جد مجموعة حلول المتراجحات الآتية: $|x-6|\le 1$

$$\begin{gathered} |x-6|=\{\begin{array}{ll}x-6& x\ge 6\\ 6-x& x<6\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} |x-6|\le 1\Rightarrow x-6\le 1\Rightarrow x\le 7\\ & \{x:x\in R,x\le 7\}{=}_1ف\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{أو} |x-6|\le 1\Rightarrow 6-x\le 1\Rightarrow x\ge 5\\ & \{x:x\in R,x\ge 5\}=2ف\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{x:x\le 7\}\cap \{x:x\ge 5\}{=}_2ف{\cap }_1ف=ف$

تمارين (3-2)

(1)- جد مجموعة حل المتراجحات:

$2x+5<7$

$\begin{array}{rl}& 2x+5<7\Rightarrow 2x+5+(-5)<7+(-5) \left(\mathrm{المتراجحة} \mathrm{طرفي} \mathrm{إلى} \left(-5\right) \mathrm{بإضافة}\right)\\ & \Rightarrow 2x<2\Rightarrow x<1 \left(2 \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}\right)\end{array}$

مجموعة الحل = $\{x:x\in R,x<1\}$

$x-3\ge 63$

بإضافة (3) إلى طرفي المتراجحة:

$x-3\ge 63\Rightarrow x-3+3\ge 63+3\Rightarrow x\ge 66$

مجموعة الحل = $\{x:x\in \mathrm{R},x\ge 66\}$

(2)- جد مجموعة حلول المتراجحات الآتية:

$|x-6|\le 1$

$$\begin{gathered} |x-6|=\{\begin{array}{ll}x-6& x\ge 6\\ 6-x& x<6\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} |x-6|\le 1\Rightarrow x-6\le 1\Rightarrow x\le 7\\ & \{x:x\in R,x\le 7\}{=}_1ف\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{أو} |x-6|\le 1\Rightarrow 6-x\le 1\Rightarrow x\ge 5\\ & \{x:x\in R,x\ge 5\}=2ف\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{x:x\le 7\}\cap \{x:x\ge 5\}{=}_2ف{\cap }_1ف=ف$

$|x+1|\le 4$

$|x+1|\{\begin{array}{ll}x+1& x\ge -1\\ -x-1& x<-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{إما} |x+1|\le 4\Rightarrow x+1\le 4\Rightarrow x\le 3 \left({}_1ف\right)\\ & \mathrm{أو} |x+1|\le 4\Rightarrow -x-1\le 4\Rightarrow -x\le 5\Rightarrow x\ge -5 \left(2ف\right) \left(-1 \mathrm{في} \mathrm{بالضرب}\right)\end{array}$

مجموعة الحل = $\{x:x\le 3\}\cap \{x:x\ge -5\}{=}_2ف{\cap }_1ف$

$2-|2x-3|\le -3$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} 2-(2x-3)\le -3\\ & 2-2x+3\le -3\\ & -2x\le -3-2-3\\ & -2x\le -8 \left(-2 \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}\right)\\ & x\ge 4 {}_1ف \left(\mathrm{الترتيب} \mathrm{يتغير}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{أو} 2-(3-2x)\le -3\\ & 2-3+2x\le -3\\ & 2x\le -3+3-2\\ & 2x\le -2\\ & x\le -1 {}_2ف\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{x:x\ge 4\}\cup \{x:x\le -1\}{=}_2ف\cup {}_1ف$

$|4x+1|\ge 15$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} 4x+1\ge 15\\ & 4x\ge 14\\ & x\ge 4 {}_1ف \left(4 \mathrm{على} \mathrm{يالقسمة}\right)\\ & x\ge \frac{14}{4}\\ & x\ge 3.5 {}_1ف\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -(4x+1)\ge 15\\ & -4x-1\ge 15\\ & -4x\ge 16 \left(\mathrm{الترتيب} \mathrm{يتغير} \left(-1\right) \mathrm{في} \mathrm{بالضرب}\right)\\ & 4x\le -16 \left(4 \mathrm{على} \mathrm{يالقسمة}\right)\\ & x\le \frac{-16}{4}\\ & x\le -4 {}_2ف\end{array} \end{gathered}$$

مجموعة الحل = $\{x:x\le -4\}\cup \{x:x\ge 3.5\}{=}_2ف\cup {}_1ف$

(3)- باختيار مجموعة التعويض لكل من x,y هي R جد مجموعة الحل لكل من الأنظمة الآتية:

$\begin{array}{rl}& x+y=1\dots ....\left(1\right)\\ & x^2+3y^2=7\dots .\left(2\right)\end{array}$

نستخدم طريقة التعويض من (1) نحصل على:

$x=1-y....\left(3\right)$

نعوض عن y في المعادلة (2)

$\begin{array}{rl}& (1-y{)}^2+3y^2=7\\ & 1-2y+y^2+3y^2-7=0\Rightarrow [4y^2-2y-6=0]÷2\\ \Rightarrow & 2y^2-y-3=0\\ \Rightarrow & (2y-3)(y+1)=0\end{array}$

إما y=-1 نعوض في (3) $x=1-(-1)=2$

أو $y=\frac{3}{2}$ نعوض في (3) $x=1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}$

مجموعة الحل = $\{(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}),(2,-1\left)\right\}$

$\begin{array}{rl}& xy=12\dots \dots ..\left(1\right)\\ & x^2-y=32\dots \dots ...\left(2\right)\end{array}$

من المعادلة (1) نجد

$y=\frac{12}{x}\dots \dots \dots \left(3\right)$

$\begin{array}{rl}& x^2-{\left(\frac{12}{x}\right)}^2=32....\left(2\right) \mathrm{المعادلة} \mathrm{في} y \mathrm{نعوض}\\ & (x^2-\frac{144}{x^2}=32) \left(x^2 \mathrm{في} \mathrm{بالضرب}\right)\\ & x^4-144=32x^2\Rightarrow x^4-32x^2-144=0\\ & \Rightarrow (x^2-36)(x^2+4)=0\\ & \mathrm{إما} x^2-36=0\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\mp 6\\ & \text{أو }{x}^2+4=0 \mathrm{يهمل} \mathrm{يمكن} \mathrm{لا}\end{array}$

عندما 6=x نعوض في (3) $y=\frac{12}{6}=2$

عندما 6-=x نعوض في (3) $y=\frac{12}{-6}=-2$

مجموعة الحل = $\left\{\right(-6,-2),(6,2\left)\right\}$