حلول الأسئلة

السؤال

جد التكامل لكل مما يأتي:

الحل

tan 6 x sec 2 x d x

tan 6 x sec 2 x d x = tan 7 x 7 + c tan x مشتقها sec 2 x

مشاركة الحل

التكامل غير المحدد

التكامل غير المحدد

إذا كانت للدالة f المستمرة على a,b دالة مقابلة F فإنه يوجد عدد لا نهائي من الدوال المقابلة للدالة f كل منها يساوي F+C حيث C يمثل عدد ثابت والفرق بين أكثر من اثنين منها يساوي عدد ثابت.

  • تسمى مجموعة الدوال المقابلة F+C بالتكامل غير المحدد للدالة f المستمرة على الفترة a,b ويرمز لها بالرمز f(x)dx اذا كان رمز المتغير x.
  • يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على صورة f(x)dx=F(x)+C , CR
  • عملية التكامل غير المحدد هو العملية المعاكسة لعملية التفاضل أي أحداهما تنهي دور الأخرى.

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

(3x2+2x+1)dx

(3x2+2x+1)dx=3x33+2x22+x+c=x3+x2+x+c

(cosx+x2)dx

(cosx+x2)dx=sinx+x11+c=sinxx1+c==sinx1x+c

(csc3xcot3x)dx

(csc3xcot3x)dx=133الزاوية مشتقة(csc3xcot3x)dx=csc3x3+c

(sinax+sec23x)dx

(sinax+sec23x)dx=1asinax(a)الزاوية مشتقةdx+13sec23x(a)الزاوية مشتقةdx=cosaxa+tan3x3+c

(x+secxtanx)dx

(x+secxtanx)dx=x22+secx+c

sin(2x+4)dx

sin(2x+4)dx=12sin(2x+4)(2)الزاوية مشتقةdx=12cos(2x+4)+c

نلاحظ أن كل قوس مرفوع إلى أس يجب إتباع ما يأتي:

  1. نرتب حدود القوس.
  2. يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة.
  3. عند التكامل نقوم بحذف المشتقة.

(2)- جد التكامل (x2+3)2(2x)dx

[f(x)]2f'(x)dx أن أي f'(x)=2x , f(x)=x2+3

(x2+3)2(2x)dx=[x2+3]33+c

المشتقة متوفرة إذن تكامل بصورة مباشرة.

ملاحظة:

sinxdx=cosx+c , cosxdx=sinx+c

(3)- جد التكامل (3x2+8x+5)6(3x+4)dx

=(3x2+8x+5)6(3x+4)2×نضربdx=122 على قسمة(3x2+8x+5)66x+8المشتقةdx=12(3x2+8x+5)77+c=114(3x2+8x+5)7+c

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

sin4xcosxdx

sin4xcosxdx=sin5x5+csinxمشتقهاcosx

tan6xsec2xdx

tan6xsec2xdx=tan7x7+ctanxمشتقهاsec2x

(5)- جد التكامل xx2+2dx

dxx23(1+x13)12=(1+x13)12x23]333على ونقسم نضرب=313x23القوس داخل مشتقة(1+x13)12=3(1+x13)1212+c=61+x3+c

في الدوال المثلثية علينا مراعاة ما يأتي:

  1. نرتب بحيث نضع الدالة المثلثية ثم المشتقة.
  2. يجب أن تكون المشتقة للدالة المثلثية موجودة.

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

x2sinx3dx

x2sinx3dx=sinx3x2dx=13sinx33x2الزاوية مشتقةdx=13cosx3+c

sinxcos5xdx

sinxcos5xdx=cos5xsinxdx=[cosx]5sinxdx]11=[cosx]5(sinx)dx=[cosx]66+c

dxcos2x1+tanx

dxcos2x1+tanx=(1+tanx)121cos2xdx=(1+tanx)12sec2xالدالة مشتقةdx=(1+tanx)1212+c=21+tanx+c

tanxsec4xdx

tanxsec4xdx=sec4xtanxdx=sec3xsenxtanxالدالة مشتقةdx=(secx)44+c

tan6xsec2xdx

tan6xsec2xdx=tan6xsec2xالدالة مشتقةdx=17tan7x+c

xx+3dx

xx+3dx=x+33(x+3)dx=((x+3)3)(x+3)12dx=(x+3)32dx3(x+3)12dx=(x+3)52523(x+3)3232+c

مشاركة الدرس

السؤال

جد التكامل لكل مما يأتي:

الحل

tan 6 x sec 2 x d x

tan 6 x sec 2 x d x = tan 7 x 7 + c tan x مشتقها sec 2 x

التكامل غير المحدد

التكامل غير المحدد

إذا كانت للدالة f المستمرة على a,b دالة مقابلة F فإنه يوجد عدد لا نهائي من الدوال المقابلة للدالة f كل منها يساوي F+C حيث C يمثل عدد ثابت والفرق بين أكثر من اثنين منها يساوي عدد ثابت.

  • تسمى مجموعة الدوال المقابلة F+C بالتكامل غير المحدد للدالة f المستمرة على الفترة a,b ويرمز لها بالرمز f(x)dx اذا كان رمز المتغير x.
  • يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على صورة f(x)dx=F(x)+C , CR
  • عملية التكامل غير المحدد هو العملية المعاكسة لعملية التفاضل أي أحداهما تنهي دور الأخرى.

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

(3x2+2x+1)dx

(3x2+2x+1)dx=3x33+2x22+x+c=x3+x2+x+c

(cosx+x2)dx

(cosx+x2)dx=sinx+x11+c=sinxx1+c==sinx1x+c

(csc3xcot3x)dx

(csc3xcot3x)dx=133الزاوية مشتقة(csc3xcot3x)dx=csc3x3+c

(sinax+sec23x)dx

(sinax+sec23x)dx=1asinax(a)الزاوية مشتقةdx+13sec23x(a)الزاوية مشتقةdx=cosaxa+tan3x3+c

(x+secxtanx)dx

(x+secxtanx)dx=x22+secx+c

sin(2x+4)dx

sin(2x+4)dx=12sin(2x+4)(2)الزاوية مشتقةdx=12cos(2x+4)+c

نلاحظ أن كل قوس مرفوع إلى أس يجب إتباع ما يأتي:

  1. نرتب حدود القوس.
  2. يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة.
  3. عند التكامل نقوم بحذف المشتقة.

(2)- جد التكامل (x2+3)2(2x)dx

[f(x)]2f'(x)dx أن أي f'(x)=2x , f(x)=x2+3

(x2+3)2(2x)dx=[x2+3]33+c

المشتقة متوفرة إذن تكامل بصورة مباشرة.

ملاحظة:

sinxdx=cosx+c , cosxdx=sinx+c

(3)- جد التكامل (3x2+8x+5)6(3x+4)dx

=(3x2+8x+5)6(3x+4)2×نضربdx=122 على قسمة(3x2+8x+5)66x+8المشتقةdx=12(3x2+8x+5)77+c=114(3x2+8x+5)7+c

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

sin4xcosxdx

sin4xcosxdx=sin5x5+csinxمشتقهاcosx

tan6xsec2xdx

tan6xsec2xdx=tan7x7+ctanxمشتقهاsec2x

(5)- جد التكامل xx2+2dx

dxx23(1+x13)12=(1+x13)12x23]333على ونقسم نضرب=313x23القوس داخل مشتقة(1+x13)12=3(1+x13)1212+c=61+x3+c

في الدوال المثلثية علينا مراعاة ما يأتي:

  1. نرتب بحيث نضع الدالة المثلثية ثم المشتقة.
  2. يجب أن تكون المشتقة للدالة المثلثية موجودة.

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

x2sinx3dx

x2sinx3dx=sinx3x2dx=13sinx33x2الزاوية مشتقةdx=13cosx3+c

sinxcos5xdx

sinxcos5xdx=cos5xsinxdx=[cosx]5sinxdx]11=[cosx]5(sinx)dx=[cosx]66+c

dxcos2x1+tanx

dxcos2x1+tanx=(1+tanx)121cos2xdx=(1+tanx)12sec2xالدالة مشتقةdx=(1+tanx)1212+c=21+tanx+c

tanxsec4xdx

tanxsec4xdx=sec4xtanxdx=sec3xsenxtanxالدالة مشتقةdx=(secx)44+c

tan6xsec2xdx

tan6xsec2xdx=tan6xsec2xالدالة مشتقةdx=17tan7x+c

xx+3dx

xx+3dx=x+33(x+3)dx=((x+3)3)(x+3)12dx=(x+3)32dx3(x+3)12dx=(x+3)52523(x+3)3232+c