برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان بمستقيم فإنه ميله على أحدهما يساوي ميله على الآخر.

المعطيات:

$\left(\mathrm{X}\right)//\left(\mathrm{Y}\right)$

$\overleftrightarrow{AB}$ يقطع $\left(\mathrm{Y}\right),\left(\mathrm{X}\right)$ في النقطتين $C,B$ على الترتيب

المطلوب إثباته:

زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$

البرهان:

نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (في المستوى الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

$\left(\mathrm{Y}\right)//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی)

$\overline{AD}\perp \left(\mathrm{Y}\right)\therefore$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر)

$\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{AE}$ يعينان المستوي $Z$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحتويهما)

$\left(\mathrm{X}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{CD},\left(\mathrm{Y}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{EB}$ (يتقاطع المستويين بمستقيم)

$\overline{CD}//\overline{BE}$ (خطأ تقاطع مستويين متوازيين بمستو ثالث متوازيان)

$<)ACD$ هي زاوية ميل $AB$ على $X$ ، $<)ABE$ هي زاوية ميل $AB$ على $Y$

(زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي)

$m\times ABE=m\times ACD\therefore$ (بالتناظر)

زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$ (و . هـ . م)

تمارين (2-6)

تمارين (2-6)

1- برهن أن طول قطعة المستقيم الموازي لمستو معلوم يساوي طول مسقطه على المستوي المعلوم ويوازيه.

المعطيات:

$\overline{AB}//\left(\mathrm{X}\right)$، $\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(\mathrm{X}\right)$

المطلوب إثباته:

1. $\overline{AB}//\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}$

2. $AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$

البرهان:

$\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\because$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(\mathrm{X}\right)$ (معطی)

$\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}\perp \left(\mathrm{X}\right),\overline{B{B}^{\mathrm{\prime }}}\perp \left(\mathrm{X}\right)\therefore$ (حسب تعريف مسقط قطعة مستقيم)

$\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}//\overline{B{B}^{\mathrm{\prime }}}\therefore$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان)

لیكن $\left(Y\right)$ مستوي المستقيمين المتوازيين $A{A}^{\mathrm{\prime }},B{B}^{\mathrm{\prime }}$ (لكل مستقيمين متوازيين يوجد مستو وحيد يحتويهما)

$\overline{AB}//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی)

$\overline{AB}//\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}\therefore$ (مستقيم تقاطع مستويين يوازي كل مستقيم محتوى في أحدهما ويوازي الآخر) (و . هـ . م) (1)

الشكل $AB{B}^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}$ متوازي أضلاع (يكون الشكل الرباعي متوازي إذا كان فيه كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين)

$AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\therefore$ (متوازي الأضلاع يكون فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين) (و . هـ . م) (2)

2- برهن أنه إذا قطع مستويان متوازيان بمستقيم فإنه ميله على أحدهما يساوي ميله على الآخر.

المعطيات:

$\left(\mathrm{X}\right)//\left(\mathrm{Y}\right)$

$\overleftrightarrow{AB}$ يقطع $\left(\mathrm{Y}\right),\left(\mathrm{X}\right)$ في النقطتين $C,B$ على الترتيب

المطلوب إثباته:

زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$

البرهان:

نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (في المستوى الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

$\left(\mathrm{Y}\right)//\left(\mathrm{X}\right)\because$ (معطی)

$\overline{AD}\perp \left(\mathrm{Y}\right)\therefore$ (المستقيم العمودي على أحد مستويين متوازيين يكون عمودياً على الآخر)

$\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{AE}$ يعينان المستوي $Z$ (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحتويهما)

$\left(\mathrm{X}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{CD},\left(\mathrm{Y}\right)\cap \left(\mathrm{Z}\right)=\overleftrightarrow{EB}$ (يتقاطع المستويين بمستقيم)

$\overline{CD}//\overline{BE}$ (خطأ تقاطع مستويين متوازيين بمستو ثالث متوازيان)

$<)ACD$ هي زاوية ميل $AB$ على $X$، $<)ABE$ هي زاوية ميل $AB$ على $Y$

(زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي)

$m\times ABE=m\times ACD\therefore$ (بالتناظر)

زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(Y\right)$ (و . هـ . م)

3- يرهن على أن للمستقيمات المتوازية المائلة على مستو الميل نفسه.

المعطيات:

$\overline{AB}//\overline{CD}$ وكل منهما مائلان على $\left(X\right)$

المطلوب إثباته:

زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$ = زاوية ميل $\overleftrightarrow{CD}$ على $\left(X\right)$

البرهان:

نرسم$\begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{AE}\perp \left(\mathrm{X}\right)\begin{array}{rl},& \overleftrightarrow{CF}\perp \left(\mathrm{X}\right)\end{array}\end{array}$

(يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو من نقطة معلومة)

$\overleftrightarrow{EB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$

$\overleftrightarrow{FD}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{CD}$ على $\left(X\right)$

(تعريف مسقط قطعة مستقيم على المستوي)

$\mathrm{\Delta }\mathrm{△}AEB,CFD$ قائما الزاوية في $\mathrm{E},\mathrm{F}$ على الترتيب

(المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره)

$\overleftrightarrow{AE}//\overleftrightarrow{CF}\therefore$ (المستقيمان العموديان على مستو واحد متوازيان)

$\overleftrightarrow{AB}//\overleftrightarrow{CD}\because$ (معطى)

$m<)FCD=m<)EAB$ (إذا وازی ضلعا زاوية ضلعي زاوية أخرى تساوى قياسهما وتوازي مستويهما)

$m<)CFD=m<)AEB={90}^{\circ }\therefore$ (لأنه مثلث قائم الزاوية)

$m<)CDF=m<)ABE\therefore$ (مجموع قياسات زوايا المثلث = ${180}^{\circ }$) (و . هـ . م)

4- برهن على أنه إذا رسم مائلان مختلفان في الطول من نقطة لا تنتمي إلى مستو معلوم فإن أطولهما زاوية ميله على المستوي أصغر من زاوية ميل الآخر عليه.

المعطيات:

$A\notin \left(\mathrm{X}\right),AB>AC$

$AB,AC$ مائلان على $X$

المطلوب إثباته:

قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$

البرهان:

نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

نصل $\overleftrightarrow{DC},\overleftrightarrow{DB}$

$\overleftrightarrow{DB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$

$\overleftrightarrow{DC}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$

(مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستو هو قطعة المستقيم الواصلة بين أثري العمودين النازلين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة)

$<){\theta }_1\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$

$<){\theta }_2\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$

(زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي)

$AD\perp BD,AD\perp CD$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره)

$\mathrm{△}\mathrm{\Delta }ADB,ADC$ قائما الزاوية في $D$

$AB>AC\because$ (معطى)

$\frac{AB}{AD}>\frac{AC}{AD}\Rightarrow \frac{AD}{AB}<\frac{AD}{AC}$ (خواص التباين)

قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$ (و . هـ . م)

5- برهن على أنه إذا رسم مائلان من نقطة ما إلى مستو فأصغرهما ميلاً هو الأطول.

المعطيات:

$\overline{AB},\overline{AC}$ مائلان على $\left(X\right)$

قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$

المطلوب إثباته:

$AB>AC$

البرهان:

نرسم $\overline{AD}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

نصل $\overleftrightarrow{DC},\overleftrightarrow{DB}$

$\overleftrightarrow{DB}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$

$\overleftrightarrow{DC}\therefore$ مسقط $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$

(مسقط قطعة مستقيم غير عمودية على مستو هو قطعة المستقيم الواصلة بين أثري العمودين النازلين على المستوي من طرف القطعة المستقيمة)

$<){\theta }_1\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AB}$ على $\left(X\right)$

$<){\theta }_2\therefore$ هي زاوية ميل $\overleftrightarrow{AC}$ على $\left(X\right)$

(زاوية الميل هي الزاوية المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي)

$AD\perp BD,AD\perp CD$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره)

$△△ADB,ADC$ قائما الزاوية في $D$

قياس زاوية $B$ < قياس زاوية $C$ (معطى)

$\sin B<\sin C\Rightarrow <)B<<)C$

$\frac{AD}{AB}<\frac{AD}{AC}\Rightarrow \frac{AB}{AD}>\frac{AC}{AD}\Rightarrow AB>AC$ (خواص التباين) (و . هـ . م)

6- برهن أن زاوية الميل بين المستقيم ومسقطه على مستو أصغر من الزاوية المحصورة بين المستقيم نفسه وأي مستقيم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي.

المعطيات:

$\overline{AB}$ مائل على $\left(X\right)$، $\overline{BC}$ مسقط $\overline{AB}$ على $\left(X\right)$

$<)ABC,\overline{BC}\subset \left(X\right)$ محددة بـ $\overline{BC},\overline{AB}$

$<)ABD$ محددة بـ $\overline{BD},\overline{AB}$

المطلوب إثباته:

$m<)ABC<m<)ABD$

البرهان:

لتكن $\mathrm{E}\in \mathrm{BD}$ بحيث أن $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BE}}$، نصل $AE$

نرسم $\overline{AC}\perp \left(\mathrm{X}\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة)

$\overline{AC}\perp \overline{BC}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره)

$AC<AE$ (العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بين النقطة المعلومة وأي نقطة أخرى تقع ضمن ذلك المستوي)

$AB$ مشترك، $AE=BC$ (بالبرهان)

لتكن ${\theta }_2=ABE,{\theta }_1=ABC$

$m<)ABC<m<)ABE$ (إذا ساوى ضلعا مثلث ضلعي مثلث آخر واختلف الضلعان الآخران فأصغرهما يقابل أصغر الزاويتين) (و . هـ . م)