ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة ${\mathrm{z}}^2+81=(\mathrm{k}+9)\mathrm{z}$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$z^2+81=(k+9)z⟹z^2-(k+9)z+81=0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆=0$

$\begin{array}{rl}a=1,b=-(k+9),c=81& \\ \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow b^2-4ac=0& \Rightarrow (k+9{)}^2-4(1\left)\right(81)=0\Rightarrow (k+9{)}^2=(18{)}^2\Rightarrow k+9=\pm 18\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k+9=18\Rightarrow k=9\\ or k+9=-18\Rightarrow k=-27\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z^2+81=(k+9)z\Rightarrow z^2-18z+81=0\\ & \Rightarrow (z-9{)}^2=0\Rightarrow z-9=0\Rightarrow z=9\end{array} \left(K=9\right) \\ \begin{array}{rl}& z^2-(k+9)z+81=0\Rightarrow z^2+18z+81=0\\ & \Rightarrow (z+9{)}^2=0\Rightarrow z+9=0\Rightarrow z=-9\end{array} \left(K=-27\right) \end{gathered}$$

تدرب وحل التمرينات

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

$x^2-7x-14=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-14=0,\mathrm{a}=1,\mathrm{b}=-7,\mathrm{c}=-14\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{7\pm \sqrt{49-4\left(1\right)(-14)}}{2\pm \sqrt{49+56}}\\ & \Rightarrow x=\frac{7\pm \sqrt{49+56}}{2}\Rightarrow x=\frac{7\pm \sqrt{105}}{2}\\ & \Rightarrow \{x=\frac{7+\sqrt{105}}{2}\\ & \text{or }x=\frac{7-\sqrt{105}}{2}\Rightarrow \mathrm{s}=\{\frac{7+\sqrt{105}}{2},\frac{7-\sqrt{105}}{2}\}\end{array}$

$y^2+3y-9=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{y}}^2+3\mathrm{y}-9=0,\mathrm{a}=1,\mathrm{b}=3,\mathrm{c}=-9\\ & \begin{array}{rl}& y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{3\pm \sqrt{9-4\left(1\right)(-9)}}{2\left(1\right)}\\ & \Rightarrow y=\frac{-3\pm \sqrt{9+36}}{2}\Rightarrow y=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2}\end{array}\\ & \Rightarrow \{y=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}\\ & \text{or }y=\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \mathrm{s}=\{\frac{-3+3\sqrt{5}}{2},\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}\}\end{array}$

$2x^2-8(3x+2)=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2x^2-8(3x+2)=0\Rightarrow 2x^2-24x-16=0\Rightarrow x^2-12x-8=0,a=1,b=-12,c=-8\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{12\pm \sqrt{144-4\left(1\right)(-8)}}{2\left(1\right)}\\ & \Rightarrow x=\frac{12\pm \sqrt{144+32}}{2}\Rightarrow x=\frac{12\pm 2\sqrt{44}}{2}\Rightarrow x=6\pm \sqrt{44}\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=6+\sqrt{44}\\ \text{or }x=6-\sqrt{44}\Rightarrow s=\{6+\sqrt{44},6-\sqrt{44}\}\end{array} \end{gathered}$$

$2y^2-2=-10y$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2y^2-2=-10y\Rightarrow 2y^2+10y-2=0\Rightarrow y^2+5y-1=0,a=1,b=5,c=-1\\ & y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25-4\left(1\right)(-1)}}{2\left(1\right)}\\ & \Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25+4}}{2}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\frac{-5+\sqrt{29}}{2}\\ \text{or}y=\frac{-5-\sqrt{29}}{2}\Rightarrow s=\{\frac{-5+\sqrt{29}}{2},\frac{-5-\sqrt{29}}{2}\}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

$x^2+4x=5$

$$\begin{gathered} x^2+4x-5=0,a=1,b=4,c=-5 \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=16-4\left(1\right)(-5)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=16+20\Rightarrow \mathrm{\Delta }=36\end{array} \end{gathered}$$

للمعادلة جذران حقيقان نسبيان.

$\begin{array}{rl}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& \Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\Rightarrow x=\frac{-4\pm 6}{2}\\ & \Rightarrow \{x=\frac{-4+6}{2}=1\\ & \text{or }x=\frac{-4-6}{2}=-5\Rightarrow s=\{1,-5\}\end{array}$

$y^2-2y-10=0$

$$\begin{gathered} y^2-2y-10=0,a=1,b=-2,c=-10 \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}\Rightarrow \mathrm{\Delta }=4-4\left(1\right)(-10)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=4+40\Rightarrow \mathrm{\Delta }=44\end{array} \end{gathered}$$

للمعادلة جذران حقيقان غير نسبيين.

$\begin{array}{rl}& y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{2\pm \sqrt{44}}{2}\Rightarrow y=1\pm \sqrt{11}\\ & \Rightarrow y=1\pm \sqrt{11}\Rightarrow \{y=1+\sqrt{11}\\ & \text{or }y=1-\sqrt{11}\Rightarrow s=\{1+\sqrt{11},1-\sqrt{11}\}\end{array}$

$2x^2-5x+7=0$

$$\begin{gathered} 2x^2-5x+7=0,a=2,b=-5,c=7 \\ \mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}\Rightarrow \mathrm{\Delta }=25-4\left(2\right)\left(7\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=25-56\Rightarrow \mathrm{\Delta }=-31 \end{gathered}$$

لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

$y^2-14y+49=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{y}}^2-14\mathrm{y}+49=0,\mathrm{a}=1,\mathrm{b}=-14,\mathrm{c}=49\\ & \mathrm{\Delta }={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}\Rightarrow \mathrm{\Delta }=196-4\left(1\right)\left(49\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }=196-196\Rightarrow \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{14}{2}\Rightarrow y=7$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^2-(k+6)x+49=0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

يكون للمعادلة جذران متساويين عندما $∆=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2-(k+6)x+49=0\\ & a=b=-(k+6),c=49\end{array} \\ \begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow (k+6{)}^2-4(1\left)\right(49)=0\Rightarrow (k+6{)}^2=196\Rightarrow k+6=\pm 14\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}k+6=14\Rightarrow k=8\\ or k+6=-14\Rightarrow k=-20\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

التحقق:

$$\begin{gathered} x^2-(k+6)+49=0\Rightarrow x^2-14x+49=0\Rightarrow (x-7{)}^2=0\Rightarrow x-7=0\Rightarrow x=7 \left(K=8\right) \\ {x}^2-(k+6)x+49=0\Rightarrow x^2+14x+49=0\Rightarrow (x+7{)}^2=0\Rightarrow x+7=0\Rightarrow x=-7 \left(K=-20\right) \end{gathered}$$

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4y^2+36=(k-6)y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$4y^2-(k-6)y+36=0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆=0$

$\begin{array}{rl}& a=4,b=-(k-6),c=36\\ & \mathrm{\Delta }\Rightarrow b^2-4ac=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(k-6{)}^2-4(4\left)\right(36)=0\Rightarrow (k-6{)}^2=(24{)}^2\Rightarrow k-6=\pm 24\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k-6=24\Rightarrow k=30\\ or k-6=-24\Rightarrow k=-18\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 4y^2-(k-6)y+36=0\Rightarrow 4y^2-24y+36=0\\ & \Rightarrow y^2-6y+9=0\Rightarrow (y-3{)}^2=0\Rightarrow y=3\end{array} \left(K=30\right) \\ \begin{array}{rl}& 4y^2-(k-6)y+36=0\Rightarrow 4y^2+24y+36=0\\ & \Rightarrow y^2-6y+9=0\Rightarrow (y+3{)}^2=0\Rightarrow y=-3\end{array} \left(K=-18\right) \end{gathered}$$

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة ${\mathrm{z}}^2+81=(\mathrm{k}+9)\mathrm{z}$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$z^2+81=(k+9)z⟹z^2-(k+9)z+81=0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆=0$

$\begin{array}{rl}a=1,b=-(k+9),c=81& \\ \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow b^2-4ac=0& \Rightarrow (k+9{)}^2-4(1\left)\right(81)=0\Rightarrow (k+9{)}^2=(18{)}^2\Rightarrow k+9=\pm 18\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k+9=18\Rightarrow k=9\\ or k+9=-18\Rightarrow k=-27\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z^2+81=(k+9)z\Rightarrow z^2-18z+81=0\\ & \Rightarrow (z-9{)}^2=0\Rightarrow z-9=0\Rightarrow z=9\end{array} \left(K=9\right) \\ \begin{array}{rl}& z^2-(k+9)z+81=0\Rightarrow z^2+18z+81=0\\ & \Rightarrow (z+9{)}^2=0\Rightarrow z+9=0\Rightarrow z=-9\end{array} \left(K=-27\right) \end{gathered}$$

(6)- بين أن المعادلة $2{\mathrm{z}}^2-3\mathrm{z}+10=0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$\begin{array}{rl}& 2z^2-3z+10=0,a=2,b=-3,c=10\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=9-4\left(2\right)\left(10\right)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=9-80=-71\end{array}$

لا يوجد حل للمعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية.