إذا كان $A=\{1,2,3\}$ وكان $f:A\to A , g:\mathrm{A}\to \mathrm{A}$ معرفان كما يلي: $f=\left\{\right(1,3),(3,3),(2,3\left)\right\} , g=\left\{\right(3,1),(1,2),(2,3\left)\right\}$  بين هل $fog=gof$ ؟

$\begin{array}{rl}& fog\left(x\right)=f\left[g\right(x\left)\right]\\ & fog\left(1\right)=f\left[g\right(1\left)\right]=f\left(2\right)=3\\ & fog\left(2\right)=f\left[g\right(2\left)\right]=f\left(1\right)=3\\ & fog\left(3\right)=f\left[g\right(3\left)\right]=f\left(1\right)=3\\ & fog=\left\{\right(1,3),(2,3),(3,3\left)\right\}\\ & g\circ f\left(x\right)=g\left[f\right(x\left)\right]\\ & gof\left(1\right)=g\left[f\right(1\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof\left(2\right)=g\left[f\right(2\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof\left(3\right)=g\left[f\right(3\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof=\left\{\right(1,1),(2,1),(3,1\left)\right\},fog\ne gof\end{array}$

فكر واكتب

تحدٍ: إذا كان $A=\{1,2,3\}$ وكان $f:A\to A , g:\mathrm{A}\to \mathrm{A}$ معرفان كما يلي:

$f=\left\{\right(1,3),(3,3),(2,3\left)\right\} , g=\left\{\right(3,1),(1,2),(2,3\left)\right\}$

بين هل $fog=gof$؟

$\begin{array}{rl}& fog\left(x\right)=f\left[g\right(x\left)\right]\\ & fog\left(1\right)=f\left[g\right(1\left)\right]=f\left(2\right)=3\\ & fog\left(2\right)=f\left[g\right(2\left)\right]=f\left(1\right)=3\\ & fog\left(3\right)=f\left[g\right(3\left)\right]=f\left(1\right)=3\\ & fog=\left\{\right(1,3),(2,3),(3,3\left)\right\}\\ & g\circ f\left(x\right)=g\left[f\right(x\left)\right]\\ & gof\left(1\right)=g\left[f\right(1\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof\left(2\right)=g\left[f\right(2\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof\left(3\right)=g\left[f\right(3\left)\right]=g\left(3\right)=1\\ & gof=\left\{\right(1,1),(2,1),(3,1\left)\right\},fog\ne gof\end{array}$

أصحح الخطأ: قال ياسين إن العلاقة $f:Z\to Z$ حيث $f\left(x\right)=x^3$ لا تمثل تطبيقاً متبايناً.

حدد خطا ياسين وصححه.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3,x=Z=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}\\ & f(-2)=(-2{)}^3=-8\\ & f(-1)=(-1{)}^3=-1\\ & f\left(0\right)=(0{)}^3=0\\ & f\left(1\right)=(1{)}^3=1\\ & f\left(2\right)=(2{)}^3=8\end{array}$

التطبيق متباين لأن $f(-1)\ne f\left(1\right)$ بينما $-1\ne 1$ (شرط التباين).

حس عددي: حدد ما إذا كانت كل علاقة $f:X\to Y$ فيما يلي تمثل تطبيقاً أم لا؟ فسر ذلك.

ليس لها قاعدة اقتران إذن لا تمثل تطبيق.

اكتب: قيمة x إذا كان $f:N\to N$ يمثل تطبيقاً حيث $f\left(x\right)=4x-3$ وإن $\left(fof\right)\left(x\right)=1$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=4x-3\\ & f\left(x\right)=\stackrel{\uparrow }{\overbrace{4x-3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \left(fof\right)\left(x\right)=1\\ & 4(4x-3)-3=1\\ & 16x-12-3=1\Rightarrow 16x-15=1\\ & 16x=1+15\Rightarrow 16x=16\Rightarrow \frac{16x}{16}=\frac{16}{16}\Rightarrow x=1\end{array}$