اكتب الأزواج المرتبة الأربعة الأولى للمتتابعة التي حدها العام معطى:

$\left\{u_n\right\}=\frac{1}{3n+1}$

$\begin{array}{ll}{u}_1=\frac{1}{3\left(1\right)+1}=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}& , u_2=\frac{1}{3\left(2\right)+1}=\frac{1}{6+1}=\frac{1}{7}\\ u_3=\frac{1}{3\left(3\right)+1}=\frac{1}{9+1}=\frac{1}{10}& , u_4=\frac{1}{3\left(4\right)+1}=\frac{1}{12+1}=\frac{1}{13}\end{array}$

الأزواج المرتبة $\{(1,\frac{1}{4}),(2,\frac{1}{7}),(3,\frac{1}{10}),(4,\frac{1}{13}),\dots \}$

تدرب وحل التمرينات

(1)- اكتب الأزواج المرتبة الأربعة الأولى للمتتابعة التي حدها العام معطى:

$\left\{u_n\right\}=10-4n$

$\begin{array}{rl}& u_1=10-4\left(1\right)=10-4=6 , u_2=10-4\left(2\right)=10-8=2\\ & u_3=10-4\left(3\right)=10-12=-2 , u_4=10-4\left(4\right)=10-16=-6\end{array}$

الأزواج المرتبة $\left\{\right(1,6),(2,2),(3,-2),(4,-6),\dots \}$

$\left\{u_n\right\}=n^2-1$

$\begin{array}{ll}{u}_1=(1{)}^2-1=1-1=0& ,u_2=(2{)}^2-1=4-1=3\\ u_3=(3{)}^2-1=9-1=8& ,u_4=(4{)}^2-1=16-1=15\end{array}$

الأزواج المرتبة $\left\{\right(1,0),(2,),(3,8),(4,15),\dots \}$

$\left\{u_n\right\}=\frac{1}{3n+1}$

$\begin{array}{ll}{u}_1=\frac{1}{3\left(1\right)+1}=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}& , u_2=\frac{1}{3\left(2\right)+1}=\frac{1}{6+1}=\frac{1}{7}\\ u_3=\frac{1}{3\left(3\right)+1}=\frac{1}{9+1}=\frac{1}{10}& , u_4=\frac{1}{3\left(4\right)+1}=\frac{1}{12+1}=\frac{1}{13}\end{array}$

الأزواج المرتبة $\{(1,\frac{1}{4}),(2,\frac{1}{7}),(3,\frac{1}{10}),(4,\frac{1}{13}),\dots \}$

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة الآتية:

متتابعة حسابية الحد السابع فيها $\frac{1}{24}$ وأساسها $\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& u_7=\frac{1}{24},n=7,d=\frac{1}{3},a=?\\ & u_n=a+(n-1)d\\ & u_7=a+(7-1)\left(\frac{1}{3}\right)\\ & \frac{1}{24}=a+\left(6\right)\left(\frac{1}{3}\right)\Rightarrow \frac{1}{24}=a+\left(2\right)\Rightarrow a=\frac{1}{24}-2\Rightarrow a=\frac{1-48}{24}=\frac{-47}{24}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& u_2=\frac{-47}{24}+(2-1)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-47}{24}+\frac{1}{3}=\frac{-39}{24}\\ & u_3=\frac{-47}{24}+(3-1)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-47}{24}+\frac{2}{3}=\frac{-31}{24}\\ & u_4=\frac{-47}{24}+(4-1)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-47}{24}+\frac{3}{3}=\frac{-23}{24}\\ & u_5=\frac{-47}{24}+(5-1)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-47}{24}+\frac{5}{3}=\frac{-15}{24}\end{array} \end{gathered}$$

المتتابعة الحسابية $\{\frac{-47}{24},\frac{-39}{24},\frac{-31}{24},\frac{-23}{24},\frac{-15}{24},\dots \}$

(3)- اكتب حدود للمتتابعات الآتية:

جد الحدود بين u₁₀ وu₁₃ لمتتابعة حسابية حدها السابع $\frac{13}{2}$ و1 = d

$\begin{array}{rl}& u_7=\frac{13}{2},n=7,d=1,a=?\\ & u_n=a+(n-1)d\\ & u_7=a+(7-1)\left(1\right)\Rightarrow \frac{13}{2}=a+\left(6\right)\Rightarrow a=\frac{13}{2}-6=\frac{13-12}{2}=\frac{1}{2}\\ & u_{11}=\frac{1}{2}+(11-1)\left(1\right)=\frac{1}{2}+10=\frac{1+20}{2}=\frac{21}{2}\\ & u_{13}=\frac{1}{2}+(13-1)\left(1\right)=\frac{1}{2}+12=\frac{1+24}{2}=\frac{25}{2}\end{array}$

المتتابعة الحسابية $\{\dots ,\frac{21}{2},\frac{25}{2},\dots \}$

جد الحدود بين u₂₀ وu₂₃ لمتتابعة حسابية حدها الثاني 0 و1- = d

$\begin{array}{rl}& u_2=0,d=-1,u_2=a+d\Rightarrow a=u_2-d=1\\ & u_{21}=a+20d⟹u_{21}=1+20(-1)=1-20=-19\\ & \{\dots ,u_{21},u_{22},\dots \}=\{\dots ,-19,-20,\dots .\}\end{array}$

(4)- حدد نوع المتتابعة (متزايدة، متناقصة، ثابتة) لكل مما يأتي:

$\left\{u_n\right\}=\{3-2n\}$

$\begin{array}{rl}& \left\{u_n\right\}=\{3-2n\},d=u_{n+1}-u_n\\ & u_1=1\\ & u_2=-1\\ & d=u_2-u_1=-1-1=-2\end{array}$

متناقصة

$\left\{u_n\right\}=\{n^3-1\}$

$\begin{array}{rl}& \left\{u_n\right\}=\{n^3-1\},u_1=0,u_2=7\\ & d=u_2-u_1=7-0=7\end{array}$

متزايدة

$\left\{u_n\right\}=\left\{\frac{1}{n+2}\right\}$

$\begin{array}{rl}& \left\{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right\}=\left\{\frac{1}{n+2}\right\},{\mathrm{u}}_1=\frac{1}{3},{\mathrm{u}}_2=\frac{1}{4}\\ & \mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3-4}{12}=\frac{-1}{12}\end{array}$

متناقصة

(5)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الآتية:

$\frac{3n}{2}$

$\left\{\frac{3n}{2}\right\}=\{\frac{3}{2},3,\frac{9}{2},6,\frac{15}{2},\dots .\}$

$\sqrt{3}$

$\left\{\sqrt{3}\right\}=\{\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\dots \}$

$\frac{n}{n+1}$

$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}=\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\dots \}$