حلول الأسئلة

السؤال

جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

الحل

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x^{2} - y^{2} - 2 x y i = - 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = - 3 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ - 2 x y = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (2) \end{aligned}$

من معادلة (2) نحصل على y لنعوضها في معادلة (1)

$\begin{aligned} y = \frac{4}{- 2 x} = \frac{- 2}{x} \\ x^{2} - {(\frac{- 2}{x})}^{2} = - 3 \end{aligned} \begin{aligned} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} = - 3] \cdot x^{2} \Rightarrow x^{4} - 4 = - 3 x^{2} \Rightarrow x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0 \\ (x^{2} + 4) (x^{2} - 1) = 0 \end{aligned}$

أما $x^{2} + 4 = 0$ تهمل

$x^{2} = - 4$ لا يمكن حلها في R

أو $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \mp 1 \begin{array}{ll} y = \frac{- 2}{1} = - 2 & (x = 1) \\ y = \frac{- 2}{- 1} = 2 & (x = - 1) \end{array}$

$\forall C_{1}, C_{2}, C_{3} \in C$ وكان $C_{2} = c + d, C_{1} = a + b i$ فإن:

$\begin{aligned} 1) & C_{1} + C_{2} = C_{2} + C_{1} \\ 2) & C_{1} + (C_{2} + C_{3}) = (C_{1} + C_{2}) + C_{3} \end{aligned} 3) C_{1} + C_{2} = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

النظير الجمعي للعدد المركب:

$4) C = a + b i \exists - C = - a - b i, C + (- C) = 0$

العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر:

$5) 0 + C = C + 0, 0 = 0 + 0 i$

ملاحظة:

إذا كان $c = a + b i$ فإن نظيره الجمعي $- c = - a - b i$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تساوي عددين مركبين

إذا كان $C_{2} = a_{2} + b_{2} i, C_{1} = a_{1} + b_{1} i$ فإن $C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$

أي إذا تساوى عددين مركبين فإن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي متساوين.

(1)- جد $a, b$ إذا علمت أن $a + b i = - 13 - 2 i$

باستخدام خاصية التساوي:

الجزء التخيلي b=-2
الجزء الحقيقي a=-13

(2)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

$2 x - 3 + 5 i = 7 + (3 y + 3) i$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{array}{r} 2 x - 3 = 7 \Rightarrow 2 x = 7 + 3 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5 \\ 3 y + 3 = 5 \Rightarrow 3 y = 5 - 3 \Rightarrow 3 y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \end{array}$

$2 x + 3 y + 15 i = 6 + (3 x + 4 y) i$

باستخدام خاصية التساوي

$\begin{aligned} 2 x + 3 y = 6 \dots \dots \dots \dots (1)] \times 3 \\ 3 x + 4 y = 15 \dots \dots (2)] \times 2 \\ 6 x + 9 y = 18 \dots \dots \dots \dots (3) \end{aligned} \mp 6 x \mp 8 y = \mp 30 \dots . (4)$

نعوض في (1) y=-12

$2 x + 3 (- 12) = 6 2 x - 36 = 6 \Rightarrow 2 x = 6 + 36 \Rightarrow 2 x = 42 \overset{\div 2}{\Rightarrow} x = 21$

$(2 y + 1) - (2 x - 1) i = - 8 + 3 i$

باستخدام خاصية التساوي:

الجزء الحقيقي:

$\begin{aligned} 2 y + 1 = - 8 \Rightarrow 2 y = - 8 - 1 \\ 2 y = - 9 ∴ y = \frac{- 9}{2} \end{aligned}$

الجزء التخيلي:

$\begin{aligned} - (2 x - 1) = 3 \Rightarrow - 2 x + 1 = 3 \Rightarrow - 2 x = 3 - 1 \\ - 2 x = 2 \overset{\div - 2}{⟹} ∴ x = - 1 \end{aligned}$

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x^{2} - y^{2} - 2 x y i = - 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = - 3 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ - 2 x y = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (2) \end{aligned}$

من معادلة (2) نحصل على y لنعوضها في معادلة (1)

أما $x^{2} + 4 = 0$ تهمل

$x^{2} = - 4$ لا يمكن حلها في R

أو $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \mp 1 \begin{array}{ll} y = \frac{- 2}{1} = - 2 & (x = 1) \\ y = \frac{- 2}{- 1} = 2 & (x = - 1) \end{array}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

الحل

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x^{2} - y^{2} - 2 x y i = - 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = - 3 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ - 2 x y = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (2) \end{aligned}$

من معادلة (2) نحصل على y لنعوضها في معادلة (1)

أما $x^{2} + 4 = 0$ تهمل

$x^{2} = - 4$ لا يمكن حلها في R

أو $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \mp 1 \begin{array}{ll} y = \frac{- 2}{1} = - 2 & (x = 1) \\ y = \frac{- 2}{- 1} = 2 & (x = - 1) \end{array}$

$\forall C_{1}, C_{2}, C_{3} \in C$ وكان $C_{2} = c + d, C_{1} = a + b i$ فإن:

$\begin{aligned} 1) & C_{1} + C_{2} = C_{2} + C_{1} \\ 2) & C_{1} + (C_{2} + C_{3}) = (C_{1} + C_{2}) + C_{3} \end{aligned} 3) C_{1} + C_{2} = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

النظير الجمعي للعدد المركب:

$4) C = a + b i \exists - C = - a - b i, C + (- C) = 0$

العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر:

$5) 0 + C = C + 0, 0 = 0 + 0 i$

ملاحظة:

إذا كان $c = a + b i$ فإن نظيره الجمعي $- c = - a - b i$

تساوي عددين مركبين

إذا كان $C_{2} = a_{2} + b_{2} i, C_{1} = a_{1} + b_{1} i$ فإن $C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$

أي إذا تساوى عددين مركبين فإن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي متساوين.

(1)- جد $a, b$ إذا علمت أن $a + b i = - 13 - 2 i$

باستخدام خاصية التساوي:

الجزء التخيلي b=-2
الجزء الحقيقي a=-13

(2)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

$2 x - 3 + 5 i = 7 + (3 y + 3) i$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{array}{r} 2 x - 3 = 7 \Rightarrow 2 x = 7 + 3 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5 \\ 3 y + 3 = 5 \Rightarrow 3 y = 5 - 3 \Rightarrow 3 y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \end{array}$

$2 x + 3 y + 15 i = 6 + (3 x + 4 y) i$

باستخدام خاصية التساوي

نعوض في (1) y=-12

$2 x + 3 (- 12) = 6 2 x - 36 = 6 \Rightarrow 2 x = 6 + 36 \Rightarrow 2 x = 42 \overset{\div 2}{\Rightarrow} x = 21$

$(2 y + 1) - (2 x - 1) i = - 8 + 3 i$

باستخدام خاصية التساوي:

الجزء الحقيقي:

$\begin{aligned} 2 y + 1 = - 8 \Rightarrow 2 y = - 8 - 1 \\ 2 y = - 9 ∴ y = \frac{- 9}{2} \end{aligned}$

الجزء التخيلي:

$\begin{aligned} - (2 x - 1) = 3 \Rightarrow - 2 x + 1 = 3 \Rightarrow - 2 x = 3 - 1 \\ - 2 x = 2 \overset{\div - 2}{⟹} ∴ x = - 1 \end{aligned}$

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x^{2} - y^{2} - 2 x y i = - 3 + 4 i \\ x^{2} - y^{2} = - 3 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ - 2 x y = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (2) \end{aligned}$

من معادلة (2) نحصل على y لنعوضها في معادلة (1)

أما $x^{2} + 4 = 0$ تهمل

$x^{2} = - 4$ لا يمكن حلها في R

أو $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \mp 1 \begin{array}{ll} y = \frac{- 2}{1} = - 2 & (x = 1) \\ y = \frac{- 2}{- 1} = 2 & (x = - 1) \end{array}$

حلول الأسئلة

جد قيمة x , y الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

مشاركة الحل

تساوي عددين مركبين

(1)- جد a,b إذا علمت أن a+bi=-13-2i

(2)- جد قيمة x,y الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

2x−3+5i=7+(3y+3)i

2x+3y+15i=6+(3x+4y)i

(2y+1)−(2x−1)i=−8+3i

x2−2xyi−y2=4i−3

مشاركة الدرس

جد قيمة x , y الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

تساوي عددين مركبين

(1)- جد a,b إذا علمت أن a+bi=-13-2i

(2)- جد قيمة x,y الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

2x−3+5i=7+(3y+3)i

2x+3y+15i=6+(3x+4y)i

(2y+1)−(2x−1)i=−8+3i

x2−2xyi−y2=4i−3

جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

(1)- جد $a, b$ إذا علمت أن $a + b i = - 13 - 2 i$

(2)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

$2 x - 3 + 5 i = 7 + (3 y + 3) i$

$2 x + 3 y + 15 i = 6 + (3 x + 4 y) i$

$(2 y + 1) - (2 x - 1) i = - 8 + 3 i$

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$

جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

(1)- جد $a, b$ إذا علمت أن $a + b i = - 13 - 2 i$

(2)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين اللذان يحققان كل من المعادلات الآتية:

$2 x - 3 + 5 i = 7 + (3 y + 3) i$

$2 x + 3 y + 15 i = 6 + (3 x + 4 y) i$

$(2 y + 1) - (2 x - 1) i = - 8 + 3 i$

$x^{2} - 2 x y i - y^{2} = 4 i - 3$