بسط الجمل العددية التالية باستعمال خصائص الأعداد الحقيقية:

$\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times 1\\ & =\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{8}-7\sqrt{2})}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{16}-7\times 2}{2}\\ & =\frac{4-14}{2}=\frac{-10}{2}=-5\end{array}$

اختبار الفصل

صنف العدد من حيث كونه عدداً نسبياً أو غير نسبي أو غير حقيقي:

$\sqrt{49}$

$-\sqrt{49}=-7$

عدد نسبي، حقيقي.

$\sqrt{13}$

$-\sqrt{13}\approx 3.6055$

عدد غير نسبي، حقيقي.

$\frac{0}{-6}$

$\frac{0}{-6}=0$

عدد نسبي، حقيقي.

$\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

عدد نسبي، حقيقي.

$\sqrt{-16}$

عدد غير حقيقي.

قدر الجذور التربيعية التالية بالتقريب لأقرب عشر، ثم مثلها على مستقيم الأعداد:

$\sqrt{15}\approx \dots \dots$

$\sqrt{15}\approx 3.9$

$-\sqrt{32}\approx \dots \dots$

$-\sqrt{32}\approx -5.7$

$\sqrt{\frac{16}{21}}\approx \dots ..$

$\sqrt{\frac{16}{21}}\approx 0.9$

$\sqrt{7.3}\approx \dots \dots$

$\sqrt{7.3}\approx 2.7$

قارن بين الأعداد الحقيقية مستعملاً الرموز (<، >، =):

$\sqrt{17}...4\frac{1}{5}$

>

$-\sqrt{9}...-\sqrt{6.25}$

>

$\frac{0}{\sqrt{7}}...\frac{0}{\sqrt{5}}$

=

رتب الأعداد الحقيقية التالية من الأصغر إلى الأكبر: $2.236\dots ,\sqrt{2.25},\sqrt{2}$

$\sqrt{2},\sqrt{2.25},2.236\dots$

رتب الأعداد الحقيقية التالية من الأكبر إلى الأصغر: $-\sqrt{11},-3\frac{1}{4},-3.33$

$-3\frac{1}{4},-\sqrt{11},-3.33$

اكتب مثالاً لكل خاصية من الخواص الآتية:

$1\times a=a\times 1=a,\mathrm{\forall }a\in R$

$1\times \sqrt{5}=\sqrt{5}\times 1=\sqrt{5},\mathrm{\forall }\sqrt{5}\in R$

$a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1,\mathrm{\forall }a\in R,a\ne 0$

$\sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\times \sqrt{5}=1,\mathrm{\forall }\sqrt{5}\in R$

جد النظير الجمعي للأعداد الحقيقية الآتية:

$5\sqrt{11}-7$

$\begin{array}{rl}& 5\sqrt{11}-7+(-5\sqrt{11}+7)\\ & (5\sqrt{11}-5\sqrt{11}+(-7+7)\\ & =\left(0\right)+\left(0\right)=0\end{array}$

لذا النظير الجمعي للعدد $5\sqrt{11}-7$ هو العدد $-5\sqrt{11}+7$

$-\sqrt{1}-\sqrt{2}$

$\begin{array}{rl}& -\sqrt{1}-\sqrt{2}+(+\sqrt{1}+\sqrt{2})\\ & (-\sqrt{1}+\sqrt{1})+(-\sqrt{2}+\sqrt{2})\\ & =\left(0\right)+\left(0\right)=0\end{array}$

لذا النظير الجمعي للعدد $-\sqrt{1}-\sqrt{2}$ هو العدد $+\sqrt{1}+\sqrt{2}$

$\sqrt{12}-\frac{1}{16}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{12}-\frac{1}{16}+(-\sqrt{12}+\frac{1}{16})\\ & (\sqrt{12}-\sqrt{12})+(-\frac{1}{16}+\frac{1}{16})\\ & =\left(0\right)+\left(0\right)=0\end{array}$

لذا النظير الجمعي للعدد $\sqrt{12}-\frac{1}{16}$ هو العدد $-\sqrt{12}+\frac{1}{16}$

$\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}}+(-\frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}})\\ & (\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}})+(-\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}})\\ & =\left(0\right)+\left(0\right)=0\end{array}$

لذا النظير الجمعي للعدد $\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}}$ هو العدد $-\frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}}$

جد النظير الضربي للأعداد الحقيقية الآتية:

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

$\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{1}{\sqrt{12}}\times \frac{\sqrt{12}}{1}$

النظير الضربي $\frac{\sqrt{12}}{1}$

$-6\sqrt{3}-7$

$(-6\sqrt{3}-1)\times \frac{1}{(-6\sqrt{3}-1)}=1$

النظير الضربي $\frac{1}{(-6\sqrt{3}-1)}$

$\sqrt{5}-\frac{1}{5}$

$\frac{5\sqrt{5}-1}{5}\times \frac{5}{5\sqrt{5}-1}=1$

النظير الضربي $\frac{5}{5\sqrt{5}-1}$

$-3\frac{1}{2}-1\frac{4}{3}$

$\begin{array}{rl}& -3\frac{1}{2}-1\frac{4}{3}=\frac{-7}{2}-\frac{7}{3}\\ & =\frac{-21-14}{6}=\frac{-35}{6}\times \frac{6}{-35}=1\end{array}$

النظير الضربي $\frac{6}{-35}$

قدر النظير الضربي للجذور التربيعية التالية بالتقريب لأقرب عشر:

$\sqrt{\frac{1}{7}}$

$0.4\times \frac{1}{0.4}=1$

النظير الضربي $\frac{1}{0.4}$

$-\sqrt{\frac{1}{8}}$

$-0.6\times \frac{t}{-0.6}=1$

النظير الضربي $\frac{1}{-0.6}$

$\sqrt{\frac{11}{25}}$

$0.7\times \frac{1}{0.7}=1$

النظير الضربي $\frac{1}{0.7}$

$\sqrt{\frac{1}{5.6}}$

$0.4\times \frac{1}{0.4}=1$

النظير الضربي $\frac{1}{0.4}$

بسط الجمل العددية التالية باستعمال خصائص الأعداد الحقيقية:

$\frac{6-2\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{6-2\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}=\frac{6-2\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}\times 1\\ & =\frac{6-2\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}(6-2\sqrt{3})}{3\sqrt{5}\sqrt{5}}\\ & =\frac{6\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{3\times 5}\end{array}$

$\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times 1\\ & =\frac{\sqrt{8}-7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{8}-7\sqrt{2})}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{16}-7\times 2}{2}\\ & =\frac{4-14}{2}=\frac{-10}{2}=-5\end{array}$

$\frac{6\sqrt{8}}{\sqrt{6}}÷\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{27}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{6\sqrt{8}}{\sqrt{6}}÷\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{27}}=\frac{6\sqrt{8}}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{27}}{12\sqrt{3}}\\ =& \frac{6\times 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}\times 12\sqrt{3}}\\ =& \frac{12}{4\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}\end{array}$

$\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{45}}\times \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{32}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{45}}\times \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{32}}\\ & =\frac{3\times 2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}\times \frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{5}{2}\end{array}$

$\sqrt{3}(9+\sqrt{3})-2\sqrt{27}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{3}(9+\sqrt{3})-2\sqrt{27}\\ =& 9\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{3}-2\times 3\sqrt{3}\\ =& 9\sqrt{3}+3-6\sqrt{3}\\ =& 3\sqrt{3}+3\end{array}$

$\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{14})-9\sqrt{2}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{14})=\sqrt{7}\sqrt{7}-\sqrt{7}\sqrt{14}\\ & =7-\sqrt{7}\sqrt{7\times 2}=7-7\sqrt{2}\end{array}$

$\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{11}+\frac{1}{5}(\sqrt{50}-\sqrt{55})$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{11}+\frac{1}{5}(\sqrt{50}-\sqrt{55})\\ =& \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{50}}{5}-\frac{\sqrt{55}}{5}\\ =& \frac{5\sqrt{11}+\sqrt{250}-\sqrt{275}}{5\sqrt{5}}\\ =& \frac{5\sqrt{11}+\sqrt{25\times 10}-\sqrt{25\times 11}}{5\sqrt{5}}\\ =& \frac{5\sqrt{11}+5\sqrt{10}-5\sqrt{11}}{5\sqrt{5}}\\ =& \frac{5\sqrt{10}}{5\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}\times \sqrt{2}}{5\sqrt{5}}=\sqrt{2}\end{array}$

جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب للأعداد الآتية:

$9$

$9\Rightarrow \{\begin{array}{ll}\sqrt{9}=3& ,3\times 3=9\\ -\sqrt{9}=-3& ,-3\times -3=9\end{array}$

$225$

$225=\{\begin{array}{ll}\sqrt{225}=15& ,15\times 15=225\\ -\sqrt{225}=15& ,-15\times -15=225\end{array}$

$\frac{25}{36}$

$\frac{25}{36}\Rightarrow \{\begin{array}{rc}\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}& ,\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\\ -\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}& ,\frac{-5}{6}\times \frac{-5}{6}=\frac{25}{36}\end{array}$

$1.21$

$1.21=\{\begin{array}{ll}\sqrt{1.21}=1.1& ,1.1\times 1.1=1.21\\ -\sqrt{1.21}=1.1& ,-1.1\times -1.1=1.21\end{array}$

$10.24$

$10.24=\{\begin{array}{ll}\sqrt{10.24}=3.2& ,3.2\times 3.2=10.24\\ -\sqrt{10.24}=3.2& ,-3.2\times -3.2=10.24\end{array}$

حدد ما إذا كان كل مثلث بالأضلاع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية، وتحقق من إجابتك:

$3\mathrm{cm},5\mathrm{cm},6\mathrm{cm}$

ليس قائم الزاوية لأن:

$$\begin{gathered} (3{)}^2=9,(5{)}^2=25,(6{)}^2=36 \\ 9+25\ne 36 \end{gathered}$$

$7\mathrm{cm},5\mathrm{cm},\sqrt{74}\mathrm{cm}$

قائم الزاوية لأن:

$$\begin{gathered} (7{)}^2=49,(5{)}^2=25,(74{)}^2=74 \\ 49+25=74 \end{gathered}$$

$2\mathrm{cm},1.5\mathrm{cm},2.5\mathrm{cm}$

قائم الزاوية لأن:

$$\begin{gathered} (2{)}^2=4,(1.5{)}^2=2.25,(2.5{)}^2=6.25 \\ 4+2.25=6.25 \end{gathered}$$

مثل كل زوج من الزوجين المرتبين في المستوي الإحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة لأقرب عشر كانت لا تمثل عدداً صحيحاً.

$\left\{\right(3,0),(0,3\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& a=3\\ & b=3\\ & c=\pm \sqrt{a^2+b^2}\\ & c=\pm \sqrt{9+9}\\ & c=\pm \sqrt{18}\\ & c\approx \pm 4.8\end{array}$

المسافة 4.2 وحدات

$\left\{\right(-4,0),(0,4\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& a=4b=4\\ & c=\pm \sqrt{a^2+b^2}\\ & c=\pm \sqrt{16+16}\\ & c=\pm \sqrt{32}\\ & c\approx \pm 4.8\end{array}$

المسافة 5.7 وحدات

$\left\{\right(-1,5),(-4,2\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& a=3\\ & b=3\\ & c=\pm \sqrt{a^2+b^2}\\ & c=\pm \sqrt{9+9}\\ & c=\pm \sqrt{18}\\ & c\approx 442\end{array}$

المسافة 4.2 وحدات

$\left\{\right(4,-1),(1,-5\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& a=3\\ & b=4\\ & c=\pm \sqrt{a^2+b^2}\\ & c=\pm \sqrt{9+16}\\ & c=\pm \sqrt{25}\\ & c=\pm 5\end{array}$

المسافة 5 وحدات

$\left\{\right(0,0),(-3,-3\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& a=3\\ & b=3\\ & c=\pm \sqrt{a^2+b^2}\\ & c=\pm \sqrt{9+9}\\ & c=\pm \sqrt{18}\\ & c\approx \pm 4.2\end{array}$

المسافة 4.2 وحدات

$\left\{\right(-2,-3),(-4,1\left)\right\}$

$\begin{array}{lc}a=2b=4& c=\pm \sqrt{4+16}\\ c=\pm \sqrt{20}& c\approx \pm 4.5\end{array}$

المسافة 4.5 وحدات.