i4)249i3=(1)i2i=i=0i

i4n+1

i4n+1=i4ni=(i4)ni=(1)i=i=0+i

(2+3i)2+(12+2i)

(2+3i)2+(12+2i)=4+12i+9i2+(12+2i)=(5+12i)+(12+2i)=7+14i

(10+3i)(0+6i)

(10+3i)(0+6i)=0+60i+0+18i2=18+60i

(1+i)4(1i)4

(1+i)4(1i)4=[(1+i)2]2[(1i)2]2=[1+2i+i2]2[12i+i2]2=(2i)2(2i)2=4i24i2=0=0+0i

12+ii×ii

12+ii×ii=12ii2i2=112i1=112i

3+4i34i

3+4i34i=3+4i34i×3+4i3+4i=9+12i+12i+16i232+42=7+24i9+16=7+24i25=725+2425i

i2+3i

i2+3i=i2+3i×23i23i=2i3i222+32=3+2i4+9=3+2i13=313+213i

(3+i1+i)3

(3+i1+i)3=(3+i1+i×1i1i)3

ملاحظة: عدد مركب بصورة كسرية مرفوع لقوة يضرب داخل القوس في المرافق أولاً ثم يبسط وبعدها نتخلص من القوة المرفوع لها.

=(33i+ii212+12)3=(42i2)3=(2i)3=(2i)2(2i)=(44i+i2)(2i)=(34i)(2i)=63i8i+4i2=211i

2+3i1i×1+4i4+i

2+3i1i×1+4i4+i=2+8i+3i+12i24+i4ii2=10+11i53i×5+3i5+3i=5030i+55i+33i252+32=83+25i25+9=83+25i34=8334+2534i

(1+i)3+(1i)3

(1+i)3+(1i)3=(1+i)2(1+i)+(1i)2(1i)=(1+2i+i2)(1+i)+(12i+i2)(1i)=(2i)(1+i)+(2i)(1i)=2i+2i22i+2i2=4=4+0i

(2)- جد قيمة كل من x,y الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

y+5i=(2x+i)(x+2i)

y+5i=2x2+4xi+xi+2i2y+5i=(2x22)+(4x+x)iy+5i=(2x22)+5xiy=(2x22)(1)5=5x.(2)55=5x5x=1

نعوض في المعادلة (1)

y=2(1)22=22=0y=0

8i=(x+2i)(y+2i)+1

8i=xy+2xi+2yi+4i2+18i=(xy3)+(2x+2y)ixy3=0xy=3y=3x.(1)2x+2y=8]÷2x+y=4y=4x.(2)

نعوض (1) في (2)

4x=3xx×x(4x)=34xx2=3x24x+3=0(x3)(x1)=0

إما: x3=0x=3

نعوض في المعادلة (2)

y=1

أو: x1=0x=1

نعوض في المعادلة (2)

y=3

(1i1+i)+(x+yi)=(1+2i)2

(x+yi)=(1+2i)2(1i1+i)(x+yi)=(1+4i+4i2)(1i1+i×1i1i)(x+yi)=3+4i(1ii+i212+12)(x+yi)=3+4i(2i2)(x+yi)=3+4i+ix+yi=3+5ix=3 , y=5

2i1+ix+3i2+iy=1i

[2i1+i×1i1i]x+[3i2+i×2i2i]y=i4i[22ii+i212+12]x+[63i2i+i222+12]y=i3[13i2]x+[55i5]y=i]×105(13i)x+2(55i)y=10i5x15xi+10y10yi=010i5x+10y=0...(1)15x10y=10...(2)10x=10x=1

نعوض في المعادلة (1)

5(1)+10y=010y=5y=510y=12

(3)- أثبت أن:

1(2i)21(2+i)2=825i

LHS  1(2i)21(2+i)2=144i+i214+4i+i2=144i114+4i1=134i×3+4i3+4i13+4i×34i34i=3+4i9+1634i9+16=3+4i2534i25=3+4i3+4i25=825i  RHS

(1i)21+i+(1+i)21i=2

LHS  (1i)21+i+(1+i)21i=12i+i21+i+1+2i+i21i=2i1+i+2i1i=2i1+i×1i1i+2i1i×1+i1+i=2i+2i212+12+2i+2i212+12=2i22+2i22=2i222+2i222=i1+i1=2  RHS

(4)- حلل كلاً من الأعداد 29 ، 125 ، 41 ، 85 إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة a+bi حيث a,b عددان نسبيان.

85=81+4=814i2=(92i)(9+2i)41=25+16=2516i2=(54i)(5+4i)125=121+4=1214i2=(112i)(11+2i)29=25+4=254i2=(52i)(5+2i)

(5)- جد قيمة x,y الحقيقيتين إذا علمت أن 3+i2i , 6x+yi مترافقان.

6x+yi=3i2+i(x+yi)(3i)=12+6ix+yi=12+6i3ix+yi=12+6i3i×3+i3+i=36+12i+18i+6i232+12=366+30i9+1x+yi=30+30i10x+yi=3+3ix=3 , y=3