بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص (العنصر المحايد، النظير الجمعي والنظير الضربي): $\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}$

-

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}\times 1\\ & =\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}-9)}{3\sqrt{7}\sqrt{7}}\\ & =\frac{7-9\sqrt{7}}{3\times 7}=\frac{7-9\sqrt{7}}{21}\end{array}$

مراجعة الفصل

[2-1] مفهوم الأعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم الأعداد

(1)- صنف العدد من حيث كونه عدداً نسبياً أو غير نسبي أو غير حقيقي:

$\sqrt{25}$

$\sqrt{25}=5$

عدد نسبي، حقيقي.

$\sqrt{21}$

$\sqrt{21}\approx 4.5825$

عدد نسبي، حقيقي.

$\sqrt{\frac{36}{49}}$

$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

عدد نسبي، حقيقي.

(2)- رتب الأعداد الحقيقية التالية من الأصغر إلى الأكبر: $3.238\dots ,\sqrt{\frac{7}{2}},\sqrt{12}$

$\sqrt{\frac{12}{5}},\sqrt{5},2.828\dots$

[2-2] خصائص الأعداد الحقيقية

(1)- اكتب مثالاً لكل خاصية من الخواص الآتية:

$a+b=b+a,ab=ba,\mathrm{\forall }a,b\in R$

إبدال $5+\sqrt{5}=\sqrt{5}+3,2\times \sqrt{3}=\sqrt{3}\times 2$

$a(b+c)=ab+ac,\mathrm{\forall }a,b,c\in R$

توزيع $3(\sqrt{6}+\sqrt{5})=3\sqrt{6}+3\sqrt{5}$

(2)- جد النظير الجمعي للأعداد الحقيقية الآتية:

$\sqrt{\frac{1}{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{3}}+(-\sqrt{\frac{1}{3}})=(-\sqrt{\frac{1}{3}})+\sqrt{\frac{1}{3}}=0$

لذا النظير الجمعي للعدد $\sqrt{\frac{1}{3}}$ هو $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

$5\sqrt{11}-9$

$\begin{array}{rl}& 5\sqrt{11}-9+(-5\sqrt{11}+9)\\ & (5\sqrt{11}-5\sqrt{11})+(-9+9)\\ & =\left(0\right)+\left(0\right)=0\end{array}$

لذا النظير الجمعي للعدد $5\sqrt{11}-92$ هو $-5\sqrt{11}+92$

[2-3] تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية

(1)- بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص (الأبدال والتجميع والتوزيع): $9\sqrt{32}-5\sqrt{8}$

$\begin{array}{rl}& 9\sqrt{32}-5\sqrt{8}=9\sqrt{16\times 2}-5\sqrt{4\times 2}\\ =& 9\sqrt{16}\sqrt{2}-5\sqrt{4}\sqrt{2}\\ =& 9\times 4\sqrt{2}-5\times 2\sqrt{2}=36\sqrt{2}-10\sqrt{2}\\ =& (36-10)\sqrt{2}=26\sqrt{2}\end{array}$

(2)- بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص (العنصر المحايد، النظير الجمعي والنظير الضربي): $\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}\times 1\\ & =\frac{\sqrt{7}-9}{3\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}-9)}{3\sqrt{7}\sqrt{7}}\\ & =\frac{7-9\sqrt{7}}{3\times 7}=\frac{7-9\sqrt{7}}{21}\end{array}$

[2-4] تطبيقات على نظرية فيثاغورس

(1)- جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب للأعداد الآتية:

$49\Rightarrow \{\begin{array}{r}\sqrt{49}=\\ -\sqrt{49}=\end{array}$

$49\Rightarrow \{\begin{array}{ll}\sqrt{49}=7& ,7\times 7=49\\ -\sqrt{49}=-7& ,-7\times -7=49\end{array}$

$1.21\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{1.21}=\\ -\sqrt{1.21}=\end{array}$

$1.21\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{1.21}=1.1,1.1\times 1.1=1.21\\ -\sqrt{1.21}=-1.1,-1.1\times -1.1=1.21\end{array}$

(2)- حدد ما إذا كان المثلث بالأضلاع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية، وتحقق من إجابتك:

$3\mathrm{cm},5\mathrm{cm},\sqrt{34}\mathrm{cm}\Rightarrow$

$(3{)}^2=9,(5{)}^2=25,(\sqrt{34}{)}^2=34$

نلاحظ أن $34=25+a$ فالمثلث قائم الزاوية عكس مبرهنة فيثاغورس.

$20\mathrm{cm},15\mathrm{cm},25\mathrm{cm}\Rightarrow$

$(20{)}^2=400,(15{)}^2=225,(25{)}^2=625$

[2-5] المستوي الإحداثي

مثل الجدول التالي في المستوي الإحداثي وحدد الشكل الهندسي الذي يمثله جدول القيم.

الأزواج المرتبة $(2,3),(-1,3),(-2,-2),(1,-2)$ ونمثلها على المستوي الإحداثي فيكون الشكل الناتج هو متوازي أضلاع.