$(\frac{\sqrt{3}}{2},L)$ نقطة مثلثية للزاوية الحادة $\theta$ جد قيمة $\tan \theta ,\mathrm{L}$

النقطة المثلثية = $(\cos \theta ,\sin \theta )$

$\begin{array}{rl}& \therefore (\cos \theta ,\sin \theta )=(\frac{\sqrt{3}}{2},L)\\ & \therefore \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta ={30}^{\circ }\\ & \therefore \sin \theta =L\Rightarrow L=\sin {30}^{\circ }\\ & \therefore L=\frac{1}{2}\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

إذا وقف راصد في نقطة A ونظر إلى نقطة C التي تقع فوق أفق A فإن الزاوية الحاصلة بين المستقيم الواصل من عين الراصد إلى النقطة C وبين أفق A تدعى (زاوية الارتفاع) مثل الزاوية $\sphericalangle CAB$ أما إذا كان الراصد في c ونظر إلى A فإن الزاوية الكائنة بين المستقيم الواصل من عين الراصد إلى A وبين أفق C تسمى (زاوية الانخفاض) مثل الزاوية $<)ACX$

تمارين (2-3)

(1)- جد القيمة العددية لكل مما يأتي:

$(\tan {30}^{\circ }-\tan {60}^{\circ })(2\tan {60}^{\circ }\tan {45}^{\circ })$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{المقدار}=(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3})(2\sqrt{3}\times 1)\\ & =\frac{1-3}{\sqrt{3}}\times 2\sqrt{3}=-4\end{array}$

$(\sin {30}^{\circ }+\cos {60}^{\circ })(\cos {60}^{\circ }-\sin {60}^{\circ })$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{المقدار}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =1\times \frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$3\cos {30}^{\circ }\tan {60}^{\circ }-2\tan {45}^{\circ }-\frac{1}{2}\sin {60}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{المقدار}=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}-2\times 1-\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{9}{2}-2-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9-4-\sqrt{3}}{2}=\frac{5-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

${\cos }^2{45}^{\circ }\sin {60}^{\circ }\tan {60}^{\circ }{\tan }^{2}45{\cos }^2{30}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{المقدار}={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}\times (1{)}^2\times {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}\times 1\times \frac{3}{2}=\frac{9}{8}\end{array}$

(2)- إذا كان $\sin \theta =\frac{3}{5}$ فجد $\cos \theta ,\tan \theta$ حيث أن $\theta$ زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية.

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1{\cos }^2\theta +{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1{\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\therefore \cos \theta =\frac{4}{5} \\ \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

(3)- برهن على أن المجموعتين المرتبتين:

$\{{\sin }^2{30}^{\circ },{\sin }^{2}45,{\sin }^2{60}^{\circ },{\sin }^{2}90\},\{1,2,3,4\}$ متناسبان

$\begin{array}{ll}{\mathrm{Sin}}^{2}30={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}=\frac{1}{4}& {\mathrm{Sin}}^2{45}^{\circ }={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\\ {\sin }^2{60}^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}& {\mathrm{Sin}}^2{90}^{\circ }=(1{)}^2=1=\frac{4}{4}\end{array}$

$\therefore \{\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}\} \mathrm{تناسب} \{1,2,3,4\}$

أي إذا قسمنا كل حد على نظيره من المجموعة الثانية نحصل على نفس النتائج.

(4)- جد القيمة العددية لكل مما يأتي ثم جد النقطة المثلثية لكل منها:

$\cos {150}^{\circ },\sin {150}^{\circ }$

$$\begin{gathered} \cos {150}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\cos {30}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \mathrm{Sin}{150}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2} \\ B=(\cos 150,\sin 150)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}) \mathrm{المثلثية} \mathrm{النقطة} \end{gathered}$$

$\cos {135}^{\circ },\tan {135}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \cos {135}^{\circ }=\cos (180-45)=-\cos 45=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \tan {135}^{\circ }=\tan (180-45)=-\tan 45=-1\\ & \tan 135=\frac{\sin 135}{\cos 135}\Rightarrow -1=\frac{\sin 135}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ & \therefore \sin {135}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore (\cos 135,\sin 135)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) \mathrm{المثلثية} \mathrm{النقطة} \end{array}$

$\tan {120}^{\circ },\sin {120}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \tan {120}^{\circ }=\tan ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=-\tan 60=-\sqrt{3}\\ & \sin {120}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & \tan {120}^{\circ }=\frac{\sin {120}^{\circ }}{\cos {120}^{\circ }}\Rightarrow -\sqrt{3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos {120}^{\circ }}\\ & \therefore \cos {120}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{-1}{2}\\ & \therefore (\cos {120}^{\circ },\sin {120}^{\circ })=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) \mathrm{المثلثية} \mathrm{النقطة}\end{array}$

(4)- ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه $m\nless B={60}^{\circ },AC=4\mathrm{cm}$ جد مساحته.

$\tan {60}^{\circ }=\frac{AC}{BC}=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\sqrt{3}& =\frac{4}{BC}\\ \therefore BC& =\frac{4}{\sqrt{3}}\end{array} \\ \mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}=\frac{1}{2}\times BC\times AC \\ =\frac{1}{2}\times \frac{4}{\sqrt{3}}\times 4=\frac{8}{\sqrt{3}}{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

(6)- سلم طوله 10 متر مرتكز بطرفه الأسفل على أرض أفقية مستوية وطرفه الأعلى على الحائط شاقولي فإذا كانت الزاوية بين السلم والأرض $°30$ فما بعد طرفه الأعلى من الأرض؟ وما بعد طرفه الأسفل عن الحائط؟

• نفرض بعد الطرف الاسفل عن الحائط = x وحدة طول.
• نفرض بعد الطرف الأعلى عن الأرض = y وحدة طول.

$\cos {30}^{\circ }=\frac{BC}{AC}=\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}$

$\begin{array}{c}\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{10}\Rightarrow 2\mathrm{x}=10\sqrt{3}\\ \therefore x=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \mathrm{متر}\end{array}$

$\sin {30}^{\circ }=\frac{AB}{AC}=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$

$$\begin{gathered} \therefore y=\frac{10}{2}=5 \mathrm{متر} \\ \frac{1}{2}=\frac{y}{10}\Rightarrow 2y=10\times 1 \end{gathered}$$

(7)- $(\frac{\sqrt{3}}{2},L)$ نقطة مثلثية للزاوية الحادة $\theta$ جد قيمة $\tan \theta ,\mathrm{L}$

النقطة المثلثية = $(\cos \theta ,\sin \theta )$

$\begin{array}{rl}& \therefore (\cos \theta ,\sin \theta )=(\frac{\sqrt{3}}{2},L)\\ & \therefore \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta ={30}^{\circ }\\ & \therefore \sin \theta =L\Rightarrow L=\sin {30}^{\circ }\\ & \therefore L=\frac{1}{2}\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$