حلول الأسئلة

السؤال

إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

الحل

$y \propto z$ فإن $y = k z, k \in R^{+}$

نعوض y في x ينتج $x \propto y$ فإن $x = h y, h \in R^{+}$

$x = h (k z) \Rightarrow x = (h k) z$

نفرض $(h,k) = F \in R^{+}$

$x = F . z, F \in R^{+} ∴ x \propto Z$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-1)

(1)- إذا كانت y تتغير طردياً مع x وكان y=10 عندما x=5 جد قيمة y عندما x=15

$\begin{aligned} ∴ y = k x \Rightarrow 10 = k (5) ∴ k = \frac{10}{5} = 2 الثابت \\ ∴ y = 2 x \Rightarrow y = 2 (15) ∴ y = 30 \end{aligned}$

(2)- إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكان 16=x عندما 25=y جد قيمة y عندما 20=x

$\begin{aligned} y \propto \frac{1}{x} \\ ∴ y = \frac{k}{x}, k \in R^{+} \\ 25 = \frac{k}{16} \Rightarrow k = (25) (16) = 400 (ثابت) \\ y = \frac{k}{x} \Rightarrow y = \frac{400}{20} = 20 \end{aligned}$

(3)- إذا كان z يتغير تغيراً مشتركا ًمع x,y وكان 4=y عندما z=2,x=1 جد ثابت التغير.

$\begin{aligned} ∴ z = k y \cdot x k \in R^{+} \\ 2 = k (4) (1) \Rightarrow k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} (الثابت) \end{aligned}$

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان $y = \frac{3}{2}$ عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

$\begin{aligned} y \propto x \cdot \frac{1}{L} \\ ∴ & y = k x \cdot \frac{1}{L} K \in R^{+} \\ ∴ & \frac{3}{2} = k (2) \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 3 (الثابت) \\ ∴ & y = \frac{3 x}{L} الرياضية العلاقة \end{aligned}$

(5)- إذا كان $x \propto y$ فأثبت أن $y \propto x$

$\begin{aligned} x \propto y \\ ∴ x = k y k \in R^{+} \end{aligned}$

بقسمة الطرفين على الثابت K

$∴ \frac{x}{k} = y \Rightarrow y = \frac{1}{k} x$

نفرض $\frac{1}{k} = h \in R^{+}$

$∴ y = h x \Rightarrow y \propto x$

(6)- إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

$y \propto z$ فإن $y = k z, k \in R^{+}$

نعوض y في x ينتج $x \propto y$ فإن $x = h y, h \in R^{+}$

$x = h (k z) \Rightarrow x = (h k) z$

نفرض $(h,k) = F \in R^{+}$

$x = F . z, F \in R^{+} ∴ x \propto Z$

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها $R^{+}$ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع $y \propto x$ فأثبت أن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$

$y \propto x$ فإن y=kx

لكي نبرهن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$ يجب أن نثبت $x^{3} + y^{3} = h x^{2} y$

$\begin{aligned} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y} = h, h \in R^{+} (h ثابت) \\ \frac{x^{3} + k^{3} x^{3}}{x^{2} \cdot k x} = \frac{x^{3} + k^{3} x^{3}}{k x^{3}} = \frac{x^{3} (1 + k^{3})}{k x^{3}} = \frac{1 + k^{3}}{k} \\ وليكن \frac{1 + k^{3}}{k} = h \in R^{+} \\ ∴ \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y} = h \in R^{+} \Rightarrow x^{3} + y^{3} = h x^{2} y \\ ∴ x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y \end{aligned}$

(8)- إذا تغيرت x عكسياً مع 1–y وكانت 24=x عندما 10=y فما قيمة x عندما 5=y؟

$x \propto \frac{1}{y - 1}$ فإن $x = \frac{k}{y - 1} \cdot k \in R^{+}$

$24 = \frac{k}{10 - 1} \Rightarrow 24 = \frac{k}{9} \begin{aligned} ∴ k = (24) (9) = 216 (الثابت) \\ x = \frac{216}{y - 1} \Rightarrow x = \frac{216}{5 - 1} = \frac{216}{4} = 54 \end{aligned}$

(9)- إذا كان y يتغير عكسياً تبع x فإذا كان y=5 وثابت التغير=15 فجد قيمة x

$y \propto \frac{1}{x}$ فإن $y = \frac{k}{x} ، k \in R^{+}$

$5 = \frac{15}{x} \Rightarrow x = \frac{15}{5} = 3$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

الحل

$y \propto z$ فإن $y = k z, k \in R^{+}$

نعوض y في x ينتج $x \propto y$ فإن $x = h y, h \in R^{+}$

$x = h (k z) \Rightarrow x = (h k) z$

نفرض $(h,k) = F \in R^{+}$

$x = F . z, F \in R^{+} ∴ x \propto Z$

تمارين (2-1)

(1)- إذا كانت y تتغير طردياً مع x وكان y=10 عندما x=5 جد قيمة y عندما x=15

$\begin{aligned} ∴ y = k x \Rightarrow 10 = k (5) ∴ k = \frac{10}{5} = 2 الثابت \\ ∴ y = 2 x \Rightarrow y = 2 (15) ∴ y = 30 \end{aligned}$

(2)- إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكان 16=x عندما 25=y جد قيمة y عندما 20=x

(3)- إذا كان z يتغير تغيراً مشتركا ًمع x,y وكان 4=y عندما z=2,x=1 جد ثابت التغير.

$\begin{aligned} ∴ z = k y \cdot x k \in R^{+} \\ 2 = k (4) (1) \Rightarrow k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} (الثابت) \end{aligned}$

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان $y = \frac{3}{2}$ عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

(5)- إذا كان $x \propto y$ فأثبت أن $y \propto x$

$\begin{aligned} x \propto y \\ ∴ x = k y k \in R^{+} \end{aligned}$

بقسمة الطرفين على الثابت K

$∴ \frac{x}{k} = y \Rightarrow y = \frac{1}{k} x$

نفرض $\frac{1}{k} = h \in R^{+}$

$∴ y = h x \Rightarrow y \propto x$

(6)- إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

$y \propto z$ فإن $y = k z, k \in R^{+}$

نعوض y في x ينتج $x \propto y$ فإن $x = h y, h \in R^{+}$

$x = h (k z) \Rightarrow x = (h k) z$

نفرض $(h,k) = F \in R^{+}$

$x = F . z, F \in R^{+} ∴ x \propto Z$

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها $R^{+}$ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع $y \propto x$ فأثبت أن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$

$y \propto x$ فإن y=kx

لكي نبرهن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$ يجب أن نثبت $x^{3} + y^{3} = h x^{2} y$

(8)- إذا تغيرت x عكسياً مع 1–y وكانت 24=x عندما 10=y فما قيمة x عندما 5=y؟

$x \propto \frac{1}{y - 1}$ فإن $x = \frac{k}{y - 1} \cdot k \in R^{+}$

(9)- إذا كان y يتغير عكسياً تبع x فإذا كان y=5 وثابت التغير=15 فجد قيمة x

$y \propto \frac{1}{x}$ فإن $y = \frac{k}{x} ، k \in R^{+}$

$5 = \frac{15}{x} \Rightarrow x = \frac{15}{5} = 3$

حلول الأسئلة

إذا كانت x ∝ y , y ∝ z فأثبت أن x ∝ z

مشاركة الحل

تمارين (2-1)

(1)- إذا كانت y تتغير طردياً مع x وكان y=10 عندما x=5 جد قيمة y عندما x=15

(2)- إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكان 16=x عندما 25=y جد قيمة y عندما 20=x

(3)- إذا كان z يتغير تغيراً مشتركا ًمع x,y وكان 4=y عندما z=2,x=1 جد ثابت التغير.

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان y=32 عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

(5)- إذا كان x∝y فأثبت أن y∝x

(6)- إذا كانت x∝y,y∝z فأثبت أن x∝z

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها R+ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع y∝x فأثبت أن x3+y3∝x2y

(8)- إذا تغيرت x عكسياً مع 1–y وكانت 24=x عندما 10=y فما قيمة x عندما 5=y؟

(9)- إذا كان y يتغير عكسياً تبع x فإذا كان y=5 وثابت التغير=15 فجد قيمة x

مشاركة الدرس

إذا كانت x ∝ y , y ∝ z فأثبت أن x ∝ z

تمارين (2-1)

(1)- إذا كانت y تتغير طردياً مع x وكان y=10 عندما x=5 جد قيمة y عندما x=15

(2)- إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكان 16=x عندما 25=y جد قيمة y عندما 20=x

(3)- إذا كان z يتغير تغيراً مشتركا ًمع x,y وكان 4=y عندما z=2,x=1 جد ثابت التغير.

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان y=32 عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

(5)- إذا كان x∝y فأثبت أن y∝x

(6)- إذا كانت x∝y,y∝z فأثبت أن x∝z

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها R+ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع y∝x فأثبت أن x3+y3∝x2y

(8)- إذا تغيرت x عكسياً مع 1–y وكانت 24=x عندما 10=y فما قيمة x عندما 5=y؟

(9)- إذا كان y يتغير عكسياً تبع x فإذا كان y=5 وثابت التغير=15 فجد قيمة x

إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان $y = \frac{3}{2}$ عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

(5)- إذا كان $x \propto y$ فأثبت أن $y \propto x$

(6)- إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها $R^{+}$ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع $y \propto x$ فأثبت أن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$

إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان $y = \frac{3}{2}$ عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

(5)- إذا كان $x \propto y$ فأثبت أن $y \propto x$

(6)- إذا كانت $x \propto y_{,} y \propto z$ فأثبت أن $x \propto z$

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها $R^{+}$ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع $y \propto x$ فأثبت أن $x^{3} + y^{3} \propto x^{2} y$