أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية كل مما يأتي:

${\left(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\right)}^9$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\right)}^9={(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\times \frac{1-\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})}^9={\left(\frac{\sqrt{3}-3i-i+\sqrt{3}{i}^2}{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}\right)}^9={\left(\frac{\sqrt{3}-4i-\sqrt{3}}{1+3}\right)}^9 \\ ={\left(\frac{-4i}{4}\right)}^9=(-i{)}^9=(-i\left)\right(-i{)}^8=-i=0-i \end{gathered}$$

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية كل مما يأتي:

$(5+3i)(1+i)+(2-i{)}^2$

$(5+5i+3i+3i^2)+4-4i+i^2=(2+8i)+(3-4i)=5+4i$

${\left(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\right)}^9$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\right)}^9={(\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}\times \frac{1-\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i})}^9={\left(\frac{\sqrt{3}-3i-i+\sqrt{3}{i}^2}{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}\right)}^9={\left(\frac{\sqrt{3}-4i-\sqrt{3}}{1+3}\right)}^9 \\ ={\left(\frac{-4i}{4}\right)}^9=(-i{)}^9=(-i\left)\right(-i{)}^8=-i=0-i \end{gathered}$$

$(1-\sqrt{-3}{)}^2+(2-\sqrt{-3}{)}^2$

$\begin{array}{rl}& (1-\sqrt{3}i{)}^2+(2-\sqrt{3}i{)}^2=(1-2\sqrt{3}i+3i^2)+(4-4\sqrt{3}i+3i^2)\\ & =(-2-2\sqrt{3}i)+(1-4\sqrt{3}i)=-1-6\sqrt{3}i\end{array}$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعهما $6$ وحاصل ضربهما $10$

نفرض أن العدد هو $c_1=a+bi$ عدد مركب مرافقه هو $c_2=a-bi$

$\begin{array}{rl}& \because c_1+c_2=2a\Rightarrow 6=2a\Rightarrow a=3\\ & \because c_1\cdot c_2=a^2+b^2\Rightarrow 10=3^2+b^2\Rightarrow b^2=1\Rightarrow b=\pm 1\end{array}$

العددان هما $(3+i) , (3-i)$

(3)- أكتب العدد $(3+2i)(-2+i)$ بالصيغة العادية ثم جد النظير الضربي له بالصيغة الديكارتية.

الصيغة الجبرية:

$(3+2i)(-2+i)=(-6+3i-4i+2i^2)=-8-i$

الصيغة الديكارتية:

$\frac{1}{-8-i}=\frac{1}{-8-i}\times \frac{-8+i}{-8+i}=\frac{-8+i}{(-8{)}^2+1^2}=\frac{-8}{65}+\frac{i}{65}=(\frac{-8}{65},\frac{1}{65})$

(4)- إذا كان $x=-1+2i$ فأوجد قيمة المعادلة $x^2+2x+5$

$\begin{array}{rl}{x}^2+2x+5& =(-1+2i{)}^2+2(-1+2i)+5\\ & =(1-4i+4i^2)+(-2+4i)+5=(-3-4i)+(-2+4i)+5=-5+0i+5\\ & =0+0i\end{array}$

(5)- إذا كان $x\in \mathrm{ℂ}$ و $\overline{x}$ مرافق له جد العدد المركب الذي يحقق $3x+\overline{x}=2i+3$

$$\begin{gathered} x=a+bi\therefore \overline{x}=a-bi \\ \begin{array}{rl}& 3(a+bi)+(a-bi)=2i+3\Rightarrow 3a+3bi+a-bi=2i+3\\ & 3a+a=3\Rightarrow 4a=3\Rightarrow a=\frac{3}{4}\\ & 3b-b=2\Rightarrow 2b=2\Rightarrow b=1\\ & \therefore x=a+bi=\frac{3}{4}+i\end{array} \end{gathered}$$

(6)- إذا كان $L=\frac{7-i}{2-i} , K=\frac{13-i}{4+i}$ أثبت أن $L,K$ مترافقان $L^{2}K+L{K}^2$

نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية R

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}K& =\frac{13-i}{4+i}=\frac{13-i}{4+i}\times \frac{4-i}{4-i}=\frac{52-13i-4i+i^2}{4^2+1^2}=\frac{51-17i}{16+1}\\ & =\frac{51}{17}-\frac{17i}{17}=3-i\\ L& =\frac{7-i}{2-i}=\frac{7-i}{2-i}\times \frac{2+i}{2+i}=\frac{14+7i-2i-i^2}{2^2+1^2}=\frac{15+5i}{5}=3+i\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (3+i)+(3-i)=6\in R\\ & (3+i)(3-i)=3^2+1^2=9+1=10\in R\\ & L^{2}K+L{K}^2=LK(L+K)=\left(10\right)\left(6\right)=60\end{array} \end{gathered}$$

مترافقان $\therefore L,K$

(7)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافق).

$\frac{5}{2-i}$

$\frac{5}{2-i}=\frac{4+1}{2-i}=\frac{4-i^2}{2-i}=\frac{(2-i)(2+i)}{2-i}=2+i$

$\frac{13}{2+3i}$

$\frac{13}{2+3i}=\frac{4+9}{2+3i}=\frac{4-9i^2}{2+3i}=\frac{(2+3i)(2-3i)}{2+3i}=2-3i$

$\frac{10}{2+i}$

$\frac{10}{2+i}=\frac{2\left(5\right)}{2+i}=\frac{2(4+1)}{2+i}=\frac{2(4-i^2)}{2+i}=\frac{2(2+i)(2-i)}{2+i}=2(2-i)=4-2i$

(8)- أوجد قيمة $x,y$ الحقيقيتين والتي تحقق المعادلة في ما يأتي:

$(x+yi)(a+bi)=1$

$\begin{array}{rl}& (x+yi)=\frac{1}{a+bi}\Rightarrow (x+yi)=\frac{1}{a+bi}\times \frac{a-bi}{a-bi}\Rightarrow (x+yi)=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\ & (x+yi)=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{bi}{a^2+b^2}\\ & x=\frac{a}{a^2+b^2} , y=\frac{-b}{a^2+b^2}\end{array}$