شاهد راصد زاوية ارتفاع منطاد مثبت هي $45°$ ولما سار الراصد في مستو أفق نحو المنطاد ومسافة 1000 متر شاهد أن زاوية ارتفاع هي $60°$ ° جد ارتفاع المنطاد.

نفرض ارتفاع المنطاد = y وبعد الراصد عن أثر المنطاد = x

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\tan 45=\frac{y}{x}\Rightarrow 1=\frac{y}{x}\\ \therefore y=x\\ \tan 60=\frac{y}{BD}\end{array} \\ \begin{array}{r}\sqrt{3}=\frac{y}{x-1000}\Rightarrow y=\sqrt{3}(x-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}(y-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}y-1000\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt{3}y-y=1000\sqrt{3}\end{array} \\ \therefore y(\sqrt{3}-1)=1000\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \end{gathered}$$

ارتفاع المنطاد $y\cong 2366\mathrm{m}$

كل زوج مرتب (x,y) من الأعداد الحقيقية يعين نقطة في مستوي فإذا وجدنا معادلة تربط الإحداثي السيني لكل نقطة بالإحداثي الصادي لنفس النقطة، سميناه هذه المعادلة (معادلة مجموعة النقاط المطلوب تعينها) فلو وقعت نقاط مجموعة جزئية من المستوي على مستقيم L وأوجدنا معادلة تربط الإحداثي السيني لنقطة اختيارية من هذه المجموعة بالإحداثي الصادي نسمي هذه المعادلة (معادلة المستقيم L).

1. إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$ يوازي محور الصادات ويبعد عنه بالبعد a فإن معادلته x=a
2. إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{k}}$ يوازي محور السينات ويبعد عنه بالبعد b فإن معادلته y=b

معادلة المستقيم الموازي لمحور الصادات ويمر بالنقطة (x,y) هي $x=x_1$ وعندما $x_1=0$ فإن المستقيم ينطبق على محور الصادات ومعادلة المستقيم الموازي لمحور السينات ويمر بالنقطة (x,y) هي $y=y_1$ وعندما $y_1=0$ فإن المستقيم سوف ينطبق على محور السينات.

وعليه معادلة محور السينات هي y=0 ومعادلة محور الصادات هي x=0

تمارين (3-3)

(1)- وقف شخص في أعلى برج وأبصر شجرتين تقعان مع قاعدة البرج على استقامة واحدة فكانت زاوية انخفاض قاعدة الشجرة الأولى $60°$، وزاوية انخفاض قاعدة الشجرة الثانية $45°$ جد المسافة بين الشجرتين من العلم أن ارتفاع البرج 30 م.

• نفرض موقع الشجرة الأولى = A
• نفرض موقع الشجرة الثانية = B

زاوية الارتفاع = زاوية الانخفاض

$\begin{array}{r}\tan 45=\frac{DC}{AC}\\ 1=\frac{30}{AC}\Rightarrow AC=30m\end{array}$

• بعد الشجرة الأولى عن قاعدة البرج.
• بعد الشجرة الثانية عن قاعدة البرج.

$\tan 60=\frac{DC}{BC}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{30}{BC}\Rightarrow BC=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\mathrm{m}$

البعد بين الشجرتين $AB=AC-BC=30-10\sqrt{3}\cong 13\mathrm{m}$

(2)- من نقطة تبعد عن قاعدة مئذنة 50 متراً وجد راصد آن زاوية ارتفاع قمتها $30°$ فما ارتفاع المئذنة.

نفرض ارتفاع المئذنة = L وحدة طول

$\begin{array}{r}\tan 30=\frac{L}{50}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{L}{50}\Rightarrow =L=\frac{50}{\sqrt{3}}\end{array}$

ارتفاع المئذنة $\therefore \mathrm{L}\cong 28.37\mathrm{m}$

(3)- عمود كهرباء طوله 6 أمتار مثبت شاقولياً (عمودياً) على أرض أفقية ومربوط بسلك في نهايته العليا ومثبت على سطح الأرض وكان قياس الزاوية التي يصنعها السلك مع سطح الأرض $° 60$ من طول السلك.

نفرض طول السلك = L وحدة طول

$\begin{array}{r}\sin 60=\frac{AB}{AC}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{4}\end{array}$

طول السلك $\therefore L=\frac{2\times 6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}\cong 6.92\mathrm{m}$

(4)- شاهد راصد زاوية ارتفاع منطاد مثبت هي $45°$ ولما سار الراصد في مستو أفق نحو المنطاد ومسافة 1000 متر شاهد أن زاوية ارتفاع هي $60°$ ° جد ارتفاع المنطاد.

نفرض ارتفاع المنطاد = y وبعد الراصد عن أثر المنطاد = x

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\tan 45=\frac{y}{x}\Rightarrow 1=\frac{y}{x}\\ \therefore y=x\\ \tan 60=\frac{y}{BD}\end{array} \\ \begin{array}{r}\sqrt{3}=\frac{y}{x-1000}\Rightarrow y=\sqrt{3}(x-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}(y-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}y-1000\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt{3}y-y=1000\sqrt{3}\end{array} \\ \therefore y(\sqrt{3}-1)=1000\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \end{gathered}$$

ارتفاع المنطاد $y\cong 2366\mathrm{m}$