حلول الأسئلة

السؤال

حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

الحل

$4 z^{2} - 12 z - 27 = 0$

$\begin{aligned} 4 z^{2} - 12 z - 27 = 0 \Rightarrow 4 z^{2} - 12 z = 27 \Rightarrow z^{2} - 3 z = \frac{27}{4} \Rightarrow z^{2} - 3 z + \frac{9}{4} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} \\ \Rightarrow {(z - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{36}{4} \Rightarrow z - \frac{3}{2} = \pm \frac{6}{2} \\ \Rightarrow {\begin{matrix} z - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow z = \frac{9}{2} \\ or z - \frac{3}{2} = \frac{- 6}{2} \Rightarrow z = - \frac{- 3}{2} \end{matrix} \\ \Rightarrow s = {\frac{9}{2}, \frac{- 3}{2}} \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل التمرينات

(1)- حل المعادلات التالية بالمربع الكامل:

$x^{2} + 24 x + 144 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} + 24 x + 144 = 0 \Rightarrow (x)^{2} + 24 x + (12)^{2} = 0 & \Rightarrow (x + 12)^{2} = 0 \\ \Rightarrow x + 12 = 0 \Rightarrow x = - 12 \end{aligned}$

$y^{2} - 20 y + 100 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} - 20 y + 100 = 0 & \Rightarrow (x - 10)^{2} = 0 \\ \Rightarrow y - 10 = 0 \Rightarrow y = 10 \end{aligned}$

$y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0 \Rightarrow & (y + 2 \sqrt{2})^{2} = 0 \\ \Rightarrow y + 2 \sqrt{2} & = 0 \Rightarrow y = - 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

$7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0$

$\begin{aligned} 7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0 \Rightarrow (\sqrt{7} - z)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow \sqrt{7} - z = 0 \Rightarrow z = \sqrt{7} \end{aligned}$

$3 y^{2} + 36 - 12 \sqrt{3} y = 0$

$\begin{aligned} 3 y^{2} + 36 - 12 \sqrt{3} y = 0 & \Rightarrow 3 y^{2} - 12 \sqrt{3} y + 36 = 0 \Rightarrow (\sqrt{3} y - 6)^{2} = 0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} y - 6 = 0 \Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

$9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0$

$\begin{aligned} 9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0 & \Rightarrow {(3 z - \frac{5}{3})}^{2} = 0 \\ \Rightarrow 3 z - \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow z = \frac{5}{9} \end{aligned}$

(2)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

$y^{2} + 2 \sqrt{3} y = 3$

$\begin{aligned} y^{2} - 8 y = 24 \Rightarrow y^{2} - 8 y + 16 = 24 + 16 \Rightarrow (y - 4)^{2} = 40 \Rightarrow y - 4 = \pm 2 \sqrt{10} \\ \Rightarrow {\begin{matrix} y - 4 = 2 \sqrt{10} \Rightarrow y = 4 + 2 \sqrt{10} \\ o r y - 4 = - 2 \sqrt{10} \Rightarrow y = 4 - 2 \sqrt{10} \Rightarrow s = {4 + 2 \sqrt{10}, 4 - 2 \sqrt{10}} \end{matrix} \end{aligned}$

$4 z^{2} - 12 z - 27 = 0$

$x^{2} - 2 x = 0$

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 1 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 1 & \Rightarrow x - 1 = \pm 1 \\ \Rightarrow {\begin{matrix} x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \\ or x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow s = {2, 0} \end{matrix} \end{aligned}$

$y^{2} - 8 y = 24$

$\begin{aligned} y^{2} - 8 y = 24 \Rightarrow y^{2} - 8 y + 16 & = 24 + 16 \Rightarrow (y - 4)^{2} = 40 \Rightarrow y - 4 = \pm 2 \sqrt{10} \\ \Rightarrow {y - 4 & = 2 \sqrt{10} \Rightarrow y = 4 + 2 \sqrt{10} \\ o r y - 4 & = - 2 \sqrt{10} \Rightarrow y = 4 - 2 \sqrt{10} \Rightarrow s = {4 + 2 \sqrt{10}, 4 - 2 \sqrt{10}} \end{aligned}$

$x^{2} - \frac{2}{3} x = 4$

$\begin{aligned} x^{2} - \frac{2}{3} x = 4 \Rightarrow x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = 4 + & \frac{1}{9} \Rightarrow {(x - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{37}{9} \\ \Rightarrow & x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{37}}{3} \\ \Rightarrow & {x - \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{37}}{3} \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{37}}{3} \\ or x - \frac{1}{3} = \frac{- \sqrt{37}}{3} \Rightarrow x = \frac{1 - \sqrt{37}}{3} \\ \Rightarrow & s = {\frac{1 + \sqrt{37}}{3}, \frac{1 - \sqrt{37}}{3}} \end{aligned}$

$8 y^{2} + 16 y - 64 = 0$

$\begin{aligned} 8 y^{2} + 16 y - 64 = 0 \Rightarrow y^{2} + 2 y = 8 \Rightarrow y^{2} + 2 y + 1 = 9 & \Rightarrow (y + 1)^{2} = 9 \Rightarrow y + 1 = \pm 3 \\ \Rightarrow {\begin{cases} y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2 \\ o r y + 1 = - 3 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow s = {2, - 4} \end{cases} \end{aligned}$

(3)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع، وجد الناتج بالتقريب لأقرب عدد صحيح:

$x^{2} - 6 x = 15$

$\begin{aligned} x^{2} - 6 x = 15 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 9 = 15 + 9 & \Rightarrow (x - 3)^{2} = 24 \Rightarrow x - 3 \approx \pm 5 (\sqrt{24} = \sqrt{25} = 5) \\ \Rightarrow {\begin{matrix} x - 3 \approx 5 \Rightarrow x \approx 8 \\ o r x - 3 \approx - 5 \Rightarrow x \approx - 2 \end{matrix} \Rightarrow s = {8, - 2} \end{aligned}$

$y (2 y + 28) = 28$

$\begin{aligned} y (2 y + 28) = 28 & \Rightarrow 2 y^{2} - 28 y = 28 \Rightarrow y^{2} - 14 y = 14 \\ \Rightarrow y^{2} - 14 y + 49 & = 14 + 49 \Rightarrow (y + 7)^{2} = 63 \Rightarrow y + 7 \approx \pm 8 (\sqrt{63} \approx \sqrt{64} = 8) \\ \Rightarrow {\begin{matrix} y + 7 \approx 8 \Rightarrow y \approx 1 \\ o r y + 7 \approx - 8 \Rightarrow y \approx - 15 \Rightarrow s = {1, - 15} \end{matrix} \end{aligned}$

$z^{2} - 10 z + 10 = 0$

$\begin{aligned} z^{2} - 10 z = - 10 & \Rightarrow z^{2} - 10 z + 25 = - 10 + 25 \\ \Rightarrow (z - 5)^{2} = 15 \Rightarrow z - 5 \approx \pm 4 (\sqrt{15} \approx \sqrt{16} = 4) \\ \Rightarrow {\begin{matrix} z - 5 \approx 4 \Rightarrow z = 9 \\ or - 5 \approx - 4 \Rightarrow z \approx 1 \Rightarrow s = {9, 1} \end{matrix} \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

الحل

$4 z^{2} - 12 z - 27 = 0$

تدرب وحل التمرينات

(1)- حل المعادلات التالية بالمربع الكامل:

$x^{2} + 24 x + 144 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} + 24 x + 144 = 0 \Rightarrow (x)^{2} + 24 x + (12)^{2} = 0 & \Rightarrow (x + 12)^{2} = 0 \\ \Rightarrow x + 12 = 0 \Rightarrow x = - 12 \end{aligned}$

$y^{2} - 20 y + 100 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} - 20 y + 100 = 0 & \Rightarrow (x - 10)^{2} = 0 \\ \Rightarrow y - 10 = 0 \Rightarrow y = 10 \end{aligned}$

$y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0$

$\begin{aligned} y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0 \Rightarrow & (y + 2 \sqrt{2})^{2} = 0 \\ \Rightarrow y + 2 \sqrt{2} & = 0 \Rightarrow y = - 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

$7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0$

$\begin{aligned} 7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0 \Rightarrow (\sqrt{7} - z)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow \sqrt{7} - z = 0 \Rightarrow z = \sqrt{7} \end{aligned}$

$3 y^{2} + 36 - 12 \sqrt{3} y = 0$

$9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0$

$\begin{aligned} 9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0 & \Rightarrow {(3 z - \frac{5}{3})}^{2} = 0 \\ \Rightarrow 3 z - \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow z = \frac{5}{9} \end{aligned}$

حلول الأسئلة

حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

مشاركة الحل

تدرب وحل التمرينات

(1)- حل المعادلات التالية بالمربع الكامل:

x2+24x+144=0

y2−20y+100=0

y2+42y+8=0

7−27z+z2=0

3y2+36−123y=0

9z2−10z+259=0

(2)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

y2+23y=3

4z2−12z−27=0

x2−2x=0

y2−8y=24

x2−23x=4

8y2+16y−64=0

(3)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع، وجد الناتج بالتقريب لأقرب عدد صحيح:

x2−6x=15

y(2y+28)=28

z2−10z+10=0

مشاركة الدرس

حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

تدرب وحل التمرينات

(1)- حل المعادلات التالية بالمربع الكامل:

x2+24x+144=0

y2−20y+100=0

y2+42y+8=0

7−27z+z2=0

3y2+36−123y=0

9z2−10z+259=0

(2)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع:

y2+23y=3

4z2−12z−27=0

x2−2x=0

y2−8y=24

x2−23x=4

8y2+16y−64=0

(3)- حل المعادلات التالية بإكمال المربع، وجد الناتج بالتقريب لأقرب عدد صحيح:

x2−6x=15

y(2y+28)=28

z2−10z+10=0

$x^{2} + 24 x + 144 = 0$

$y^{2} - 20 y + 100 = 0$

$y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0$

$7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0$

$3 y^{2} + 36 - 12 \sqrt{3} y = 0$

$9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0$

$y^{2} + 2 \sqrt{3} y = 3$

$4 z^{2} - 12 z - 27 = 0$

$x^{2} - 2 x = 0$

$y^{2} - 8 y = 24$

$x^{2} - \frac{2}{3} x = 4$

$8 y^{2} + 16 y - 64 = 0$

$x^{2} - 6 x = 15$

$y (2 y + 28) = 28$

$z^{2} - 10 z + 10 = 0$

$x^{2} + 24 x + 144 = 0$

$y^{2} - 20 y + 100 = 0$

$y^{2} + 4 \sqrt{2} y + 8 = 0$

$7 - 2 \sqrt{7} z + z^{2} = 0$

$3 y^{2} + 36 - 12 \sqrt{3} y = 0$

$9 z^{2} - 10 z + \frac{25}{9} = 0$

$y^{2} + 2 \sqrt{3} y = 3$

$4 z^{2} - 12 z - 27 = 0$

$x^{2} - 2 x = 0$

$y^{2} - 8 y = 24$

$x^{2} - \frac{2}{3} x = 4$

$8 y^{2} + 16 y - 64 = 0$

$x^{2} - 6 x = 15$

$y (2 y + 28) = 28$

$z^{2} - 10 z + 10 = 0$