جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2-4x-5=0,a=1,b=-4,c=-5\\ & x=-b\pm \sqrt{b^2-4ac} \mathrm{القياسية} \mathrm{بالصورة} \mathrm{المعادلة}\end{array} \\ \begin{array}{c}\Rightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16-4\left(1\right)(-5)}}{2\left(1\right)}\Rightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ \Rightarrow x=\frac{4\pm 6}{2}\Rightarrow \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{4+6}{2}=5\\ \text{or }x=\frac{4-6}{2}=-1\end{array}\\ \Rightarrow \mathrm{s}=\{5,-1\} \end{array} \end{gathered}$$

تأكد من فهمك

(1)- جد مجموعة الحل للمعادلات التالية باستعمال القانون العام:

${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2-4x-5=0,a=1,b=-4,c=-5\\ & x=-b\pm \sqrt{b^2-4ac} \mathrm{القياسية} \mathrm{بالصورة} \mathrm{المعادلة}\end{array} \\ \begin{array}{c}\Rightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16-4\left(1\right)(-5)}}{2\left(1\right)}\Rightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ \Rightarrow x=\frac{4\pm 6}{2}\Rightarrow \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{4+6}{2}=5\\ \text{or }x=\frac{4-6}{2}=-1\end{array}\\ \Rightarrow \mathrm{s}=\{5,-1\} \end{array} \end{gathered}$$

${\mathrm{y}}^2+5\mathrm{y}-1=0$

$\begin{array}{rl}& y^2+5y-1=0,a=1,b=5,c=-1\\ & y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25-4\left(1\right)(-1)}}{2\left(1\right)}\\ & \Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25+4}}{2}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}\\ & \Rightarrow \{y=\frac{-5+\sqrt{29}}{2}\\ & \text{or }y=\frac{-5-\sqrt{29}}{2}\Rightarrow \mathrm{s}=\{\frac{-5+\sqrt{29}}{2},\frac{-5-\sqrt{29}}{2}\}\end{array}$

$3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}=-2$

$\begin{array}{rl}& 3x^2-9x=-2\Rightarrow 3x^2-9x+2=0,a=3,b=-9,c=2\\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{81-4\left(3\right)\left(2\right)}}{2\left(3\right)}\\ & \Rightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{81-24}}{6}\Rightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{57}}{6}\\ & \Rightarrow \{x=\frac{9+\sqrt{57}}{6}\\ & \text{or }x=\frac{9-\sqrt{57}}{6}\Rightarrow s=\{\frac{9+\sqrt{57}}{6},\frac{9-\sqrt{57}}{6}\}\end{array}$

$4{\mathrm{y}}^2+8\mathrm{y}=6$

$\begin{array}{rl}& 4y^2+8y=6\Rightarrow 4y^2+8y-6=0,a=4,b=8,c=-6\\ & y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{-8\pm \sqrt{64-4\left(4\right)(-6)}}{2\left(4\right)}\\ & \Rightarrow y=\frac{-8\pm \sqrt{64+96}}{8}\Rightarrow y=\frac{-8\pm \sqrt{160}}{8}\\ & \Rightarrow y=\frac{-8\pm 4\sqrt{10}}{8}\Rightarrow y=\frac{-2\pm \sqrt{10}}{2}\\ & \Rightarrow \{y=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}\\ & \text{or }y=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}\Rightarrow s=\{\frac{-2+\sqrt{10}}{2},\frac{-2-\sqrt{10}}{2}\}\end{array}$

$4{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+9=0$

$\begin{array}{rl}& 4x^2-12x+9=0,a=4,b=-12,c=9\\ & x=\frac{12\pm \sqrt{144-4\left(4\right)\left(9\right)}}{2\left(4\right)}\Rightarrow \frac{12\pm \sqrt{144-144}}{8}\\ & \Rightarrow x=\frac{12}{8}\Rightarrow x=\frac{3}{2}\end{array}$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$2{\mathrm{y}}^2-3=-5\mathrm{y}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2y^2-3=-5y\Rightarrow 2y^2+5y-3=0,a=2,b=5,c=-3\\ & y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25-4\left(2\right)(-3)}}{2\left(2\right)}\\ & \Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4}\Rightarrow y=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{4}\Rightarrow y=\frac{-5\pm 7}{4}\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}\\ or y=\frac{-5-7}{4}=-3\Rightarrow s=\{\frac{1}{2},-3\}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- حدد جذور المعادلة أولاً، ثم جد مجموعة الحل إذا كان ممكناً:

$2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}=5$

$\begin{array}{rl}& 2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}=5\Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-5=0,\mathrm{a}=2,\mathrm{b}=3,\mathrm{c}=-5\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=9-4\left(2\right)(-5)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=9+40\Rightarrow \mathrm{\Delta }=49\end{array}$

يوجد للمعادلة جذران حقيقيان نسبيان.

$\begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{4}\Rightarrow x=\frac{-3\pm 7}{4}\\ & \Rightarrow \{x=\frac{-3+7}{4}=1\\ & \text{or }x=\frac{-3-7}{4}=\frac{-5}{2}\Rightarrow \mathrm{s}=\{1,\frac{-5}{2}\}\end{array}$

$3{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+6=0$

$$\begin{gathered} 3x^2-7x+6=0,a=3,b=-7,c=6 \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=49-4\left(3\right)\left(6\right)\\ & \mathrm{\Delta }=49-72\Rightarrow \mathrm{\Delta }=-23\end{array} \end{gathered}$$

لا توجد للمعادلة جذور حقيقية (مجموعة الحل في R هو$\varnothing$)

${\mathrm{y}}^2-2\mathrm{y}+1=0$

$$\begin{gathered} {\mathrm{y}}^2-2\mathrm{y}+1=0,,a=1,b=-2,c=1 \\ \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=4-4\left(1\right)\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

للمعادلة جذران حقيقيان متساويان.

$y=\frac{-b}{2a}\Rightarrow y=\frac{2}{2\left(1\right)}=1$

${\mathrm{y}}^2+12=-9\mathrm{y}$

$\begin{array}{rl}& y^2+12=-9y\Rightarrow y^2+9y+12=0,a=1,b=9,c=12\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=81-4\left(1\right)\left(12\right)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=81-48\Rightarrow \mathrm{\Delta }=33\end{array}$

يوجد للمعادلة جذران حقيقيان غير نسبيان.

$\begin{array}{rl}& y=\frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\frac{-9\pm \sqrt{33}}{2}\\ & \Rightarrow \{y=\frac{-9+\sqrt{33}}{2}=1\\ & \text{or }y=\frac{-9-\sqrt{33}}{2}\Rightarrow s=\{\frac{-9+\sqrt{33}}{2},\frac{-9-\sqrt{33}}{2}\}\end{array}$

(3)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $x^2-(k+2)x+36=0$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

يكون جذرا المعادلة متساويين عندما $∆=0$ لذا

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow b^2-4ac=0\Rightarrow (k+2{)}^2-4(1\left)\right(36)=0\\ & \Rightarrow (k+2{)}^2=144\Rightarrow k+2=\pm 12\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k+2=12\Rightarrow k=10\\ or k+2=-12\Rightarrow k=-14\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& x^2-(k+2)x+36=0\Rightarrow x^2-12x+36=0\\ & \Rightarrow (x-6{)}^2=0\Rightarrow x-6=0\Rightarrow x=6\end{array} \left(K=10\right) \\ \begin{array}{rl}{x}^2-(k+2)x+36=0& \Rightarrow x^2+12x+36=0\\ & \Rightarrow (x+6{)}^2=0\Rightarrow x+6=0\Rightarrow x=-6\end{array} \left(K=-14\right) \end{gathered}$$

(4)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة $4y^2+25=(k-5)y$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow (x+6{)}^2=0\Rightarrow x+6=0\Rightarrow x=-6\\ & 4y^2+25=(k-5)y\Rightarrow 4y^2-(k-5)y+25=0,a=4,b=-(k-5),c=25\end{array}$

يكون جذرا المعادلة متساويين عندما $∆=0$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow b^2-4ac=0\Rightarrow (k-5{)}^2-4(4\left)\right(25)=0\\ & \Rightarrow (k-5{)}^{\mathrm{\prime }}=400\Rightarrow k-5-\pm 20\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k-5=20\Rightarrow k=25\\ or k-5=-20\Rightarrow k=-15\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}4y^2\cdot (k-5)y+25=0& \Rightarrow 4y^2-20y+25=0\Rightarrow (2y-5{)}^2=0\\ & \Rightarrow 2y-5=0\Rightarrow y=\frac{5}{2}\end{array} \left(K=25\right) \\ \begin{array}{rl}4y^2-(k-5)y+25=0& \Rightarrow 4y^2+20y+25=0\\ & \Rightarrow (2y+5{)}^2=0\Rightarrow 2y+5=0\Rightarrow y=--\frac{5}{2}\end{array} \left(K=-15\right) \end{gathered}$$

(5)- ما قيمة الثابت k التي تجعل جذري المعادلة ${\mathrm{z}}^2+16=(\mathrm{k}+4)\mathrm{z}$ متساويين؟ تحقق من الإجابة.

${\mathrm{z}}^2+16=(\mathrm{k}+4)\mathrm{z}\Rightarrow {\mathrm{z}}^2-(\mathrm{k}+4)\mathrm{z}+16=0,\mathrm{a}=1,\mathrm{b}=-(\mathrm{k}+4),\mathrm{l}=16$

يكون جذرا المعادلة متساويين عندما $∆=0$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow b^2-4ac=0\Rightarrow (k+5{)}^2-4(1\left)\right(16)=0\\ & \Rightarrow (k+4{)}^2=64\Rightarrow k+4=\pm 8\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}k+4=8\Rightarrow k=4\\ or k+4=-8\Rightarrow k=-12\end{array}\end{array}$

التحقق:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& z^2-(k+4)z+16=0\Rightarrow z^2-8z+16=0\\ & \Rightarrow (z-4{)}^2=0\Rightarrow z-4=0\Rightarrow z=4\end{array} \left(K=4\right) \\ \begin{array}{rl}& z^2-(k+4)z+16=0\Rightarrow z^2+8z+16=0\\ & \Rightarrow (z+4{)}^2=0\Rightarrow z+4=0\Rightarrow z=-4\end{array} \left(K=-12\right) \end{gathered}$$

(6)- بين أن المعادلة ${\mathrm{z}}^2-6\mathrm{z}+28=0$ ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

$\begin{array}{rl}& a=1,b=-6,c=28\\ & \mathrm{\Delta }=b^2-4ac\Rightarrow \mathrm{\Delta }=36-4\left(1\right)\left(28\right)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Delta }=36-112\Rightarrow \mathrm{\Delta }=-76\end{array}$

بما أن المقدار المميز سالب فلذا المعادلة ليس لها حل في R