حلول الأسئلة

السؤال

أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

الحل

$f (x) = \cos 2 x, f : R \to R$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} (\cos 2 x) 2 = \cos 2 x = f (x) \forall x \in R$

$F$ هي دالة مقابلة للدالة $f$

$\begin{aligned} ∵ \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \\ \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x = {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{2} \sin 2 \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \sin 2 (0) \\ = \frac{1}{2} \sin \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin 0 = \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

الجدول التالي يوضح العلاقة بين $f$ والدالة المقابلة لها $F$

الدالة المقابلة لها $F (x)$	الدالة $f (x)$
$a x$	$a$
$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{a x^{n + 1}}{n + 1}$	$a x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1}$	$[f (x)]^{n} \cdot f^{'} (x), n \neq - 1$
$\frac{- 1}{a} \cos (a x + b)$	$\sin (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sin (a x + b)$	$\cos (a x + b)$
$\frac{1}{a} \tan (a x + b)$	$\sec^{2} (a x + b)$
$\frac{- 1}{a} \cot (a x + b)$	$\csc^{2} (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sec a x$	$\sec a x \tan a x$
$\frac{- 1}{a} \csc a x$	$\csc a x \cot a x$

لذا نستنتج أن $\int f (x) d x = F (x) + c$ حيث أن $c$ ثابت حقيقي.

ملاحظة: أي نضيف إلى الأس واحد ونقسم على الأس الجديد $\int_{a}^{b} x^{n} d x = {[\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]}_{a}^{b}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[a, b]$ فإنه توجد دالة $F$ مستمرة على الفترة $[a, b]$ بحيث:

$\begin{aligned} F' (x) = f (x) \forall x \in (a, b) \\ \int_{a}^{b} f (x) = F (b) - F (a) \end{aligned}$

حيث تسمى $F$ الدالة المقابلة للدالة $f$ على الفترة $[a, b]$

ملاحظة: نشير إلى أن $[F (x)]_{1}^{2} = F (2) - F (1)$

(1)- إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي:

$F : [0, \frac{π}{2}] \to R, F (x) = \sin x$ فأوجد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) = [F (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} = F (\frac{π}{2}) - F (0) = \sin \frac{π}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

(2)- إذا كانت $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[1, 5]$ بحيث $F (x) = 3 x^{2}$ دالة مقابلة للدالة $f$ فجد قيمة $\int_{1}^{5} f (x) d x$ .

$\int_{1}^{5} f (x) = F (5) - F (1) = 3 (5)^{2} - 3 (1)^{2} = 75 - 3 = 72$

(3)- أثبت فيما إذا كانت $F : [1, 3] \to R, F (x) = x^{3} + 2$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x) = 3 x^{2}$ .

$F (x) = x^{3} + 2 ∵$ دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$ لأنها كثيرة حدود.

$F$ مستمرة على $[1, 3]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 3)$

$F (x) = 3 x^{2} = f (x) \forall x \in (1, 3)$

$F$ دالة مقابلة للدالة $f$ على $[1, 3]$

(4)- أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

$f (x) = \cos 2 x, f : R \to R$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} (\cos 2 x) 2 = \cos 2 x = f (x) \forall x \in R$

$F$ هي دالة مقابلة للدالة $f$

الجدول التالي يوضح العلاقة بين $f$ والدالة المقابلة لها $F$

الدالة المقابلة لها $F (x)$	الدالة $f (x)$
$a x$	$a$
$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{a x^{n + 1}}{n + 1}$	$a x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1}$	$[f (x)]^{n} \cdot f^{'} (x), n \neq - 1$
$\frac{- 1}{a} \cos (a x + b)$	$\sin (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sin (a x + b)$	$\cos (a x + b)$
$\frac{1}{a} \tan (a x + b)$	$\sec^{2} (a x + b)$
$\frac{- 1}{a} \cot (a x + b)$	$\csc^{2} (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sec a x$	$\sec a x \tan a x$
$\frac{- 1}{a} \csc a x$	$\csc a x \cot a x$

لذا نستنتج أن $\int f (x) d x = F (x) + c$ حيث أن $c$ ثابت حقيقي.

ملاحظة: أي نضيف إلى الأس واحد ونقسم على الأس الجديد $\int_{a}^{b} x^{n} d x = {[\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]}_{a}^{b}$

(5)- أوجد $\int_{1}^{3} x^{3} d x$

$\int_{1}^{3} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{1}^{3} = \frac{3^{4}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$

(6)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x d x = [\sec x]_{0}^{\frac{π}{3}} = \sec \frac{π}{3} - \sec 0 = \frac{1}{\cos \frac{π}{3}} - \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{(\frac{1}{2})} - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1$

(7)- أوجد $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x$

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x = [- \cot x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = - [\cot \frac{π}{2} - \cot \frac{π}{4}] = - [0 - 1] = 1$

(8)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x = [\tan x]_{0}^{\frac{π}{4}} = \tan \frac{π}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

(9)- أوجد $\int_{1}^{2} x^{2} d x$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{1}^{2} = [\frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{3}] = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

الحل

$f (x) = \cos 2 x, f : R \to R$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} (\cos 2 x) 2 = \cos 2 x = f (x) \forall x \in R$

$F$ هي دالة مقابلة للدالة $f$

الجدول التالي يوضح العلاقة بين $f$ والدالة المقابلة لها $F$

الدالة المقابلة لها $F (x)$	الدالة $f (x)$
$a x$	$a$
$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{a x^{n + 1}}{n + 1}$	$a x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1}$	$[f (x)]^{n} \cdot f^{'} (x), n \neq - 1$
$\frac{- 1}{a} \cos (a x + b)$	$\sin (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sin (a x + b)$	$\cos (a x + b)$
$\frac{1}{a} \tan (a x + b)$	$\sec^{2} (a x + b)$
$\frac{- 1}{a} \cot (a x + b)$	$\csc^{2} (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sec a x$	$\sec a x \tan a x$
$\frac{- 1}{a} \csc a x$	$\csc a x \cot a x$

لذا نستنتج أن $\int f (x) d x = F (x) + c$ حيث أن $c$ ثابت حقيقي.

ملاحظة: أي نضيف إلى الأس واحد ونقسم على الأس الجديد $\int_{a}^{b} x^{n} d x = {[\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]}_{a}^{b}$

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[a, b]$ فإنه توجد دالة $F$ مستمرة على الفترة $[a, b]$ بحيث:

$\begin{aligned} F' (x) = f (x) \forall x \in (a, b) \\ \int_{a}^{b} f (x) = F (b) - F (a) \end{aligned}$

حيث تسمى $F$ الدالة المقابلة للدالة $f$ على الفترة $[a, b]$

ملاحظة: نشير إلى أن $[F (x)]_{1}^{2} = F (2) - F (1)$

(1)- إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي:

$F : [0, \frac{π}{2}] \to R, F (x) = \sin x$ فأوجد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) = [F (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} = F (\frac{π}{2}) - F (0) = \sin \frac{π}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

(2)- إذا كانت $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[1, 5]$ بحيث $F (x) = 3 x^{2}$ دالة مقابلة للدالة $f$ فجد قيمة $\int_{1}^{5} f (x) d x$ .

$\int_{1}^{5} f (x) = F (5) - F (1) = 3 (5)^{2} - 3 (1)^{2} = 75 - 3 = 72$

(3)- أثبت فيما إذا كانت $F : [1, 3] \to R, F (x) = x^{3} + 2$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x) = 3 x^{2}$ .

$F (x) = x^{3} + 2 ∵$ دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$ لأنها كثيرة حدود.

$F$ مستمرة على $[1, 3]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 3)$

$F (x) = 3 x^{2} = f (x) \forall x \in (1, 3)$

$F$ دالة مقابلة للدالة $f$ على $[1, 3]$

(4)- أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

$f (x) = \cos 2 x, f : R \to R$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$

هي دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق على $R$

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} (\cos 2 x) 2 = \cos 2 x = f (x) \forall x \in R$

$F$ هي دالة مقابلة للدالة $f$

الجدول التالي يوضح العلاقة بين $f$ والدالة المقابلة لها $F$

الدالة المقابلة لها $F (x)$	الدالة $f (x)$
$a x$	$a$
$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{a x^{n + 1}}{n + 1}$	$a x^{n}, n \neq - 1$
$\frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1}$	$[f (x)]^{n} \cdot f^{'} (x), n \neq - 1$
$\frac{- 1}{a} \cos (a x + b)$	$\sin (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sin (a x + b)$	$\cos (a x + b)$
$\frac{1}{a} \tan (a x + b)$	$\sec^{2} (a x + b)$
$\frac{- 1}{a} \cot (a x + b)$	$\csc^{2} (a x + b)$
$\frac{1}{a} \sec a x$	$\sec a x \tan a x$
$\frac{- 1}{a} \csc a x$	$\csc a x \cot a x$

لذا نستنتج أن $\int f (x) d x = F (x) + c$ حيث أن $c$ ثابت حقيقي.

ملاحظة: أي نضيف إلى الأس واحد ونقسم على الأس الجديد $\int_{a}^{b} x^{n} d x = {[\frac{x^{n + 1}}{n + 1}]}_{a}^{b}$

(5)- أوجد $\int_{1}^{3} x^{3} d x$

$\int_{1}^{3} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{1}^{3} = \frac{3^{4}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$

(6)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x d x$

(7)- أوجد $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x$

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x = [- \cot x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = - [\cot \frac{π}{2} - \cot \frac{π}{4}] = - [0 - 1] = 1$

(8)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x = [\tan x]_{0}^{\frac{π}{4}} = \tan \frac{π}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

(9)- أوجد $\int_{1}^{2} x^{2} d x$

$\int_{1}^{2} x^{2} d x = {[\frac{x^{3}}{3}]}_{1}^{2} = [\frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{3}] = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

حلول الأسئلة

أثبت أن الدالة F : R → R , F ( x ) = 1 2 sin ⁡ 2 x هي دالة مقابلة للدالة f : R → R , f ( x ) = cos ⁡ 2 x ثم جد قيمة ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x d x .

مشاركة الحل

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

(1)- إذا كانت f دالة مستمرة على الفترة [0,π2] وإن الدالة المقابلة للدالة f هي:

F:[0,π2]→R , F(x)=sin⁡x فأوجد قيمة ∫0π2f(x)dx

(2)- إذا كانت f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,5] بحيث F(x)=3x2 دالة مقابلة للدالة f فجد قيمة ∫15f(x)dx.

(3)- أثبت فيما إذا كانت F:[1,3]→R , F(x)=x3+2 هي دالة مقابلة للدالة f(x)=3x2.

(4)- أثبت أن الدالة F:R→R , F(x)=12sin⁡2x هي دالة مقابلة للدالة f:R→R , f(x)=cos⁡2x ثم جد قيمة ∫0π4cos⁡2xdx.

(5)- أوجد ∫13x3dx

(6)- أوجد ∫0π3sec⁡xtan⁡xdx

(7)- أوجد ∫π4π2csc2⁡xdx

(8)- أوجد ∫0π4sec2⁡xdx

(9)- أوجد ∫12x2dx

مشاركة الدرس

أثبت أن الدالة F : R → R , F ( x ) = 1 2 sin ⁡ 2 x هي دالة مقابلة للدالة f : R → R , f ( x ) = cos ⁡ 2 x ثم جد قيمة ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x d x .

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

النظرية الأساسية للتكامل - الدالة المقابلة

(1)- إذا كانت f دالة مستمرة على الفترة [0,π2] وإن الدالة المقابلة للدالة f هي:

F:[0,π2]→R , F(x)=sin⁡x فأوجد قيمة ∫0π2f(x)dx

(2)- إذا كانت f(x) دالة مستمرة على الفترة [1,5] بحيث F(x)=3x2 دالة مقابلة للدالة f فجد قيمة ∫15f(x)dx.

(3)- أثبت فيما إذا كانت F:[1,3]→R , F(x)=x3+2 هي دالة مقابلة للدالة f(x)=3x2.

(4)- أثبت أن الدالة F:R→R , F(x)=12sin⁡2x هي دالة مقابلة للدالة f:R→R , f(x)=cos⁡2x ثم جد قيمة ∫0π4cos⁡2xdx.

(5)- أوجد ∫13x3dx

(6)- أوجد ∫0π3sec⁡xtan⁡xdx

(7)- أوجد ∫π4π2csc2⁡xdx

(8)- أوجد ∫0π4sec2⁡xdx

(9)- أوجد ∫12x2dx

أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

(1)- إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي:

$F : [0, \frac{π}{2}] \to R, F (x) = \sin x$ فأوجد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

(2)- إذا كانت $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[1, 5]$ بحيث $F (x) = 3 x^{2}$ دالة مقابلة للدالة $f$ فجد قيمة $\int_{1}^{5} f (x) d x$ .

(3)- أثبت فيما إذا كانت $F : [1, 3] \to R, F (x) = x^{3} + 2$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x) = 3 x^{2}$ .

(4)- أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

(5)- أوجد $\int_{1}^{3} x^{3} d x$

(6)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x d x$

(7)- أوجد $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x$

(8)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$

(9)- أوجد $\int_{1}^{2} x^{2} d x$

أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

(1)- إذا كانت $f$ دالة مستمرة على الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ وإن الدالة المقابلة للدالة $f$ هي:

$F : [0, \frac{π}{2}] \to R, F (x) = \sin x$ فأوجد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

(2)- إذا كانت $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[1, 5]$ بحيث $F (x) = 3 x^{2}$ دالة مقابلة للدالة $f$ فجد قيمة $\int_{1}^{5} f (x) d x$ .

(3)- أثبت فيما إذا كانت $F : [1, 3] \to R, F (x) = x^{3} + 2$ هي دالة مقابلة للدالة $f (x) = 3 x^{2}$ .

(4)- أثبت أن الدالة $F : R \to R, F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ هي دالة مقابلة للدالة $f : R \to R, f (x) = \cos 2 x$ ثم جد قيمة $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x$ .

(5)- أوجد $\int_{1}^{3} x^{3} d x$

(6)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x d x$

(7)- أوجد $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} x d x$

(8)- أوجد $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$

(9)- أوجد $\int_{1}^{2} x^{2} d x$