لنفرض مجموعة التعويض لكل من x,y هي R جد مجموعة الحل للنظام.

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25....\left(1\right)\\ x^2+y^2+2x+2y& =39....\left(2\right)\end{array}$

بطرح (1) من (2) نحصل على:

$\begin{array}{r}[2x+2y=14]÷2\\ x+y=7\Rightarrow x=7-y\dots \dots .\left(3\right)\end{array}$

بتعويض (3) في (1)

$\begin{array}{rl}& (7-y{)}^2+y^2=25\Rightarrow 49-14y+y^2+y^2=25\Rightarrow [2y^2-14y+24=0]÷2\\ & \Rightarrow y^2-7y+12=0\therefore (y-3)(y-4)=0\end{array}$

إما 3=y بالتعويض في (3) $\left\{\right(4,3\left)\right\}{=}_1ف\Leftarrow x=4$

أو 4=y بالتعويض في (3) $\left\{\right(3,4\left)\right\}{=}_2ف\Leftarrow x=3$

مجموعة الحل = $\left\{\right(3,4),(4,3\left)\right\}{=}_2ف{\cup }_1ف=ف$

حل المعادلات الآنية

حل المعادلات الآنية (متغيرين) من الدرجة الثانية:

يكون الحل بالتعويض أو بالحذف إذا اشتملت إحدى المعادلتين ذات المتغيرين على حد من الدرجة الثانية على الأقل أو اشتملت على حاصل ضرب متغيرين فإن هذه المعادلة تسمى معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين.

(1)- إذا كانت مجموعة التعويض لكل من x,y هي R

$x=\{0,1,2,3\}$ جد مجموعة الحل للنظام

$\begin{array}{c}x-y=1....\left(1\right)\\ x^2+y=11....\left(2\right)\end{array}$

مجموعة الحل للمعادلة (1) هي:

$\left\{\right(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2\left)\right\}{=}_1ف$

مجموعة الحل للمعادلة (2) هي:

$\left\{\right(0,11),(1,10),(2,7),(3,2\left)\right\}{=}_2ف$

فتكون مجموعة الحل للنظام هي:

$\left\{\right(3,2\left)\right\}{=}_2ف{\cap }_1ف=ف$

(2)- إذا كانت مجموعة التعويض لكل من x,y هي R جد مجموعة الحل النظام المذكور سابقاً بطريقة التعويض.

من المعادلة (1) نجد:

$\left(3\right).......1+x=y$

نعوض (3) في (2) ينتج:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (y+1{)}^2+y=11\\ & y^2+2y+1+y=11\Rightarrow y^2+3y-10=0\\ & \therefore (y+5)(y-2)=0\end{array} \\ \begin{array}{r}x=-5+1=-4 \mathrm{فإن} y=-5 \mathrm{إما}\\ x=2+1=3\mathrm{فإن} y=2 \mathrm{أو}\end{array} \\ \left\{\right(3,2\left)\right\}{=}_2ف\cdot \left\{\right(-4,-5\left)\right\}{=}_1ف \end{gathered}$$

مجموعة الحل = ${}_2ف{\cup }_1ف=ف$

$\left\{\right(3,2),(-4,-5\left)\right\}=ف\therefore$

(3)- لنفرض مجموعة التعويض لكل من x,y هي R جد مجموعة الحل للنظام.

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25....\left(1\right)\\ x^2+y^2+2x+2y& =39....\left(2\right)\end{array}$

بطرح (1) من (2) نحصل على:

$\begin{array}{r}[2x+2y=14]÷2\\ x+y=7\Rightarrow x=7-y\dots \dots .\left(3\right)\end{array}$

بتعويض (3) في (1)

$\begin{array}{rl}& (7-y{)}^2+y^2=25\Rightarrow 49-14y+y^2+y^2=25\Rightarrow [2y^2-14y+24=0]÷2\\ & \Rightarrow y^2-7y+12=0\therefore (y-3)(y-4)=0\end{array}$

إما 3=y بالتعويض في (3) $\left\{\right(4,3\left)\right\}{=}_1ف\Leftarrow x=4$

أو 4=y بالتعويض في (3) $\left\{\right(3,4\left)\right\}{=}_2ف\Leftarrow x=3$

مجموعة الحل = $\left\{\right(3,4),(4,3\left)\right\}{=}_2ف{\cup }_1ف=ف$