حلول الأسئلة

السؤال

حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

الحل

$| x | - 6 < 5$

$\begin{aligned} | x | < 5 + 6 \Rightarrow | x | < 11 \\ - 11 < x < 11 \Rightarrow S = {x : - 11 < x < 11} \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة $8^{\circ}$ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز $0 . 5^{\circ}$ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

نفرض درجة الحرارة المثالية هي x

$\begin{aligned} x \leq 8 + 0.5 و x \geq 8 - 0.5 \\ x - 8 \leq 0.5 و x - 8 \geq - 0.5 \Rightarrow - 0.5 \leq x - 8 \leq 0.5 \\ | x - 8 | \leq 0.5 \end{aligned}$

درجة غليان الماء $100^{\circ}$ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز $20^{\circ}$ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

نفرض درجة غليان الماء x

$\begin{aligned} x \leq 100 + 20 أو x \geq 100 - 20 \\ x - 100 \leq 20 أو x - 100 \geq - 20 \\ - 20 \leq x - 100 \leq 20 \\ | x - 100 | \leq 20 \end{aligned}$

(2)- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

$| x + 3 | < 6$

$\begin{aligned} - 6 < x + 3 < 6 \Rightarrow - 6 - 3 < x < 6 - 3 \\ - 9 < x < 3 \Rightarrow S = {x : - 9 < x < 3} \end{aligned}$

$| x | - 6 < 5$

$\begin{aligned} | x | < 5 + 6 \Rightarrow | x | < 11 \\ - 11 < x < 11 \Rightarrow S = {x : - 11 < x < 11} \end{aligned}$

$| 2 z | - 5 < 2$

$\begin{aligned} | 2 z | < 2 + 5 \Rightarrow | 2 z | < 7 \Rightarrow - 7 < 2 z < 7 \\ \frac{- 7}{2} < \frac{2 z}{2} < \frac{7}{2} \Rightarrow \frac{- 7}{2} < z < \frac{7}{2} \Rightarrow S = {z : \frac{- 7}{2} < z < \frac{7}{2}} \end{aligned}$

$| y - 3 | \geq \frac{1}{3}$

$\begin{aligned} y - 3 \geq \frac{1}{3} أو y - 3 \leq - \frac{1}{3}] \times 3 \\ 3 (y - 3) \geq \frac{1}{3} \times 3 أو 3 (y - 3) \leq - \frac{1}{3} \times 3 \\ 3 y - 9 \geq 1 أو 3 y - 9 \leq - 1 \\ 3 y \geq 1 + 9 أو 3 y \leq - 1 + 9 \\ 3 y \geq 10 أو 3 y \leq 8 \\ \frac{3 y}{3} \geq \frac{10}{3} أو \frac{3 y}{3} \leq \frac{8}{3} \Rightarrow y \geq \frac{10}{3} أو y \leq \frac{8}{3} \\ S = S_{1} \cup S_{2} = {y : y \geq \frac{10}{3}} \cup {y : y \leq \frac{8}{3}} \end{aligned}$

$2 | x | - 7 \geq 1$

$\begin{aligned} 2 | x | - 7 \geq 1 \Rightarrow 2 | x | \geq 1 + 7 \Rightarrow 2 | x | \geq 8] \div 2 \\ | x | \geq 4 \Rightarrow x \geq 4 أو x \leq - 4 \\ S = S_{1} \cup S_{2} = {x : x \geq 4} \cup {x : x \leq - 4} \end{aligned}$

$| 9 y | - 6 > 3$

$\begin{aligned} | 9 y | - 6 > 3 \Rightarrow | 9 y | > 3 + 6 \Rightarrow | 9 y | > 9 \\ 9 y > 9 أو 9 y < - 9 \Rightarrow \frac{9 y}{9} > \frac{9}{9} أو \frac{9 y}{9} < \frac{- 9}{9} \\ y > 1 أو y < - 1 \\ S = S_{1} \cup S_{2} = {y : y > 1} \cup {y : y < - 1} \end{aligned}$

$| 11 z | - 2 \geq 9$

$\begin{aligned} | 11 Z | - 2 \geq 9 & \Rightarrow | 11 Z | \geq 11 \Rightarrow | Z | \geq 1 \\ ⟹ Z \leq - 1 أو Z \geq 1 \\ ⟹ S = {Z : Z \leq - 1} \cup {Z : Z \geq 1} \end{aligned}$

$| 1 - x | < 1$

$\begin{aligned} - 1 < 1 - x < 1 \Rightarrow - 1 - 1 < - x < 1 - 1 \Rightarrow - 2 < - x < 0] \times - 1 \\ 2 > x > 0 \Rightarrow 0 < x < 2 \\ S = {x : 0 < x < 2} \end{aligned}$

$| \frac{4}{5} z - 1 | > \frac{4}{5}$

$\begin{aligned} \frac{4}{5} z - 1 > \frac{4}{5} أو \frac{4}{5} z - 1 < - \frac{4}{5}] \times 5 \\ \frac{4}{5} z \times 5 - 1 \times 5 > \frac{4}{5} \times 5 أو \frac{4}{5} z \times 5 - 1 \times 5 < - \frac{4}{5} \times 5 \\ 4 z - 5 > 4 أو 4 z - 5 < - 4 \Rightarrow 4 z > 4 + 5 أو 4 z < - 4 + 5 \\ 4 z > 9 أو 4 z < 1 \Rightarrow \frac{4 z}{4} > \frac{9}{4} أو \frac{4 z}{4} < \frac{1}{4} \Rightarrow z > \frac{9}{4} أو z < \frac{1}{4} \\ S = S_{1} \cup S_{2} = {z : z > \frac{9}{4}} \cup {z : z < \frac{1}{4}} \end{aligned}$

$| \frac{z - 1}{7} | \leq 2$

$\begin{aligned} - 2 \leq \frac{z - 1}{7} \leq 2] \times 7 \\ - 2 \times 7 \leq \frac{z - 1}{7} \times 7 \leq 2 \times 7 \\ - 14 \leq z - 1 \leq 14 \Rightarrow - 14 + 1 \leq z \leq 14 + 1 \\ - 13 \leq z \leq 15 \Rightarrow S = {z : - 13 \leq z \leq 15} \end{aligned}$

(3)- اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

الرسم البياني يمثل تقاطع والفجوة فارغة

المتباينة $- 6 < x < 2$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{- 6 + 2}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{array}{ll} - 6 < x < 2 & \Rightarrow - 6 - (- 2) < x - (- 2) < 2 - (- 2) \\ - 4 < x + 2 < 4 & \Rightarrow | x + 2 | < 4 \end{array}$

مجموعة الحل متصلة لذا فهي تمثل مجموعة تقاطع مجموعتين أي متباينة مركبة بعلاقة "و"

الآن نبحث عن نقطة منتصف مجموعة الحل وهي (1-) ثم نحسب نصف قطر مجموعة الحل وهو $\frac{2 - (- 4)}{2} = 3$

وعليه نحاول إيجاد متباينة طرفاهما هما العددان 3 و3- كالآتي:

$\begin{aligned} - 4 < x < 2 & ⟹ - 4 + 1 < x + 1 < 2 + 1 ⟹ - 3 < x + 1 < 3 \\ ⟹ | x + 1 | \leq 3 \end{aligned}$

الرسم البياني يمثل اتحاد (أو)

$x > - 2 أو x < 4$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{- 2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{aligned} x > - 2 أو x < 4 \Rightarrow x - 1 > - 2 - 1 أو x - 1 < 4 - 1 \\ x - 1 > - 3 أو x - 1 < 3 \Rightarrow | x - 1 | > 3 \end{aligned}$

مجموعة الحل اتحاد مجموعتين لذا فهي متباينة مركبة بعلاقة "أو"

${x \leq - 4} \cup {x \geq - 2}$

الآن نجد نصف قطر المسافة بين العددين 2- و4- وهو العدد $\frac{- 2 - (- 4)}{2} = 1$

$⟹ x \leq - 4 أو x \geq - 2$

والآن نحاول إيجاد متباينة طرفاها العددان 1 و1-

$⟹ x + 3 \leq - 1 أو x + 3 \geq 1$

المتباينة المركبة هي:

$⟹ | x + 3 | \geq 1$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

الحل

$| x | - 6 < 5$

$\begin{aligned} | x | < 5 + 6 \Rightarrow | x | < 11 \\ - 11 < x < 11 \Rightarrow S = {x : - 11 < x < 11} \end{aligned}$

تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة $8^{\circ}$ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز $0 . 5^{\circ}$ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

نفرض درجة الحرارة المثالية هي x

$\begin{aligned} x \leq 8 + 0.5 و x \geq 8 - 0.5 \\ x - 8 \leq 0.5 و x - 8 \geq - 0.5 \Rightarrow - 0.5 \leq x - 8 \leq 0.5 \\ | x - 8 | \leq 0.5 \end{aligned}$

درجة غليان الماء $100^{\circ}$ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز $20^{\circ}$ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

نفرض درجة غليان الماء x

$\begin{aligned} x \leq 100 + 20 أو x \geq 100 - 20 \\ x - 100 \leq 20 أو x - 100 \geq - 20 \\ - 20 \leq x - 100 \leq 20 \\ | x - 100 | \leq 20 \end{aligned}$

(2)- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

$| x + 3 | < 6$

$\begin{aligned} - 6 < x + 3 < 6 \Rightarrow - 6 - 3 < x < 6 - 3 \\ - 9 < x < 3 \Rightarrow S = {x : - 9 < x < 3} \end{aligned}$

$| x | - 6 < 5$

$\begin{aligned} | x | < 5 + 6 \Rightarrow | x | < 11 \\ - 11 < x < 11 \Rightarrow S = {x : - 11 < x < 11} \end{aligned}$

$| 2 z | - 5 < 2$

$| y - 3 | \geq \frac{1}{3}$

$2 | x | - 7 \geq 1$

$| 9 y | - 6 > 3$

$| 11 z | - 2 \geq 9$

$\begin{aligned} | 11 Z | - 2 \geq 9 & \Rightarrow | 11 Z | \geq 11 \Rightarrow | Z | \geq 1 \\ ⟹ Z \leq - 1 أو Z \geq 1 \\ ⟹ S = {Z : Z \leq - 1} \cup {Z : Z \geq 1} \end{aligned}$

$| 1 - x | < 1$

$\begin{aligned} - 1 < 1 - x < 1 \Rightarrow - 1 - 1 < - x < 1 - 1 \Rightarrow - 2 < - x < 0] \times - 1 \\ 2 > x > 0 \Rightarrow 0 < x < 2 \\ S = {x : 0 < x < 2} \end{aligned}$

$| \frac{4}{5} z - 1 | > \frac{4}{5}$

$| \frac{z - 1}{7} | \leq 2$

(3)- اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

الرسم البياني يمثل تقاطع والفجوة فارغة

المتباينة $- 6 < x < 2$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{- 6 + 2}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{array}{ll} - 6 < x < 2 & \Rightarrow - 6 - (- 2) < x - (- 2) < 2 - (- 2) \\ - 4 < x + 2 < 4 & \Rightarrow | x + 2 | < 4 \end{array}$

مجموعة الحل متصلة لذا فهي تمثل مجموعة تقاطع مجموعتين أي متباينة مركبة بعلاقة "و"

الآن نبحث عن نقطة منتصف مجموعة الحل وهي (1-) ثم نحسب نصف قطر مجموعة الحل وهو $\frac{2 - (- 4)}{2} = 3$

وعليه نحاول إيجاد متباينة طرفاهما هما العددان 3 و3- كالآتي:

$\begin{aligned} - 4 < x < 2 & ⟹ - 4 + 1 < x + 1 < 2 + 1 ⟹ - 3 < x + 1 < 3 \\ ⟹ | x + 1 | \leq 3 \end{aligned}$

الرسم البياني يمثل اتحاد (أو)

$x > - 2 أو x < 4$

نجد معدل القيمتين أي أن: $\frac{- 2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ثم نطرح (2-) من جميع المتباينة:

$\begin{aligned} x > - 2 أو x < 4 \Rightarrow x - 1 > - 2 - 1 أو x - 1 < 4 - 1 \\ x - 1 > - 3 أو x - 1 < 3 \Rightarrow | x - 1 | > 3 \end{aligned}$

مجموعة الحل اتحاد مجموعتين لذا فهي متباينة مركبة بعلاقة "أو"

${x \leq - 4} \cup {x \geq - 2}$

الآن نجد نصف قطر المسافة بين العددين 2- و4- وهو العدد $\frac{- 2 - (- 4)}{2} = 1$

$⟹ x \leq - 4 أو x \geq - 2$

والآن نحاول إيجاد متباينة طرفاها العددان 1 و1-

$⟹ x + 3 \leq - 1 أو x + 3 \geq 1$

المتباينة المركبة هي:

$⟹ | x + 3 | \geq 1$

حلول الأسئلة

حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

مشاركة الحل

تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة 8∘ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز 0.5∘ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

درجة غليان الماء 100∘ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز 20∘ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

(2)- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

|x+3|<6

|x|−6<5

|2z|−5<2

|y−3|≥13

2|x|−7≥1

|9y|−6>3

|11z|−2≥9

|1−x|<1

|45z−1|>45

|z−17|≤2

(3)- اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

مشاركة الدرس

حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب متباينة القيمة المطلقة التي تمثل المسائل الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة 8∘ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز 0.5∘ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

درجة غليان الماء 100∘ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز 20∘ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

(2)- حل متباينات القيمة المطلقة الآتية:

|x+3|<6

|x|−6<5

|2z|−5<2

|y−3|≥13

2|x|−7≥1

|9y|−6>3

|11z|−2≥9

|1−x|<1

|45z−1|>45

|z−17|≤2

(3)- اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة $8^{\circ}$ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز $0 . 5^{\circ}$ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

درجة غليان الماء $100^{\circ}$ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز $20^{\circ}$ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

$| x + 3 | < 6$

$| x | - 6 < 5$

$| 2 z | - 5 < 2$

$| y - 3 | \geq \frac{1}{3}$

$2 | x | - 7 \geq 1$

$| 9 y | - 6 > 3$

$| 11 z | - 2 \geq 9$

$| 1 - x | < 1$

$| \frac{4}{5} z - 1 | > \frac{4}{5}$

$| \frac{z - 1}{7} | \leq 2$

يجب أن تبقى درجة الحرارة داخل الثلاجة $8^{\circ}$ سيليزية بزيادة أو نقصان لا يتجاوز $0 . 5^{\circ}$ سيليزية. اكتب مدى درجة الحرارة المثالية في داخل الثلاجة.

درجة غليان الماء $100^{\circ}$ سيليزية عند مستوى سطح البحر وتزداد وتنقص في المناطق الجبلية والوديان بما لا يتجاوز $20^{\circ}$ سيليزية، اكتب مدى التذبذب في درجة غليان الماء.

$| x + 3 | < 6$

$| x | - 6 < 5$

$| 2 z | - 5 < 2$

$| y - 3 | \geq \frac{1}{3}$

$2 | x | - 7 \geq 1$

$| 9 y | - 6 > 3$

$| 11 z | - 2 \geq 9$

$| 1 - x | < 1$

$| \frac{4}{5} z - 1 | > \frac{4}{5}$

$| \frac{z - 1}{7} | \leq 2$