حلول الأسئلة

السؤال

أكتب ما يلي في أبسط صورة:

الحل

$i^{12 n + 93}$

$i^{12 n + 93} = {(i^{4})}^{3 n} \cdot i^{93} = (1)^{3 n} \cdot (i^{92} \cdot i) = (1) \cdot ({(i^{4})}^{23} \cdot i) = i$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

قوى i

$\begin{aligned} i = \sqrt{- 1} \\ i^{2} = (\sqrt{- 1})^{2} = - 1 \\ i^{3} = i^{2} \cdot i = (- 1) \cdot i = - i \\ i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 \\ i^{5} = i^{4} \cdot i = (1) \cdot i = i \\ i^{17} = i^{16} \cdot i = {(i^{2})}^{8} \cdot i = (- 1)^{8} \cdot i = 1 \cdot i = i \\ i^{15} = i^{14} \cdot i = {(i^{2})}^{7} \cdot i = (- 1)^{7} \cdot i = - 1 \cdot i = - i \\ i^{- 15} = \frac{1}{i^{15}} = \frac{i^{16}}{i^{15}} = i \\ i^{- 7} = \frac{1}{i^{7}} = \frac{i^{8}}{i^{7}} = i \end{aligned}$

بصورة عامة: عند رفع i لعدد صحيح موجب فالناتج يكون أحد عناصر المجموعة {1,1-,i,1-} حيث نقسم أس (i) على 4 وباقي القسمة يكون أس جديد ل i.

ملاحظة: في حالة الكسور التي تحتوي في المقام i يجب أن يكون أس العدد الذي نأخذه في البسط أكبر من أس العدد الذي في المقام، ويجب أن يكون أسه من مضاعفات العدد (4).

(1)- أكتب ما يلي في أبسط صورة:

$i^{20}$

$i^{20} = 1$

$i^{58}$

$i^{58} = {(i^{4})}^{14} \cdot i^{2} = (1)^{14} i^{2} = - 1$

[56=14×4] (i² باقي القسمة).

$i^{12 n + 93}$

$i^{12 n + 93} = {(i^{4})}^{3 n} \cdot i^{93} = (1)^{3 n} \cdot (i^{92} \cdot i) = (1) \cdot ({(i^{4})}^{23} \cdot i) = i$

$i^{- 13}$

$i^{- 13} = \frac{1}{i^{13}} = \frac{i^{16}}{i^{13}} = i^{3} = - i$

$i^{8}$

$i^{8} = i^{4} \cdot i^{4} = 1 \times 1 = 1 \Rightarrow i^{8} = 1$

ملاحظة: إن كل 1=i⁴ أي أن $i^{8} = i^{4} \cdot i^{4} = 1 \times 1 = 1 \Rightarrow i^{8} = 1$

بصورة عامة: فإن كل أس من مضاعفات العدد 4 هو 1

ملاحظة: يمكننا كتابة الجذر لأي عدد حقيق سالب بدلالة (i) فمثلاً:

$\begin{aligned} \sqrt{- 16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{- 1} = 4 i \\ \sqrt{- 15} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{15} i \\ \sqrt{- 12} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{- 1} = 2 \sqrt{3} i \end{aligned}$

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة $b i$ :

$\sqrt{- 3}$

$\sqrt{- 3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{3} i$

$\sqrt{- a}$

$\sqrt{- a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{a} i$

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة $a + b i$ :

$- 1 - \sqrt{- 3}$

$- 1 - \sqrt{- 3} = - 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{- 1} = - 1 - \sqrt{3} i$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4}$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{25} i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5 i}{4}$

(4)- أكتب الأعداد التالية بالصيغة الجبرية للعدد المركب:

$i^{16}$

$i^{16} = {(i^{4})}^{4} = (1)^{4} = 1 = 1 + 0 i$

$i^{15}$

$i^{15} = i^{12} \cdot i^{3} = (1) \cdot (- i) = - i = 0 - i$

$i^{- 13}$

$i^{- 13} = \frac{1}{i^{13}} = \frac{i^{16}}{i^{13}} = i^{3} = - i = 0 - i$

$i^{- 23}$

$i^{- 23} = \frac{1}{i^{23}} = \frac{i^{24}}{i^{23}} = i = 0 + i$

(5)- أكتب بالصيغة العادية للعدد المركب ل مما يأتي:

$i^{2} - \sqrt{- 36}$

$i^{2} - \sqrt{- 36} = - 1 - 6 i$

$i^{5} + \sqrt{12}$

$i^{5} + \sqrt{12} = i + 2 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} + i$

مصطلحات عامة: مجموعة الأعداد الطبيعية N، مجموعة الأعداد الصحيحة Z، مجموعة الأعداد الحقيقة R، مجموعة الأعداد المركبة C، الجزء الحقيق للعدد المركب R(z)، الجزء الحقيق للعدد المركب I(z).

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أكتب ما يلي في أبسط صورة:

الحل

$i^{12 n + 93}$

$i^{12 n + 93} = {(i^{4})}^{3 n} \cdot i^{93} = (1)^{3 n} \cdot (i^{92} \cdot i) = (1) \cdot ({(i^{4})}^{23} \cdot i) = i$

قوى i

$\begin{aligned} i = \sqrt{- 1} \\ i^{2} = (\sqrt{- 1})^{2} = - 1 \\ i^{3} = i^{2} \cdot i = (- 1) \cdot i = - i \\ i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 \\ i^{5} = i^{4} \cdot i = (1) \cdot i = i \\ i^{17} = i^{16} \cdot i = {(i^{2})}^{8} \cdot i = (- 1)^{8} \cdot i = 1 \cdot i = i \\ i^{15} = i^{14} \cdot i = {(i^{2})}^{7} \cdot i = (- 1)^{7} \cdot i = - 1 \cdot i = - i \\ i^{- 15} = \frac{1}{i^{15}} = \frac{i^{16}}{i^{15}} = i \\ i^{- 7} = \frac{1}{i^{7}} = \frac{i^{8}}{i^{7}} = i \end{aligned}$

(1)- أكتب ما يلي في أبسط صورة:

$i^{20}$

$i^{20} = 1$

$i^{58}$

$i^{58} = {(i^{4})}^{14} \cdot i^{2} = (1)^{14} i^{2} = - 1$

[56=14×4] (i² باقي القسمة).

$i^{12 n + 93}$

$i^{12 n + 93} = {(i^{4})}^{3 n} \cdot i^{93} = (1)^{3 n} \cdot (i^{92} \cdot i) = (1) \cdot ({(i^{4})}^{23} \cdot i) = i$

$i^{- 13}$

$i^{- 13} = \frac{1}{i^{13}} = \frac{i^{16}}{i^{13}} = i^{3} = - i$

$i^{8}$

$i^{8} = i^{4} \cdot i^{4} = 1 \times 1 = 1 \Rightarrow i^{8} = 1$

ملاحظة: إن كل 1=i⁴ أي أن $i^{8} = i^{4} \cdot i^{4} = 1 \times 1 = 1 \Rightarrow i^{8} = 1$

بصورة عامة: فإن كل أس من مضاعفات العدد 4 هو 1

ملاحظة: يمكننا كتابة الجذر لأي عدد حقيق سالب بدلالة (i) فمثلاً:

$\begin{aligned} \sqrt{- 16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{- 1} = 4 i \\ \sqrt{- 15} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{15} i \\ \sqrt{- 12} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{- 1} = 2 \sqrt{3} i \end{aligned}$

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة $b i$ :

$\sqrt{- 3}$

$\sqrt{- 3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{3} i$

$\sqrt{- a}$

$\sqrt{- a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{a} i$

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة $a + b i$ :

$- 1 - \sqrt{- 3}$

$- 1 - \sqrt{- 3} = - 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{- 1} = - 1 - \sqrt{3} i$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4}$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{25} i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5 i}{4}$

(4)- أكتب الأعداد التالية بالصيغة الجبرية للعدد المركب:

$i^{16}$

$i^{16} = {(i^{4})}^{4} = (1)^{4} = 1 = 1 + 0 i$

$i^{15}$

$i^{15} = i^{12} \cdot i^{3} = (1) \cdot (- i) = - i = 0 - i$

$i^{- 13}$

$i^{- 13} = \frac{1}{i^{13}} = \frac{i^{16}}{i^{13}} = i^{3} = - i = 0 - i$

$i^{- 23}$

$i^{- 23} = \frac{1}{i^{23}} = \frac{i^{24}}{i^{23}} = i = 0 + i$

(5)- أكتب بالصيغة العادية للعدد المركب ل مما يأتي:

$i^{2} - \sqrt{- 36}$

$i^{2} - \sqrt{- 36} = - 1 - 6 i$

$i^{5} + \sqrt{12}$

$i^{5} + \sqrt{12} = i + 2 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} + i$

حلول الأسئلة

أكتب ما يلي في أبسط صورة:

مشاركة الحل

قوى i

i=−1i2=(−1)2=−1i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−ii4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1i5=i4⋅i=(1)⋅i=ii17=i16⋅i=(i2)8⋅i=(−1)8⋅i=1⋅i=ii15=i14⋅i=(i2)7⋅i=(−1)7⋅i=−1⋅i=−ii−15=1i15=i16i15=ii−7=1i7=i8i7=i

(1)- أكتب ما يلي في أبسط صورة:

i20

i58

i12n+93

i−13

i8

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة bi:

−3

−a

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة a+bi:

−1−−3

1+−254

(4)- أكتب الأعداد التالية بالصيغة الجبرية للعدد المركب:

i16

i15

i−13

i−23

(5)- أكتب بالصيغة العادية للعدد المركب ل مما يأتي:

i2−−36

i5+12

مشاركة الدرس

أكتب ما يلي في أبسط صورة:

قوى i

i=−1i2=(−1)2=−1i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−ii4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1i5=i4⋅i=(1)⋅i=ii17=i16⋅i=(i2)8⋅i=(−1)8⋅i=1⋅i=ii15=i14⋅i=(i2)7⋅i=(−1)7⋅i=−1⋅i=−ii−15=1i15=i16i15=ii−7=1i7=i8i7=i

(1)- أكتب ما يلي في أبسط صورة:

i20

i58

i12n+93

i−13

i8

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة bi:

−3

−a

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة a+bi:

−1−−3

1+−254

(4)- أكتب الأعداد التالية بالصيغة الجبرية للعدد المركب:

i16

i15

i−13

i−23

(5)- أكتب بالصيغة العادية للعدد المركب ل مما يأتي:

i2−−36

i5+12

$i^{20}$

$i^{58}$

$i^{12 n + 93}$

$i^{- 13}$

$i^{8}$

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة $b i$ :

$\sqrt{- 3}$

$\sqrt{- a}$

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة $a + b i$ :

$- 1 - \sqrt{- 3}$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4}$

$i^{16}$

$i^{15}$

$i^{- 13}$

$i^{- 23}$

$i^{2} - \sqrt{- 36}$

$i^{5} + \sqrt{12}$

$i^{20}$

$i^{58}$

$i^{12 n + 93}$

$i^{- 13}$

$i^{8}$

(2)- أكتب كلاً مما يأتي بالصيغة $b i$ :

$\sqrt{- 3}$

$\sqrt{- a}$

(3)- أكتب الأعداد التالية على صورة $a + b i$ :

$- 1 - \sqrt{- 3}$

$\frac{1 + \sqrt{- 25}}{4}$

$i^{16}$

$i^{15}$

$i^{- 13}$

$i^{- 23}$

$i^{2} - \sqrt{- 36}$

$i^{5} + \sqrt{12}$