حل المعادلات التالية في Z باستعمال العلاقة بين الضرب والقسمة:

$y\times |-12|=60÷(-5)$

$\Rightarrow 22y=-12\Rightarrow y=-\frac{12}{22}$

اختبار الفصل

أكتب عناصر المجموعات التالية، ثم حدد أياً منها مجموعة منتهية وأياً منها غير منتهية:

$Z^{+}=\{x\in Z:x>0\}$

مجموعة غير منتهية $\{1,2,3,4,5,\dots \}$

$A=\{y\in Z:y\le -2\}$

مجموعة غير منتهية $\{\dots ,-6,-5,-4,-3,-2\}$

$B=\{x\in Z:-5\le x<2\}$

مجموعة منتهية $\{-4,-3,-2,-1,0,1\}$

$K=\{x\in Z:9 \mathrm{والعدد} -9 \mathrm{العدد} \mathrm{بين} \mathrm{زوجي} \mathrm{عدد} x\}$

مجموعة منتهية $\{-8,-6,-4,-2,0,2,4,8\}$

إذا كانت المجموعات:

$\mathrm{A}=\{-4,-3,-1,0,,2,4,7\},\mathrm{B}=\{-4,-1,0,3,5,6,7\},\mathrm{C}=\{-1,2,3,5,6,8\}$

فجد مما يأتي:

$A\cap B$

$\{-4,-1,0,7\}$

$\mathrm{B}\cap \mathrm{A}$

$\{-4,-1,0,7\}$

$A\cap C\cap B$

$\{-1\}$

$A\cup B$

$\{-4,-3,-1,0,2,4,7,3,5,6\}$

$\mathrm{C}\cup \mathrm{A}$

$\{-1,2,3,5,6,8,-4,-3,0,2,4,7\}$

حل المعادلات التالية في Z باستعمال العلاقة بين الجمع والطرح:

$x-13-3^2=|-20|$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow x-22=20\\ & \Rightarrow x-22+22=20+22\Rightarrow x=42\end{array}$

$72-y=20-\sqrt{25}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 72-y-72=20-5-72\\ & \Rightarrow -y=-57\Rightarrow y=57\end{array}$

$3N-2N+30=\sqrt[3]{-8}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow N+30=-2\\ & \Rightarrow N+30-30=-2-30\\ & \Rightarrow N=-32\end{array}$

حل المعادلات التالية في Z باستعمال العلاقة بين الضرب والقسمة:

$4x÷5=\sqrt{64}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 4x=8\times 5\Rightarrow 4x=40\\ & \Rightarrow \frac{4x}{4}=\frac{40}{4}\Rightarrow x=10\end{array}$

$64÷\mathrm{z}=|-7|+1$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 64÷\sqrt{3z}=7+1\\ & \Rightarrow 64÷\sqrt{3z}=8\\ & \Rightarrow 64=8\times \sqrt{3z}\\ & \Rightarrow \sqrt{3z}=64÷8\\ & \Rightarrow \sqrt{3z}=8\\ & \Rightarrow 3z=8^2\\ & \Rightarrow 3z=64\Rightarrow z=\frac{64}{3}\end{array}$

$y\times |-12|=60÷(-5)$

$\Rightarrow 22y=-12\Rightarrow y=-\frac{12}{22}$

حل المعادلات التالية في Q:

$\begin{array}{rl}& 5z-3^2=3z-49\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 5z-9+9=3z-49+9\\ & \Rightarrow 5z=3z-40\\ & \Rightarrow 5z-3z=-40\\ & \Rightarrow 2z=-40\\ & \Rightarrow z=\frac{-40}{2}\Rightarrow z=-20\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{16}-4y=31+6y\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 4-4y-6y=31+6y-6y\\ & \Rightarrow -10y=31-4\\ & \Rightarrow -10y=27\Rightarrow y=\frac{27}{-10}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 7x÷8=5+\frac{1}{5}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \frac{7x}{8}=\frac{25+1}{5}\Rightarrow \frac{7x}{8}=\frac{26}{5}\\ & \Rightarrow 5\times 7x=8\times 26\\ & \Rightarrow 35x=208\Rightarrow x=\frac{208}{35}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt[3]{-125}÷2y=7^2-9\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow -5÷2y=49-9\\ & \Rightarrow -5÷2y=40\\ & \Rightarrow -5÷40=2y\\ & \Rightarrow y=-\frac{1}{8}\times \frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{1}{16}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& |-11|x=72÷(-8)\end{array}$

$\Rightarrow 11x=-9\Rightarrow x=\frac{-9}{11}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{121}z÷2=6^3÷6\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 11z÷2=36\Rightarrow 11z=36\times 2\\ & \Rightarrow 11z=72\Rightarrow z=\frac{72}{11}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{36}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+4\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 6-6+\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+4-6\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{3}-2\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1-6}{3}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{-5}{3}\\ & \Rightarrow 3x=-10\Rightarrow x=\frac{-10}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt[3]{-8}y÷24=-\frac{2}{6}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow -2y=\frac{-2}{6}\times 24\Rightarrow -2y=-8\\ & \Rightarrow x=\frac{-8}{-2}\Rightarrow x=4\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 3z-|-15|=81÷(-3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 3z-15=-27\\ & \Rightarrow 3z=-27+15\\ & \Rightarrow 3z=-12\\ & \Rightarrow z=\frac{-12}{3}\Rightarrow z=-4\end{array}$

مثل المتباينات التالية على مستقيم الأعداد حيث $\mathrm{x}\in \mathrm{Z}$:

$x<-6$

$x>0$

$x\le 3$

$x\ge -2$

أكتب مثالاً واحداً لكل خاصية من الخصائص الآتية:

لكل $a,b,c\in Q$ إذا كان $a>b$ وأن $\mathrm{c}<0$ فإن $\text{a}c<bc$

$-12<-6 \mathrm{أي} -2\left(6\right)<-2\left(3\right) \mathrm{فإن} -2<0 \mathrm{وإن} 6>3$

لكل $a,b,c\in Q$ إذا كان $a\ge b$ وأن $\mathrm{c}>0$ فإن $\frac{a}{c}\ge \frac{b}{c}$

$5\ge 3 \mathrm{أي} \frac{10}{2}\ge \frac{6}{2} \mathrm{فإن} 2>0 \mathrm{وإن} 10\ge 6$

استعمل خصائص المتباينات لحل كل متباينة من المتباينات الآتية:

$\begin{array}{rl}& 2\mathrm{x}+10<-66,\mathrm{x}\in Z\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2x+10-10<-66-10\\ & 2x<-76\Rightarrow \frac{2x}{2}<-\frac{76}{2}\\ & \therefore x<-38\end{array}$

$\begin{array}{rl}& -8(\mathrm{y}-7)\ge 48,\mathrm{y}\in \mathrm{Z}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& -8y+56\ge 48\\ & -8y\ge 48-56\\ & -8y\ge -8\\ & \frac{-8y}{-8}\le \frac{-8}{-8}\\ & y\le 1\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 24(3\mathrm{x}+2)\le 41\mathrm{x},\mathrm{x}\in \mathrm{Q}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 16(3x+2)\le 41X\\ & 48x+32\le 41x\\ & 48x-41x\le -32\\ & 7x\le -32\\ & x\le \frac{-32}{7}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2(\mathrm{z}-5)>\sqrt{81}-7\mathrm{z},\mathrm{z}\in \mathrm{Q}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2z-10>9-7z\\ & 2z+7z>9+10\\ & 9z>19\\ & z>\frac{19}{9}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt[3]{-27}(\mathrm{y}+8)>5\mathrm{y}-4,\mathrm{y}\in \mathrm{Q}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& -3(y+8)>5y-4\\ & -3y-24>5y-4\\ & -3y-5y>-4+24\\ & -8y>20\\ & \frac{-8y}{-8}\le \frac{20}{-8}\\ & y<-\frac{10}{4}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}(\mathrm{y}-7)\le \sqrt[3]{125}-\frac{\mathrm{y}}{12},\mathrm{y}\in \mathrm{Q}\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{1}{3}y-\frac{7}{3}\le 5-\frac{y}{12}\\ & \frac{1}{3}y+\frac{y}{12}\le 5+\frac{7}{3}\\ & \frac{1}{3}y+\frac{1}{12}y\le \frac{15+7}{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (\frac{1}{3}+\frac{1}{12})y\le \frac{15+7}{3}\\ & (\frac{4}{12}+\frac{1}{12})y\le \frac{15+7}{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{5y}{12}\le \frac{22}{3}\\ & 3\times 5y=12\times 22\Rightarrow 15y=264\\ & y=\frac{264}{15}\Rightarrow y=\frac{88}{3}\end{array} \end{gathered}$$