جد مجموعة الحل للمعادلة التالية:

$\frac{3}{x+5}+\frac{4}{5-x}=\frac{x^2-15x+14}{x^2-25}$

نضرب طرفي المعادلة في $(x-5)(x+5)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{3}{x+5}+\frac{4}{5-x}=\frac{x^2-15x+14}{x^2-25}\\ & \Rightarrow \frac{3}{x+5}-\frac{4}{x-5}=\frac{x^2+15x-14}{(x-5)(x+5)}\\ & \Rightarrow 3(x-5)-4(x+5)=x^2+15x+14\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow 3x-15-4x-20=x^2-15x+14\Rightarrow x^2-14x+49=0\Rightarrow (x-7{)}^2=0\\ & \Rightarrow x-7=0\Rightarrow x=7\end{array} \end{gathered}$$

فكر واكتب

تحدٍ: جد مجموعة الحل للمعادلة التالية:

$\frac{3}{x+5}+\frac{4}{5-x}=\frac{x^2-15x+14}{x^2-25}$

نضرب طرفي المعادلة في $(x-5)(x+5)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{3}{x+5}+\frac{4}{5-x}=\frac{x^2-15x+14}{x^2-25}\\ & \Rightarrow \frac{3}{x+5}-\frac{4}{x-5}=\frac{x^2+15x-14}{(x-5)(x+5)}\\ & \Rightarrow 3(x-5)-4(x+5)=x^2+15x+14\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow 3x-15-4x-20=x^2-15x+14\Rightarrow x^2-14x+49=0\Rightarrow (x-7{)}^2=0\\ & \Rightarrow x-7=0\Rightarrow x=7\end{array} \end{gathered}$$

أصحح الخطأ: استعمل نمير المقدار المميز لبيان جذور المعادلة:

$\frac{2}{x-7}\times \frac{1}{x-1}=1$

فقال نمير إن للمعادلة جذران نسبيان حقيقيان، اكتشف خطأ نمير وصححه.

$\begin{array}{rl}& \frac{2}{x-7}\times \frac{1}{x-1}=1\Rightarrow \frac{2}{x^2-x-7x+7}=1\Rightarrow x^2-8x+7=2\\ & x^2-8x+7-2=0\Rightarrow x^2-8x+5=0\\ & a=1,b=-8,c=5\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(-8{)}^2-4(1\left)\right(5)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=64-20=44\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان غير نسبيان لأن العدد الناتج ليس له جذر تربيعي.

اكتب: مجموعة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية: $\frac{1}{x+6}-\frac{5}{x-6}=2$

نضرب طرفي المعادلة بالمضاعف المشترك الأصغر $(x+6)(x-6)$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{x+6}(x+6)(x-6)-\frac{5}{x-6}(x+6)(x-6)=2(x+6)(x-6)\\ & x-6-5(x+6)=2(x^2-6x+6x-36)\Rightarrow x-6-5x-30=2(x^2-36)\\ & -4x-36=2x^2-72\Rightarrow 2x^2+4x+36-72=0\Rightarrow 2x^2+4x-36=0\\ & 2x^2+4x-36=0\stackrel{÷2}{\Rightarrow }{x}^2+2x-18=0\end{array}$

تحل بالقانون الدستور لأنه لا يمكن تحليلها.

$$\begin{gathered} a=1,b=2,c=-18 \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(2{)}^2-4(1\left)\right(-18)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=4+72=76\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{76}}{2\left(1\right)}\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{76}}{2}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} x=\frac{-2+\sqrt{76}}{2}\\ & \mathrm{أو} x=\frac{-2-\sqrt{76}}{2}\end{array} \\ S=\{\frac{-2+\sqrt{76}}{2},\frac{-2-\sqrt{76}}{2}\} \end{gathered}$$