اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الآتية:

$\left\{4\sqrt{2}\right\}$

$\left\{4\sqrt{2}\right\}=\{4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},\dots \}$

اختبار الفصل

1- بسط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات في الأعداد الحقيقية:

- $(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$

- $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{8}-5}{3\sqrt{2}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{8}-5}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}{\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}}\\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{1}-\frac{2\sqrt{2}-5}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}(1-\sqrt{2})-2\sqrt{2}+5}{3\sqrt{2}}\\ & =\frac{3\sqrt{2}-6-2\sqrt{2}+5}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{3\sqrt{2}}\end{array}$

2- استعمل ترتيب العمليات والحاسبة لتكتب ما يلي مقرباً لأقرب عشر: ${\left(\frac{1}{125}\right)}^{\frac{1}{3}}-{(-\frac{1}{2})}^0+(121{)}^{\frac{1}{2}}\times {\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}$

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{125}\right)}^{\frac{1}{3}}-{(-\frac{1}{2})}^0+(121{)}^{\frac{1}{2}}\times {\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{1}{5^3}\right)}^{\frac{1}{3}}-1+{\left({11}^2\right)}^{\frac{1}{2}}\times {\left(\frac{1}{3^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{1}{5}-1+11\times \frac{1}{3}=\frac{-4}{5}+\frac{11}{3}=\frac{-12+55}{15}=\frac{43}{15}\approx 2.9\end{array}$

3- إذا كان $\mathrm{f}:\mathrm{z}\to \mathrm{R}$ حيث $f\left(x\right)=x^2$ ارسم مخططاً سهمياً للتطبيق وبين هل أن التطبيق متباين، شامل، أو متقابل؟

1. تطبيق متباين لأن $2+-2\Rightarrow f\left(2\right)=f(-2)=4$
2. تطبيق غير شامل لأن المدى لا يساوي R
3. تطبيق غير متقابل لأنه ليس متبايناً ولا شاملاً

4- إذا كان التطبيق $\mathrm{f}:\mathrm{N}\to \mathrm{N}$ إذ أن $g:N\to N,f\left(x\right)=3x+1$ إذ $g\left(x\right)=x^2$

جد $(g\circ f)\left(5\right),(f\circ g)\left(5\right),\left(\mathrm{gof}\right)\left(2\right),\left(\text{fog}\right)\left(2\right)$

$\begin{array}{rl}& (f\circ g)\left(2\right)=f\left(g\right(2\left)\right)=f\left(2^2\right)=f\left(4\right)=3\times 4+1=13\\ & (g\circ f)\left(2\right)=g\left(f\right(2\left)\right)=g(2\times 3+1)=g\left(7\right)=7^2=49\\ & (f\circ g)\left(5\right)=f\left(g\right(5\left)\right)=f\left(5^2\right)=f\left(25\right)=3\times 25+1=76\\ & (g\circ f)\left(5\right)=g\left(f\right(5\left)\right)=g(3\times 5+1)=g\left(16\right)={16}^2=256\end{array}$

5- إذا كان التطبيق $f:R\to R$ حيث $f\left(x\right)=3x+1$ والتطبيق $g:R\to R$ إذ أن $g\left(x\right)=2x+5$

هل أن $(g\circ f)\left(x\right)=(f\circ g)\left(x\right)$؟ جد قيمة x إذا كانت $(f\circ g)\left(x\right)=28$.

$\begin{array}{rl}(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)& =f(2x+5)=3(2x+5)+1\\ & =6x+15+1=6x+16\\ (g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)& =g(3x+1)=2(3x+1)+5\\ & =6x+2+5=6x+7\end{array}$

إذن $(f\circ g)\left(x\right)\ne (g\circ f)\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}(f\circ g)\left(x\right)=28& \Rightarrow 6x+16=28\\ & \Rightarrow 6x=28-16\\ & \Rightarrow 6x=12\\ & \Rightarrow x=2\end{array}$

6- اكتب حدود للمتتابعات الآتية:

- جد الحدود بين u₃ وu₈ لمتتابعة حسابية حدها الثاني $\frac{-3}{2}$ و2 = d

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_2=\mathrm{a}+\mathrm{d}\Rightarrow \frac{-3}{2}=\mathrm{a}+2\Rightarrow \mathrm{a}=-\frac{3}{2}-2=\frac{-7}{2}\\ & {\mathrm{u}}_4=\mathrm{a}+3\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{u}}_4=\frac{-7}{2}+3\times 2\Rightarrow {\mathrm{u}}_4=\frac{-7}{2}+6=\frac{5}{2}\\ & {\mathrm{u}}_5={\mathrm{u}}_4+\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{u}}_5=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}\\ & {\mathrm{u}}_6={\mathrm{u}}_5+\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{u}}_6=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}\\ & {\mathrm{u}}_7={\mathrm{u}}_6+\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{u}}_7=\frac{13}{2}+2=\frac{17}{2}\\ & \{\dots ,{\mathrm{u}}_4,{\mathrm{u}}_5,{\mathrm{u}}_6,{\mathrm{u}}_7,\dots \}-\{\dots ,\frac{5}{2},\frac{9}{2},\frac{13}{2},\frac{17}{2},\dots \}\end{array}$

- جد الحدود بين u₄ وu₉ لمتتابعة حسابية حدها الثالث 6 و$d=-\frac{5}{2}$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_3=\mathrm{a}+2\mathrm{d}\Rightarrow 6=\mathrm{a}+2(-\frac{5}{2})\Rightarrow \mathrm{a}=11\\ & {\mathrm{u}}_5={\mathrm{u}}_5+4\mathrm{d}\Rightarrow {\mathrm{u}}_5=11+4\frac{-5}{2}=1\\ & {\mathrm{u}}_6={\mathrm{u}}_6+\mathrm{d}\Rightarrow 1-\frac{5}{2}=\frac{-3}{2}\\ & {\mathrm{u}}_7={\mathrm{u}}_6+\mathrm{d}\Rightarrow \frac{-3}{2}-\frac{5}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\ & {\mathrm{u}}_8={\mathrm{u}}_7+\mathrm{d}\Rightarrow -4-\frac{5}{2}=\frac{-13}{2}\\ & \{\dots ,u_5,u_6,u_7,u_8,\dots \}-\{\dots ,1,\frac{-3}{2},-4,\frac{-13}{2},\dots \}\end{array}$

7- حدد نوع المتتابعة (متزايدة، متناقصة، ثابتة) لكل مما يأتي:

- $u_n=9-3n$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_1=9-3\times 1=6 , {\mathrm{u}}_2=9-3\times 2=3\\ & \mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1=3-6=-3<0\end{array}$

متتابعة متناقصة

- $u_n=n^2-2$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_1=1-2=-1 , {\mathrm{u}}_2=4-2=2\\ & \mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1=2-(-1)=3>0\end{array}$

متتابعة متزايدة

- $u_n=\frac{1}{3n+1}$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_1=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4} , {\mathrm{u}}_2=\frac{1}{6+1}=\frac{1}{7}\\ & \mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1=\frac{1}{7}-\frac{1}{4}=\frac{4-7}{28}=\frac{-3}{28}<0\end{array}$

متتابعة متناقصة

8- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الآتية:

- $\left\{\frac{n}{n+2}\right\}$

$\left\{\frac{n}{n+2}\right\}=\{\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\dots \}$

- $\left\{4\sqrt{2}\right\}$

$\left\{4\sqrt{2}\right\}=\{4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},4\sqrt{2},\dots \}$

- $\left\{\frac{-n}{n+5}\right\}$

$\left\{\frac{-n}{n+5}\right\}=\{\frac{-1}{6},\frac{-2}{7},\frac{-3}{8},\frac{-4}{9},\frac{-1}{2},\dots \}$

9- حل المتباينات المركبة ومثل مجموعة الحل على مستقيم الأعداد:

- $x+6\ge 12 و x+6<20$

$\begin{array}{rl}12\le x+6<20& \Rightarrow 6\le x<14\\ & \Rightarrow \{x:6\le x<14\}\end{array}$

- $\frac{1}{16}<\frac{z+2}{2}\le \frac{1}{8}$

$\begin{array}{rl}\frac{1}{16}<\frac{z+2}{2}\le \frac{1}{8}& \Rightarrow \frac{1}{8}<z+2\le \frac{1}{4}\\ & \Rightarrow \frac{1}{8}-2<z\le \frac{1}{4}-2\Rightarrow \frac{-15}{8}<z\le \frac{-7}{4}\Rightarrow \{z:\frac{-15}{8}<Z\le \frac{-7}{4}\}\end{array}$

- $x-3\le -5 \mathrm{أو} \text{ x-3>5}$

$\begin{array}{c}x-3\le -5 \mathrm{أو} x-3>5\Rightarrow x\le -2 \mathrm{أو} x>8\\ \Rightarrow \{x\le -2\}\cup \{x>8\}\end{array}$

- $7t-5>-1 \mathrm{أو} 7t-5\le -14$

$$\begin{gathered} 7t-5>-1 \mathrm{أو} 7t-5\le -14\Rightarrow 7t>4 \mathrm{أو} 7t\le -9 \\ \Rightarrow t>\frac{4}{7} \mathrm{أو} t\le \frac{-9}{4}=\{t\le \frac{-9}{7}\}\cup \{t>\frac{4}{7}\} \end{gathered}$$

- $y\le 0 \mathrm{أو} y+7\ge 16$

$$\begin{gathered} y\le 0 \mathrm{أو} y+7\ge 16\Rightarrow y\le 0 \mathrm{أو} y\ge 9 \\ \Rightarrow \{\mathrm{y}\le 0\}\cup \{\mathrm{y}\ge 9\} \end{gathered}$$

- $\frac{y}{3}<1\frac{1}{3} \mathrm{أو} \frac{y}{3}>9\frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}\frac{y}{3}<1\frac{1}{3} \mathrm{أو} & \frac{y}{3}>9\frac{1}{3}\\ & \Rightarrow \frac{y}{3}<\frac{4}{3} \mathrm{أو} \frac{y}{3}>\frac{28}{3}\Rightarrow y<4 \mathrm{أو} y>28\\ & \Rightarrow \{y:y<4\}\cup \{y:y>28\}\end{array}$

10- اكتب المتباينة المركبة التي تبين مدى طول الضلع الثالث في المثلث إذا كان طولا ضلعي المثلث معلومين:

- $4\mathrm{cm},9\mathrm{cm}$

نفرض أن طول الضلع الثالث هو x

$\begin{array}{rl}& 4+9>x\Rightarrow 13>x\\ & 4+x>9\Rightarrow x>5\\ & 9+x>4\Rightarrow x>-5\end{array}$

لا تعطي أية فائدة لذا مدى طول الضلع الثالث هو:

$5<x<13$

- $5\mathrm{cm},12\mathrm{cm}$

$\begin{array}{rl}& 5+12>x\Rightarrow 17>x\\ & 5+x>12\Rightarrow x>7\\ & 12+x>5\Rightarrow x>-7\end{array}$

لا تعطي أية نتيجة لذا مدى طول الضلع الثالث هو:

$7<x<17$

- $7\mathrm{cm},15\mathrm{cm}$

$\begin{array}{rl}& 7+15>x\Rightarrow 22>x\\ & 7+x>15\Rightarrow x>8\\ & 15+x>7\Rightarrow x>-8\end{array}$

لا تعطي أية نتيجة لذا مدى طول الضلع الثالث هو:

$8<x<22$

11- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

- $|x-6|\le 3$

$\begin{array}{rl}|x-6|\le 3& \Rightarrow -3\le x-6\le 3\Rightarrow 3\le x\le 9\\ & \Rightarrow \{x:3\le x\le 9\}\end{array}$

- $\left|3z\right|-5<4$

$\begin{array}{rl}\left|3z\right|-5<4& \Rightarrow \left|3z\right|<9\\ & \Rightarrow -9<3z<9\Rightarrow -3<z<3\\ & \Rightarrow \{z:-3<z<3\}\end{array}$

- $|x+1|>\frac{1}{2}$

$\begin{array}{rl}|x+1|>\frac{1}{2}& \Rightarrow x+1<-\frac{1}{2} \mathrm{أو} x+1>\frac{1}{2}\\ & \Rightarrow x<-\frac{1}{2}-1 \mathrm{أو} x>\frac{1}{2}-1\\ & \Rightarrow x<-\frac{3}{2} \mathrm{أو} x>-\frac{1}{2}\\ & ⟹\{x:x<-\frac{3}{2}\}\cup \{x:x>-\frac{1}{2}\}\end{array}$

- $6\left|x\right|-8\ge 3$

$\begin{array}{rl}6\left|x\right|-8\ge 3& \Rightarrow 6\left|x\right|\ge 11\Rightarrow \left|x\right|\ge \frac{11}{6}\\ & \Rightarrow x\le -\frac{11}{6} \mathrm{أو} x\ge \frac{11}{6}\\ & \Rightarrow \{x:x\le -\frac{11}{6}\}\cup \{x:x\ge \frac{11}{6}\}\end{array}$

- $\left|3y\right|-2>9$

$\begin{array}{rl}\left|3y\right|-2>9& \Rightarrow \left|3y\right|>11⟹3y<-11 \mathrm{أو} 3y>11\\ & \Rightarrow y<-\frac{11}{3} \mathrm{أو} y>\frac{11}{3}\\ & \Rightarrow \{y:y\le -\frac{11}{3}\}\cup \{\mathrm{y}:\mathrm{y}>\frac{11}{3}\}\end{array}$

- $\left|8z\right|-1>7$

$\begin{array}{rl}\left|8z\right|-1>7& ⟹\left|8z\right|>8⟹8z<-8 \mathrm{أو} 8z>8\\ & ⟹z<-1 \mathrm{أو} z>1\\ & ⟹\{z:z<-1\}\cup \{z:z>1\}\end{array}$

- $|4-3y|\ge 14$

$\begin{array}{rl}|4-3y|\ge 14& \Rightarrow 4-3y\le -14 \mathrm{أو} 4-3y\ge 14\\ & \Rightarrow -3y\le -18 \mathrm{أو} -3y\ge 10\\ & ⟹y\ge 6 \mathrm{أو} y\le -\frac{10}{3}\\ & \Rightarrow \{y:y\le -\frac{10}{7}\}\cup \{y:y\ge 6\}\end{array}$

- $\left|\frac{6-3y}{9}\right|\ge 5$

$\begin{array}{rl}\left|\frac{6-3y}{9}\right|\ge 5& \Rightarrow \left|\frac{2-y}{3}\right|\ge 5\\ & \Rightarrow |2-y|\ge 15\Rightarrow 2-y\le -15 \mathrm{أو} 2-y\ge 15\\ & \Rightarrow -y\le -17 \mathrm{أو} -y\ge 13\\ & \Rightarrow y\ge 17 \mathrm{أو} y\le -13\\ & \Rightarrow \{y:y\le -13\}\cup \{y:y\ge 17\}\end{array}$