حلول الأسئلة

السؤال

حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

الحل

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0, a = 2, b = - 5, c = 7 Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 25 - 4 (2) (7) \Rightarrow Δ = 25 - 56 \Rightarrow Δ = - 31$

لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل التمرينات

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

$x^{2} - 7 x - 14 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} - 7 x - 14 = 0, a = 1, b = - 7, c = - 14 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 (1) (- 14)}}{2 \pm \sqrt{49 + 56}} \\ \Rightarrow x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 56}}{2} \Rightarrow x = \frac{7 \pm \sqrt{105}}{2} \\ \Rightarrow {x = \frac{7 + \sqrt{105}}{2} \\ or x = \frac{7 - \sqrt{105}}{2} \Rightarrow s = {\frac{7 + \sqrt{105}}{2}, \frac{7 - \sqrt{105}}{2}} \end{aligned}$

$y^{2} + 3 y - 9 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} + 3 y - 9 = 0, a = 1, b = 3, c = - 9 \\ \begin{aligned} y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (1) (- 9)}}{2 (1)} \\ \Rightarrow y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} \Rightarrow y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \end{aligned} \\ \Rightarrow {y = \frac{- 3 + 3 \sqrt{5}}{2} \\ or y = \frac{- 3 - 3 \sqrt{5}}{2} \Rightarrow s = {\frac{- 3 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{- 3 - 3 \sqrt{5}}{2}} \end{aligned}$

$2 x^{2} - 8 (3 x + 2) = 0$

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 8 (3 x + 2) = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 24 x - 16 = 0 \Rightarrow x^{2} - 12 x - 8 = 0, a = 1, b = - 12, c = - 8 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 (1) (- 8)}}{2 (1)} \\ \Rightarrow x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 32}}{2} \Rightarrow x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{44}}{2} \Rightarrow x = 6 \pm \sqrt{44} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{cases} x = 6 + \sqrt{44} \\ or x = 6 - \sqrt{44} \Rightarrow s = {6 + \sqrt{44}, 6 - \sqrt{44}} \end{cases}$

$2 y^{2} - 2 = - 10 y$

$\begin{aligned} 2 y^{2} - 2 = - 10 y \Rightarrow 2 y^{2} + 10 y - 2 = 0 \Rightarrow y^{2} + 5 y - 1 = 0, a = 1, b = 5, c = - 1 \\ y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)} \\ \Rightarrow y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2} \Rightarrow y = \frac{- 5 \pm \sqrt{29}}{2} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{cases} y = \frac{- 5 + \sqrt{29}}{2} \\ or y = \frac{- 5 - \sqrt{29}}{2} \Rightarrow s = {\frac{- 5 + \sqrt{29}}{2}, \frac{- 5 - \sqrt{29}}{2}} \end{cases}$

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

$x^{2} + 4 x = 5$

$x^{2} + 4 x - 5 = 0, a = 1, b = 4, c = - 5 \begin{aligned} Δ = b^{2} - 4 a c \Rightarrow Δ = 16 - 4 (1) (- 5) \\ \Rightarrow Δ = 16 + 20 \Rightarrow Δ = 36 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقان نسبيان.

$\begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & \Rightarrow x = \frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2} \Rightarrow x = \frac{- 4 \pm 6}{2} \\ \Rightarrow {x = \frac{- 4 + 6}{2} = 1 \\ or x = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5 \Rightarrow s = {1, - 5} \end{aligned}$

$y^{2} - 2 y - 10 = 0$

$y^{2} - 2 y - 10 = 0, a = 1, b = - 2, c = - 10 \begin{aligned} Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 4 - 4 (1) (- 10) \\ \Rightarrow Δ = 4 + 40 \Rightarrow Δ = 44 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقان غير نسبيين.

$\begin{aligned} y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow y = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{11} \\ \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{11} \Rightarrow {y = 1 + \sqrt{11} \\ or y = 1 - \sqrt{11} \Rightarrow s = {1 + \sqrt{11}, 1 - \sqrt{11}} \end{aligned}$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0, a = 2, b = - 5, c = 7 Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 25 - 4 (2) (7) \Rightarrow Δ = 25 - 56 \Rightarrow Δ = - 31$

لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

$y^{2} - 14 y + 49 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} - 14 y + 49 = 0, a = 1, b = - 14, c = 49 \\ Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 196 - 4 (1) (49) \Rightarrow Δ = 196 - 196 \Rightarrow Δ = 0 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow y = \frac{14}{2} \Rightarrow y = 7$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

يكون للمعادلة جذران متساويين عندما $∆ = 0$

$\begin{aligned} x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0 \\ a = b = - (k + 6), c = 49 \end{aligned} \begin{matrix} Δ = 0 \Rightarrow (k + 6)^{2} - 4 (1) (49) = 0 \Rightarrow (k + 6)^{2} = 196 \Rightarrow k + 6 = \pm 14 \\ \Rightarrow {\begin{cases} k + 6 = 14 \Rightarrow k = 8 \\ o r k + 6 = - 14 \Rightarrow k = - 20 \end{cases} \end{matrix}$

التحقق:

$x^{2} - (k + 6) + 49 = 0 \Rightarrow x^{2} - 14 x + 49 = 0 \Rightarrow (x - 7)^{2} = 0 \Rightarrow x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 (K = 8) x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0 \Rightarrow x^{2} + 14 x + 49 = 0 \Rightarrow (x + 7)^{2} = 0 \Rightarrow x + 7 = 0 \Rightarrow x = - 7 (K = - 20)$

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4 y^{2} + 36 = (k - 6) y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$4 y^{2} - (k - 6) y + 36 = 0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆ = 0$

$\begin{aligned} a = 4, b = - (k - 6), c = 36 \\ Δ \Rightarrow b^{2} - 4 a c = 0 \Rightarrow Δ = (k - 6)^{2} - 4 (4) (36) = 0 \Rightarrow (k - 6)^{2} = (24)^{2} \Rightarrow k - 6 = \pm 24 \\ \Rightarrow {\begin{matrix} k - 6 = 24 \Rightarrow k = 30 \\ o r k - 6 = - 24 \Rightarrow k = - 18 \end{matrix} \end{aligned}$

التحقق:

$\begin{aligned} 4 y^{2} - (k - 6) y + 36 = 0 \Rightarrow 4 y^{2} - 24 y + 36 = 0 \\ \Rightarrow y^{2} - 6 y + 9 = 0 \Rightarrow (y - 3)^{2} = 0 \Rightarrow y = 3 \end{aligned} (K = 30) \begin{aligned} 4 y^{2} - (k - 6) y + 36 = 0 \Rightarrow 4 y^{2} + 24 y + 36 = 0 \\ \Rightarrow y^{2} - 6 y + 9 = 0 \Rightarrow (y + 3)^{2} = 0 \Rightarrow y = - 3 \end{aligned} (K = - 18)$

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $z^{2} + 81 = (k + 9) z$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$z^{2} + 81 = (k + 9) z ⟹ z^{2} - (k + 9) z + 81 = 0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆ = 0$

$\begin{aligned} a = 1, b = - (k + 9), c = 81 \\ Δ = 0 \Rightarrow b^{2} - 4 a c = 0 & \Rightarrow (k + 9)^{2} - 4 (1) (81) = 0 \Rightarrow (k + 9)^{2} = (18)^{2} \Rightarrow k + 9 = \pm 18 \\ \Rightarrow {\begin{matrix} k + 9 = 18 \Rightarrow k = 9 \\ o r k + 9 = - 18 \Rightarrow k = - 27 \end{matrix} \end{aligned}$

التحقق:

$\begin{aligned} z^{2} + 81 = (k + 9) z \Rightarrow z^{2} - 18 z + 81 = 0 \\ \Rightarrow (z - 9)^{2} = 0 \Rightarrow z - 9 = 0 \Rightarrow z = 9 \end{aligned} (K = 9) \begin{aligned} z^{2} - (k + 9) z + 81 = 0 \Rightarrow z^{2} + 18 z + 81 = 0 \\ \Rightarrow (z + 9)^{2} = 0 \Rightarrow z + 9 = 0 \Rightarrow z = - 9 \end{aligned} (K = - 27)$

(6)- بين أن المعادلة $2 z^{2} - 3 z + 10 = 0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$\begin{aligned} 2 z^{2} - 3 z + 10 = 0, a = 2, b = - 3, c = 10 \\ Δ = b^{2} - 4 a c \Rightarrow Δ = 9 - 4 (2) (10) \\ \Rightarrow Δ = 9 - 80 = - 71 \end{aligned}$

لا يوجد حل للمعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

الحل

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0, a = 2, b = - 5, c = 7 Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 25 - 4 (2) (7) \Rightarrow Δ = 25 - 56 \Rightarrow Δ = - 31$

لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

تدرب وحل التمرينات

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

$x^{2} - 7 x - 14 = 0$

$y^{2} + 3 y - 9 = 0$

$2 x^{2} - 8 (3 x + 2) = 0$

$2 y^{2} - 2 = - 10 y$

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

$x^{2} + 4 x = 5$

$x^{2} + 4 x - 5 = 0, a = 1, b = 4, c = - 5 \begin{aligned} Δ = b^{2} - 4 a c \Rightarrow Δ = 16 - 4 (1) (- 5) \\ \Rightarrow Δ = 16 + 20 \Rightarrow Δ = 36 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقان نسبيان.

$y^{2} - 2 y - 10 = 0$

$y^{2} - 2 y - 10 = 0, a = 1, b = - 2, c = - 10 \begin{aligned} Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 4 - 4 (1) (- 10) \\ \Rightarrow Δ = 4 + 40 \Rightarrow Δ = 44 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقان غير نسبيين.

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0, a = 2, b = - 5, c = 7 Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 25 - 4 (2) (7) \Rightarrow Δ = 25 - 56 \Rightarrow Δ = - 31$

لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الحقيقية.

$y^{2} - 14 y + 49 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} - 14 y + 49 = 0, a = 1, b = - 14, c = 49 \\ Δ = b^{2} - 4 ac \Rightarrow Δ = 196 - 4 (1) (49) \Rightarrow Δ = 196 - 196 \Rightarrow Δ = 0 \end{aligned}$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow y = \frac{14}{2} \Rightarrow y = 7$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

يكون للمعادلة جذران متساويين عندما $∆ = 0$

التحقق:

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4 y^{2} + 36 = (k - 6) y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$4 y^{2} - (k - 6) y + 36 = 0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆ = 0$

التحقق:

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $z^{2} + 81 = (k + 9) z$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$z^{2} + 81 = (k + 9) z ⟹ z^{2} - (k + 9) z + 81 = 0$

يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان عندما $∆ = 0$

التحقق:

(6)- بين أن المعادلة $2 z^{2} - 3 z + 10 = 0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$\begin{aligned} 2 z^{2} - 3 z + 10 = 0, a = 2, b = - 3, c = 10 \\ Δ = b^{2} - 4 a c \Rightarrow Δ = 9 - 4 (2) (10) \\ \Rightarrow Δ = 9 - 80 = - 71 \end{aligned}$

لا يوجد حل للمعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

حلول الأسئلة

حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

مشاركة الحل

تدرب وحل التمرينات

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

x2−7x−14=0

y2+3y−9=0

2x2−8(3x+2)=0

2y2−2=−10y

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

x2+4x=5

y2−2y−10=0

2x2−5x+7=0

y2−14y+49=0

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة x2−(k+6)x+49=0 متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة 4y2+36=(k−6)y متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة z2+81=(k+9)z متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(6)- بين أن المعادلة 2z2−3z+10=0 ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مشاركة الدرس

حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

تدرب وحل التمرينات

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

x2−7x−14=0

y2+3y−9=0

2x2−8(3x+2)=0

2y2−2=−10y

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

x2+4x=5

y2−2y−10=0

2x2−5x+7=0

y2−14y+49=0

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة x2−(k+6)x+49=0 متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة 4y2+36=(k−6)y متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة z2+81=(k+9)z متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(6)- بين أن المعادلة 2z2−3z+10=0 ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$x^{2} - 7 x - 14 = 0$

$y^{2} + 3 y - 9 = 0$

$2 x^{2} - 8 (3 x + 2) = 0$

$2 y^{2} - 2 = - 10 y$

$x^{2} + 4 x = 5$

$y^{2} - 2 y - 10 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$y^{2} - 14 y + 49 = 0$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4 y^{2} + 36 = (k - 6) y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $z^{2} + 81 = (k + 9) z$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(6)- بين أن المعادلة $2 z^{2} - 3 z + 10 = 0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$x^{2} - 7 x - 14 = 0$

$y^{2} + 3 y - 9 = 0$

$2 x^{2} - 8 (3 x + 2) = 0$

$2 y^{2} - 2 = - 10 y$

$x^{2} + 4 x = 5$

$y^{2} - 2 y - 10 = 0$

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$y^{2} - 14 y + 49 = 0$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^{2} - (k + 6) x + 49 = 0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4 y^{2} + 36 = (k - 6) y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $z^{2} + 81 = (k + 9) z$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

(6)- بين أن المعادلة $2 z^{2} - 3 z + 10 = 0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.