x,y متغيران حقیقیان مرتبطان بعلاقة ما فإذا أخذ المتغيران x,y القيمتين 21,15 على الترتيب وزادت قيمة المتغير x حتى أصبحت 35 ونقص تبعاً لذلك المتغير y فأصبح 8 هل $y\propto \frac{1}{x}$ ؟

$\begin{array}{rl}& x_1=15y_2=8\Rightarrow \frac{y_2}{x_1}=\frac{8}{15}\\ & x_2=35 y_1=21\Rightarrow \frac{y_1}{x_2}=\frac{21}{35}=\frac{7}{3}\therefore \frac{y_2}{x_1}\ne \frac{y_1}{x_2}\end{array}$

y لا تتغير عكسيا تبعاً للمتغير x $\frac{x_2}{x_1}\ne \frac{y_1}{y_2}$

التغير

التغير Variation: التغير ثلاث أنواع ويحصل بين متغيرين أو أكثر فإذا حصل تغير في إحداها تبعها تغير في الآخر إذا كان متغيرين أو أكثر.

أولاً: التغير الطردي:

تعريف: إذا كان x,y متغيرين وإن K عدداً ثابتاً موجباً وكان y=kx فإننا نقول أن (y) تتغير طردياً تبعاً للمتغير (x) وتكتب: $\mathrm{Y}\propto \mathrm{X}$ تقرأ y تتغير طردياً مع x ويسمى x المتغير المستقل ويسمى y المتغير التابع.

$y\propto x\iff y=Kx$

(1)- إذا كان لا يتغير طردياً تبعاً لـ (x) وكان y=15 عندما يكون 7=x فجد قيمة x عندما يكون y=30

$y=Kx$ حيث k ثابت $K\in {\mathrm{R}}^{+}$

$\begin{array}{rl}& 15=K\left(7\right)\Rightarrow K=\frac{15}{7} \left(\mathrm{التغير} \mathrm{ثابت}\right)\\ & y=\frac{15}{7}\times \Rightarrow 30=\frac{15}{7}x\\ & \therefore x=\frac{7\times 30}{15}=14\end{array}$

ملاحظة: لحل مسائل التغير يعوض قيمة x,y في العلاقة أولاً ثم نجد ثابت التغير K ثم نستخدم K في إيجاد المطلوب وذلك بتعويض القيمة المعلومة للمتغير في العلاقة نفسها ثانياً وتعويض K ثم نجد المطلوب.

طريقة التناسب:

إذا كان $y\propto x$ وأخذ المتغير القيمتين $x_1,x_2$ وتبعاً لذلك أخذ y القيمتين $y_1,y_2$ على الترتيب.

فان: $\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_1}{x_1} \mathrm{أو}\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ (تبديل الوسطين).

(2)- x,y متغیران حقيقيان مرتبطان بعلاقة ما فإن أخذت x القيمتين 1.6 ,5 وكانت قيمتا y المناظرتين لقيمتي x هما 4.8 , 15 فهل العلاقة بين x,y علاقة تغير طردي؟

$\begin{array}{rl}& x_1=1.6,y_1=4.8\Rightarrow \frac{y_1}{x_1}=\frac{4.8}{1.6}=3\\ & x_2=5,y_2=15\Rightarrow \frac{y_2}{x_2}=\frac{15}{5}=3\end{array}$

العلاقة بين x,y تغير طردي $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}\to$ أما إذا كانت $\frac{y_1}{x_1}\ne \frac{y_2}{x_2}$ فالعلاقة بين x,y ليست علاقة تغير طردي.

ثانياً: التغير العكسي:

تعريف: إذا كان x,y متغيرين وكان K عدد حقيقي موجب (ثابت التغير) وكان $y=k\cdot \frac{1}{x}$ فإن y تتغير عكسياً تبعاً لـ (x) وتكتب: $y\propto \frac{1}{x}\leftrightarrow y=K\frac{1}{x}$ وتقرأ: y تتغير تغيراً عكسياً تبعاً للمتغير x.

(3)- إذا كان y تتغير عكسياً تبعا لـ (x) وكانت $y=3x=20$ فأوجد قيمة y عندما 6=x

$\begin{array}{rl}y& \propto \frac{1}{x}\\ \therefore y& =\frac{K}{x},K\in R^{+}\\ 3& =\frac{K}{20}\Rightarrow K=60 \mathrm{التغير} \mathrm{ثابت}\\ \therefore y& =\frac{60}{x}=\frac{60}{6}=10\end{array}$

طريقة التناسب:

$y\propto \frac{1}{x}$ وأخذ المتغير القيمتين $x_1,x_2$ وتبعاً لذلك أخذ y القيمتين $y_1,y_2$ على الترتيب.

فإن: $\frac{y_2}{x_1}=\frac{y_1}{x_2} \mathrm{أو} \frac{x_2}{x_1}=\frac{y_1}{y_2}$

(4)- x,y متغيران حقیقیان مرتبطان بعلاقة ما فإذا أخذ المتغيران x,y القيمتين 21,15 على الترتيب وزادت قيمة المتغير x حتى أصبحت 35 ونقص تبعاً لذلك المتغير y فأصبح 8 هل $y\propto \frac{1}{x}$؟

$\begin{array}{rl}& x_1=15y_2=8\Rightarrow \frac{y_2}{x_1}=\frac{8}{15}\\ & x_2=35 y_1=21\Rightarrow \frac{y_1}{x_2}=\frac{21}{35}=\frac{7}{3}\therefore \frac{y_2}{x_1}\ne \frac{y_1}{x_2}\end{array}$

y لا تتغير عكسيا تبعاً للمتغير x $\frac{x_2}{x_1}\ne \frac{y_1}{y_2}$

(5)- إذا كانت = $y\propto \frac{1}{z} , x\propto \frac{1}{y}$ فبرهن على أن $x\propto z$

البرهان:

$\begin{array}{rl}& x\propto \frac{1}{y}\Rightarrow x=\frac{K}{y}\\ & y\propto \frac{1}{z}\Rightarrow y=\frac{h}{z}\\ & \therefore x=\frac{K}{y}=\frac{K}{\frac{h}{z}}=\frac{K}{h}z\Rightarrow x\propto z,\frac{K\in R^{+}}{h}\in R^{+}\end{array}$

ثالثاً: التغير المشترك:

تعريف: إذا كانت x,y,z ثلاث متغيرات فإذا كان:

1. x تتغير طردياً تبع y وx فتكتب $x\propto y.z$ ومنها x=Kyz حيث $K\in {\mathrm{R}}^{+}$
2. x تغير طردياً تبع y وعكسياً تبع z فتكتب $x\propto \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}}$ ومنها $x=K\frac{y}{z}$ حيث $K\in {\mathrm{R}}^{+}$
3. x تغير عكسياً تبع y وطردياً تبع z فتكتب $x=\propto \frac{z}{y}$ ومنها $x=k\frac{z}{y}$ حيث $K\in {\mathrm{R}}^{+}$
4. x تتغير عكسياً تبع y وz تكتب $x\propto \frac{1}{yz}$ ومنها $x=\frac{k}{yz}$ حيث $K\in {\mathrm{R}}^{+}$ (K ثابت التغير).

(6)- إذا كانت y تتغير طردياً تبع x,z وكانت y=24 عندما z=4,x=3 جد قيمة x عندما y=30,z=15

$\begin{array}{rl}& \therefore y=Kzx\Rightarrow 24=K\left(3\right)\left(4\right)\\ & \therefore K=\frac{24}{12}=2 \mathrm{التغير} \mathrm{ثابت}\\ & \therefore y=2\times z\Rightarrow 30=2\times \left(15\right)\Rightarrow x=1\\ & X=\frac{y}{Kz}\end{array}$

(7)- إذا كان $a\propto b$ برهن على أن $a^2+b^2\propto ab$

$\therefore a\propto b\Rightarrow a=kb,K\in R^{+}$

ولإثبات أن $a^2+b^2\propto ab$ يجب أن نثبت $a^2+b^2=h\left(ab\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \therefore \frac{a^2+b^2}{ab}=h\frac{k^2{b}^2+b^2}{kb\times b}=\frac{b^2(K^2+1)}{K\cdot b^2}\\ & \therefore \frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{K^2+1}{K}=h\in R^{+} \left(\mathrm{ثابت}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore a^2+b^2=ab\\ & \therefore a^2+b^2\propto ab\end{array} \end{gathered}$$

(8)- إذا كانت y تتغير تغيراً عكسياً مشتركاً مع x,z فإذا كان 7=y عندما z=3 وx=1 جد ثابت التغير.

$\begin{array}{rl}& y\circ \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{z}\Rightarrow y=k\cdot \frac{1}{xz}\cdot K\in R^{+}\\ & 7=k\cdot \frac{1}{\left(1\right)\left(3\right)}\Rightarrow K=21 \left(\mathrm{ثابت}\right)\end{array}$

ملاحظة:

1. إذا لم يذكر نوع التغير فالمقصود في هذه الحالة هو التغير الطردي.
2. ويمكن استخدام التناسب في التغير المشترك.

• لا تتغير طردياً مع x,z $\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_1}{x_2}\cdot \frac{z_1}{z_2}$
• y تتغير طردياً مع z وعكسياً مع x $\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_2}{x_1}\cdot \frac{z_1}{z_2}$
• y تتغير طردياً مع x وعكسياً مع z $\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_1}{x_2}\cdot \frac{z_2}{z_1}$
• لا تتغير عكسياً مع x,y $\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_2}{x_1}\cdot \frac{z_2}{z_1}$