جد قيمة التكاملات الآتية:

${\int }_1^4(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})dx$

$$\begin{gathered} {\int }_1^4(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})dx \\ \begin{array}{rl}& ={\int }_1^4(x^{\frac{-1}{2}}+\frac{1}{x^2})dx={[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_1^4\\ & ={[2x^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}]}_1^4={[2\sqrt{x}+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}]}_1^4\\ & =(2\sqrt{4}+\frac{2}{3}\sqrt{(4{)}^3})-(2\sqrt{1}+\frac{2}{3}\sqrt{(1{)}^3}\\ & =(4+\frac{2}{3}(8\left)\right)-(2+\frac{2}{3})\\ & =(4+\frac{16}{3})-\left(\frac{6+12}{3}\right)\\ & =\left(\frac{12+16}{3}\right)-\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\end{array} \end{gathered}$$

التكامل المحدد

إذا كانت (f(x دالة مستمرة في الفترة [a,b] وكانت (F(x عكس مشتقة (f(x أي أن $\overline{F}\left(x\right)=f\left(x\right)$ فإن:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\left[F\right(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$

حيث a الحد الأسفل للتكامل وb الحد الأعلى للتكامل.

1- جد قيمة التكاملات الآتية:

- ${\int }_1^2(3x^2+2x-2)dx$

$$\begin{gathered} {\int }_1^2(3x^2+2x-2)dx \\ \begin{array}{rl}& ={[\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}-2x]}_1^2={[x^3+x^2-2x]}_1^2\\ & =(8+4-4)-(1+1-2)=8\end{array} \end{gathered}$$

- ${\int }_0^3\frac{2x}{\sqrt{x^2+16}}dx$

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^3\frac{2x}{{(x^2+16)}^{\frac{1}{2}}}dx\Rightarrow {\int }_0^3{(x^2+16)}^{-\frac{1}{2}}2xdx\\ & ={\left[\frac{{(x^2+16)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]}_0^3=2{\left[\sqrt{x^2+16}\right]}_0^3\\ & =[\sqrt{9+16}-\sqrt{0+16}]\\ & =2[5-4]=2\left(1\right)=2\end{array}$

- ${\int }_1^4(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})dx$

$$\begin{gathered} {\int }_1^4(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})dx \\ \begin{array}{rl}& ={\int }_1^4(x^{\frac{-1}{2}}+\frac{1}{x^2})dx={[\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_1^4\\ & ={[2x^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}]}_1^4={[2\sqrt{x}+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}]}_1^4\\ & =(2\sqrt{4}+\frac{2}{3}\sqrt{(4{)}^3})-(2\sqrt{1}+\frac{2}{3}\sqrt{(1{)}^3}\\ & =(4+\frac{2}{3}(8\left)\right)-(2+\frac{2}{3})\\ & =(4+\frac{16}{3})-\left(\frac{6+12}{3}\right)\\ & =\left(\frac{12+16}{3}\right)-\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة:

إذا كان الحد الأدنى أعلى يقلب التكامل ويسبق بإشارة سالبة ${\int }_b^{a}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

- ${\int }_4^{0}x(x-1)(x-2)dx$

null

- ${\int }_1^{125}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}}dx$

null

2- جد قيمة $a\in R$ إذا علمت أن ${\int }_0^a(2x-1)dx=42$

null

3- جد قيمة $a\in R$ إذا علمت أن ${\int }_a^2(3+2x)dx=6$

null