حلول الأسئلة

السؤال

إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

الحل

$- 2 c - 4 w + 3 z$

$\begin{aligned} - 2 c - 4 w + 3 z & = - 2 (1 + 2 i) - 4 (- 1 - 7 i) + 3 (- 1 - 11 i) \\ = (- 2 - 4 i) + (4 + 28 i) + (- 3 - 33 i) \\ = (- 2 + 4 - 3) + (- 4 + 28 - 33) i = - 1 - 9 i \end{aligned}$

إذا كان $C_{1} = (a + b i), C_{2} = (c + d i) \forall c, h \in R$ فإن:

$1) h (a + b i) = a h + h b i 2) h i (a + b i) = h a i + h b i^{2} = h a i - h b = - h b + h a i 3) C_{1} \cdot C_{2} = (a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i 4) (a + b i)^{2} = a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i 5) \forall c \neq 0 + 0 i \exists c^{- 1} = \frac{1}{c}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

جمع وطرح الأعداد المركبة

$\forall C_{1}, C_{2}, C_{3} \in C$ وكان $C_{2} = c + d, C_{1} = a + b i$ فإن:

$\begin{aligned} 1) & C_{1} + C_{2} = C_{2} + C_{1} \\ 2) & C_{1} + (C_{2} + C_{3}) = (C_{1} + C_{2}) + C_{3} \end{aligned} 3) C_{1} + C_{2} = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

النظير الجمعي للعدد المركب:

$4) C = a + b i \exists - C = - a - b i, C + (- C) = 0$

العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر:

$5) 0 + C = C + 0, 0 = 0 + 0 i$

ملاحظة:

إذا كان $c = a + b i$ فإن نظيره الجمعي $- c = - a - b i$

(1)- جد ناتج ما يأتي:

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i)$

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i) = (2 + 1) + (3 - 5) i = 3 - 2 i$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i)$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i) = (3 - 4) + (- 1 + 6) i = - 1 + 5 i$

$(4 + 5 i) - (2 - 7 i)$

$\begin{aligned} (4 + 5 i) - (2 - 7 i) = (4 + 5 i) + (- 2 + 7 i) & = (4 - 2) + (5 + 7) i \\ = 2 + 12 i \end{aligned}$

$- 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3})$

$\begin{aligned} - 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3}) = (0 - 2 i) - (- 3 + 4 i) & = (0 - 2 i) + (3 - 4 i) \\ = (0 + 3) + (- 2 - 4) i = 3 - 6 i \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة:

$x \in C, (2 - 4 i) + x = - 5 + i$

بإضافة النظير الجمعي $(2 - 4 i)$ للطرفين لأن جمع عدد مع نظيره يساوي صفر:

$\begin{aligned} (2 - 4 i) + x = - 5 + i \\ (2 - 4 i) + (- 2 + 4 i) + x = (- 5 + i) + (- 2 + 4 i) \\ 0 + 0 i + x = (- 5 - 2) + (1 + 4) i \\ x = - 7 + 5 i \end{aligned}$

ملاحظة: إن طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد المركب الأول مع النظير الجمعي للعدد المركب الآخر.

(3)- جد ناتج:

$(3 - 2 i) - (8 + 5 i)$

$(3 - 2 i) + (- 8 - 5 i) = (3 - 8) + (- 2 - 5) i = - 5 + (- 7) i = - 5 - 7 i$

ملاحظة: مجموعة الأعداد الحقيقة R هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة C أي أن $R \subset C$ .

(4)- جد ناتج:

$(7 - 13 i) - (9 + 4 i)$

$\begin{aligned} (7 - 13 i) - (9 + 4 i) \\ = & (7 - 13 i) + (- 9 - 4 i) = (7 - 9) + (- 13 - 4) i = - 2 - 17 i \end{aligned}$

(5)- جد مجموع العددين في كل مما يأتي:

$3 + 4 \sqrt{2} i, 5 - 2 \sqrt{2} i$

$(3 + 4 \sqrt{2} i) + (5 - 2 \sqrt{2} i) = (3 + 5) + (4 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} i) = 8 + 2 \sqrt{2} i$

$3, 2 - 5 i$

$(3 + 0 i) + (2 - 5 i) = (3 + 2) + (0 - 5) i = 5 - 5 i$

$m = 1 + 5 i, w = 3 + 7 i, z = - 1 - i$

$m + w + z = (1 + 5 i) + (3 + 7 i) + (- 1 - i) = (1 + 3 - 1) + (5 + 7 - 1) i = 3 + 11 i$

(6)- إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

$- 2 c - 4 w + 3 z$

$\begin{aligned} - 2 c - 4 w + 3 z & = - 2 (1 + 2 i) - 4 (- 1 - 7 i) + 3 (- 1 - 11 i) \\ = (- 2 - 4 i) + (4 + 28 i) + (- 3 - 33 i) \\ = (- 2 + 4 - 3) + (- 4 + 28 - 33) i = - 1 - 9 i \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

الحل

$- 2 c - 4 w + 3 z$

$\begin{aligned} - 2 c - 4 w + 3 z & = - 2 (1 + 2 i) - 4 (- 1 - 7 i) + 3 (- 1 - 11 i) \\ = (- 2 - 4 i) + (4 + 28 i) + (- 3 - 33 i) \\ = (- 2 + 4 - 3) + (- 4 + 28 - 33) i = - 1 - 9 i \end{aligned}$

إذا كان $C_{1} = (a + b i), C_{2} = (c + d i) \forall c, h \in R$ فإن:

جمع وطرح الأعداد المركبة

$\forall C_{1}, C_{2}, C_{3} \in C$ وكان $C_{2} = c + d, C_{1} = a + b i$ فإن:

$\begin{aligned} 1) & C_{1} + C_{2} = C_{2} + C_{1} \\ 2) & C_{1} + (C_{2} + C_{3}) = (C_{1} + C_{2}) + C_{3} \end{aligned} 3) C_{1} + C_{2} = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

النظير الجمعي للعدد المركب:

$4) C = a + b i \exists - C = - a - b i, C + (- C) = 0$

العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر:

$5) 0 + C = C + 0, 0 = 0 + 0 i$

ملاحظة:

إذا كان $c = a + b i$ فإن نظيره الجمعي $- c = - a - b i$

(1)- جد ناتج ما يأتي:

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i)$

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i) = (2 + 1) + (3 - 5) i = 3 - 2 i$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i)$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i) = (3 - 4) + (- 1 + 6) i = - 1 + 5 i$

$(4 + 5 i) - (2 - 7 i)$

$\begin{aligned} (4 + 5 i) - (2 - 7 i) = (4 + 5 i) + (- 2 + 7 i) & = (4 - 2) + (5 + 7) i \\ = 2 + 12 i \end{aligned}$

$- 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3})$

$\begin{aligned} - 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3}) = (0 - 2 i) - (- 3 + 4 i) & = (0 - 2 i) + (3 - 4 i) \\ = (0 + 3) + (- 2 - 4) i = 3 - 6 i \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة:

$x \in C, (2 - 4 i) + x = - 5 + i$

بإضافة النظير الجمعي $(2 - 4 i)$ للطرفين لأن جمع عدد مع نظيره يساوي صفر:

$\begin{aligned} (2 - 4 i) + x = - 5 + i \\ (2 - 4 i) + (- 2 + 4 i) + x = (- 5 + i) + (- 2 + 4 i) \\ 0 + 0 i + x = (- 5 - 2) + (1 + 4) i \\ x = - 7 + 5 i \end{aligned}$

ملاحظة: إن طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد المركب الأول مع النظير الجمعي للعدد المركب الآخر.

(3)- جد ناتج:

$(3 - 2 i) - (8 + 5 i)$

$(3 - 2 i) + (- 8 - 5 i) = (3 - 8) + (- 2 - 5) i = - 5 + (- 7) i = - 5 - 7 i$

ملاحظة: مجموعة الأعداد الحقيقة R هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة C أي أن $R \subset C$ .

(4)- جد ناتج:

$(7 - 13 i) - (9 + 4 i)$

$\begin{aligned} (7 - 13 i) - (9 + 4 i) \\ = & (7 - 13 i) + (- 9 - 4 i) = (7 - 9) + (- 13 - 4) i = - 2 - 17 i \end{aligned}$

(5)- جد مجموع العددين في كل مما يأتي:

$3 + 4 \sqrt{2} i, 5 - 2 \sqrt{2} i$

$(3 + 4 \sqrt{2} i) + (5 - 2 \sqrt{2} i) = (3 + 5) + (4 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} i) = 8 + 2 \sqrt{2} i$

$3, 2 - 5 i$

$(3 + 0 i) + (2 - 5 i) = (3 + 2) + (0 - 5) i = 5 - 5 i$

$m = 1 + 5 i, w = 3 + 7 i, z = - 1 - i$

$m + w + z = (1 + 5 i) + (3 + 7 i) + (- 1 - i) = (1 + 3 - 1) + (5 + 7 - 1) i = 3 + 11 i$

(6)- إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

$- 2 c - 4 w + 3 z$

$\begin{aligned} - 2 c - 4 w + 3 z & = - 2 (1 + 2 i) - 4 (- 1 - 7 i) + 3 (- 1 - 11 i) \\ = (- 2 - 4 i) + (4 + 28 i) + (- 3 - 33 i) \\ = (- 2 + 4 - 3) + (- 4 + 28 - 33) i = - 1 - 9 i \end{aligned}$

حلول الأسئلة

إذا كان c = 1 + 2 i , w = − 1 − 7 i , z = − 1 − 11 i فأوجد ما يلي:

مشاركة الحل

جمع وطرح الأعداد المركبة

(1)- جد ناتج ما يأتي:

(2+3i)+(1−5i)

(3−i)+(−4+6i)

(4+5i)−(2−7i)

−2i−(3i2−4i3)

(2)- حل المعادلة:

(3)- جد ناتج:

(4)- جد ناتج:

(5)- جد مجموع العددين في كل مما يأتي:

3+42i , 5−22i

3 , 2−5i

m=1+5i , w=3+7i , z=−1−i

(6)- إذا كان c=1+2i , w=−1−7i , z=−1−11i فأوجد ما يلي:

مشاركة الدرس

إذا كان c = 1 + 2 i , w = − 1 − 7 i , z = − 1 − 11 i فأوجد ما يلي:

جمع وطرح الأعداد المركبة

(1)- جد ناتج ما يأتي:

(2+3i)+(1−5i)

(3−i)+(−4+6i)

(4+5i)−(2−7i)

−2i−(3i2−4i3)

(2)- حل المعادلة:

(3)- جد ناتج:

(4)- جد ناتج:

(5)- جد مجموع العددين في كل مما يأتي:

3+42i , 5−22i

3 , 2−5i

m=1+5i , w=3+7i , z=−1−i

(6)- إذا كان c=1+2i , w=−1−7i , z=−1−11i فأوجد ما يلي:

إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i)$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i)$

$(4 + 5 i) - (2 - 7 i)$

$- 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3})$

$3 + 4 \sqrt{2} i, 5 - 2 \sqrt{2} i$

$3, 2 - 5 i$

$m = 1 + 5 i, w = 3 + 7 i, z = - 1 - i$

(6)- إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي:

$(2 + 3 i) + (1 - 5 i)$

$(3 - i) + (- 4 + 6 i)$

$(4 + 5 i) - (2 - 7 i)$

$- 2 i - (3 i^{2} - 4 i^{3})$

$3 + 4 \sqrt{2} i, 5 - 2 \sqrt{2} i$

$3, 2 - 5 i$

$m = 1 + 5 i, w = 3 + 7 i, z = - 1 - i$

(6)- إذا كان $c = 1 + 2 i, w = - 1 - 7 i, z = - 1 - 11 i$ فأوجد ما يلي: