استخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة القيمة المتوسطة لإيجاد قيم $c$ للدالة.

أولاً:

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-2,2\right]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-2,2\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $f(-2) , f\left(2\right)$

$$\begin{gathered} f(-2)=(-2{)}^4-2(-2{)}^2=16-8=8 \\ \begin{array}{rl}& f\left(2\right)=(2{)}^4-2(2{)}^2=16-8=8 \left(f\left(2\right)=f(-2)\right)\\ & f\left(x\right)=x^4-2x^2\\ & f\left(x\right)=4x^3-4x\end{array} \end{gathered}$$

عندما تكون مبرهنة رول متحققة فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة لـ $c$ بحيث أن $f\left(c\right)=0$

ثانياً: الدالة ضمن الفترة المعطاة تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة.

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f\text{'}\left(c\right)\\ & \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{8-8)}{2-(-2)}=\frac{0}{4}=0 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\\ & f\left(x\right)=x^4-2x^2\\ & f\left(x\right)=4x^3-4x\\ & f\text{'}\left(c\right)=4c^3-4c \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر

$$\begin{gathered} 4c(c^2-1)=0 \\ \text{either}4c=0\Rightarrow c=0\in (-2,2) \\ \text{or}{c}^2-1=0\Rightarrow c^2=1\Rightarrow c=\pm 1\in (-2,2) \end{gathered}$$

التمارين العامة الخاصة بالفصل الثالث

التمارين العامة الخاصة بالفصل الثالث

(1)- جد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

$x^3{y}^2-2y=5x+3$

نشتق حاصل ضرب دالتين

$\begin{array}{rl}& x^3\cdot 2y\cdot \frac{dy}{dx}+y^2\cdot 3x^2-2\cdot \frac{dy}{dx}=5+0\\ & 2x^{3}y\cdot \frac{dy}{dx}-2\cdot \frac{dy}{dx}=5-3x^2{y}^2\\ & \frac{dy}{dx}(2x^{3}y-2)=5-3x^2{y}^2\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{5-3x^2{y}^2}{2x^{3}y-2}\end{array}$

$y=\sin 4x\tan 2x$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\sin 4x\cdot {\sec }^{2}2x\left(2\right)+\tan 2x\cdot \cos 4x\left(4\right)\\ & \frac{dy}{dx}=2\sin 4x\cdot {\sec }^{2}2x+4\tan 2x\cdot \cos 4x\end{array}$

$y=e^{x^2}\ln \left|2x\right|$

حاصل ضرب دالتين

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=e^{x^2}\left(\frac{1}{2x}\right)2+\ln \left|2x\right|\cdot e^{x^2}\cdot 2x\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}{e}^{x^2}+2x{e}^{x^2}\ln \left|2x\right|\end{array}$

$y=\tan (\cos x)$

هذه دالة واحدة فقط حيث أن $\cos x$ هي زاوية $\tan$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}={\sec }^2(\cos x)(-\sin x)\\ & \frac{dy}{dx}=-\sin x{\sec }^2(\cos x)\end{array}$

$y=x^2\ln \left|x\right|$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=x^2\cdot \frac{1}{x}+\ln \left|x\right|\cdot 2x\\ & \frac{dy}{dx}=x+2x\ln \left|x\right|\end{array}$

$y=\ln ({\tan }^{2}x)$

$\begin{array}{rl}& y=\ln (\tan x{)}^2\left(\ln x^n=n\ln x\right)\\ & y=2\ln (\tan x)\\ & \frac{dy}{dx}=2\frac{1}{\tan x}\cdot {\sec }^{2}x\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{2{\sec }^{2}x}{\tan x}\end{array}$

$y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot (e^x+e^{-x}\cdot (-1\left)\right)-(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x}\cdot (-1\left)\right)}{{(e^x-e^{-x})}^2}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot (e^x-e^{-x})-(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})}{{(e^x-e^{-x})}^2}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{{(e^x-e^{-x})}^2-{(e^x+e^{-x})}^2}{{(e^x-e^{-x})}^2} \left(\mathrm{الأقواس} \mathrm{نفتح}\right)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{(e^{2x}-2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x})-(e^{2x}+2e^x\cdot e^{-x}+e^{-2x})}{{(e^x-e^{-x})}^2}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}-e^{2x}-2-e^{-2x}}{{(e^x-e^{-x})}^2}=\frac{-4}{{(e^x-e^{-x})}^2}\end{array}$

$y=\cos \left(e^{\pi x}\right)$

$\frac{dy}{dx}=-\sin \left(e^{\pi x}\right)\underset{\mathrm{الزاوية} \mathrm{مشتقة}}{\underbrace{e^{\pi x}\cdot \pi }}$

2- استخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة القيمة المتوسطة لإيجاد قيم $c$ للدالة.

أولاً:

1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $\left[-2,2\right]$ لأنها كثيرة الحدود.
2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $\left(-2,2\right)$ لأنها كثيرة الحدود.
3. نجد $f(-2) , f\left(2\right)$

$$\begin{gathered} f(-2)=(-2{)}^4-2(-2{)}^2=16-8=8 \\ \begin{array}{rl}& f\left(2\right)=(2{)}^4-2(2{)}^2=16-8=8 \left(f\left(2\right)=f(-2)\right)\\ & f\left(x\right)=x^4-2x^2\\ & f\left(x\right)=4x^3-4x\end{array} \end{gathered}$$

عندما تكون مبرهنة رول متحققة فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة لـ $c$ بحيث أن $f\left(c\right)=0$

ثانياً: الدالة ضمن الفترة المعطاة تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة.

$\begin{array}{rl}& \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f\text{'}\left(c\right)\\ & \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{8-8)}{2-(-2)}=\frac{0}{4}=0 \left(\mathrm{الوتر} \mathrm{ميل}\right)\\ & f\left(x\right)=x^4-2x^2\\ & f\left(x\right)=4x^3-4x\\ & f\text{'}\left(c\right)=4c^3-4c \left(\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\end{array}$

ميل المماس = ميل الوتر

$$\begin{gathered} 4c(c^2-1)=0 \\ \text{either}4c=0\Rightarrow c=0\in (-2,2) \\ \text{or}{c}^2-1=0\Rightarrow c^2=1\Rightarrow c=\pm 1\in (-2,2) \end{gathered}$$

3- $f\left(x\right)=a{x}^2-4x+5$ دالة تحقق شروط مبرهنة رول على الفترة $\left[-1,b\right]$ فإذا كانت $c=2$ تنتمي الى الفترة $\left(-1,b\right)$ جد قيمة $a,b\in R$

الدالة $f$ تحقق شروط مبرهنة رول $f\left(a\right)=f\left(b\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^2-4x+5\\ & f(-1)=a(-1{)}^2-4(-1)+5\\ & f(-1)=a+9\\ & f\left(b\right)=a{b}^2-4b+5\\ & \because f(-1)=f\left(b\right)\\ & \therefore a+9=a{b}^2-4b+5\\ & \therefore a=a{b}^2-4b-4\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=a{x}^2-4x+5\\ & f\text{'}\left(x\right)=2ax-4\\ & f\text{'}\left(c\right)=2ac-4 \left(c=2 \mathrm{لدينا}\right)\\ & f\text{'}\left(c\right)=2a\left(2\right)-4=4a-4 \left(f\text{'}\left(c\right)=0\right)\end{array} \\ \therefore 4a-4=0\Rightarrow a=1 \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right) \\ \begin{array}{rl}& 1=\left(1\right)b^2-4b-4\\ & b^2-4b-5=0\\ & (b-5)(b+1)=0\\ & either b-5=0\Rightarrow b=5\\ & or b+1=0\Rightarrow b=-1 \left(\mathrm{تهمل}\right) (b>-1)\end{array} \end{gathered}$$

4- متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه ثلاث أمثال طول قاعدته، جد الحجم التقريبي له عندما يكون طول قاعدته $2.97cm$.

نفرض طول القاعدة = $x$

نفرض الارتفاع = $h$

$\therefore h=3x$

الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

$\begin{array}{rl}& V=x^2\cdot h\\ & V=x^2\cdot 3x\\ & f\left(x\right)=3x^3\end{array}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى $b=2.97 , a=3$

$\begin{array}{rl}& h=b-a=2.97-3=-0.03\\ & f\left(a\right)=3a^3\\ & f\left(a\right)=3.(3{)}^3=3.27=81\\ & f\left(x\right)=3x^3\\ & f\text{'}\left(x\right)=9x^2\\ & f\text{'}\left(3\right)=9\left(3^2\right)=81\\ & f(a+h)=f\left(a\right)+h.f\text{'}\left(a\right)\\ & f(3+(-0.03\left)\right)=f\left(3\right)+(-1)f\text{'}\left(3\right)\\ & f\left(2.97\right)=81+(-0.03)81=81-2.43=78.57{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

5- مخروط دائري قائم حجمه $210\pi {\mathrm{cm}}^3$ جد القيمة التقريبية لنصف قطر قاعدته إذا كان ارتفاعه $10cm$.

حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ × مساحة القاعدة × الارتفاع

$\begin{array}{rl}& V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h\\ & 210\pi =\frac{1}{3}{r}^2\pi \cdot 10\Rightarrow 210=\frac{r^2}{3}\left(10\right)\\ & r^2=\frac{210\left(3\right)}{10}\Rightarrow r^2=21\left(3\right)\Rightarrow \therefore r^2=63\Rightarrow r=\sqrt{63}\mathrm{cm} \left(\mathrm{القطر} \mathrm{نصف} \mathrm{طول}\right)\end{array}$

أصبح السؤال جد تقريباً مناسباً للمقدار $\sqrt{63}$

$\begin{array}{rl}& a=64 \left(\mathrm{نفرض}\right)\\ & b=63\\ & h=b-a=63-64=-1\\ & f\left(x\right)=\sqrt{x}\\ & f\left(a\right)=\sqrt{64}=8\\ & f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & f\left(a\right)=\frac{1}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{2\left(8\right)}=\frac{1}{16}=0.06\\ & f(a+h)=f\left(a\right)+h.f\text{'}\left(a\right) \left(\mathrm{التقريبية} \mathrm{القيمة}\right)\\ & f(64+(-1\left)\right)=8+-1.\left(0.06\right)=8-0.06=7.94\end{array}$

6- إذا كانت $f\left(x\right)=\sqrt[5]{31x+1}$ جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة القيمة التقريبية لـ $f(1.01)$.

$f\left(x\right)=\sqrt[5]{31x+1}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى $b=1.01 , a=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& h=b-a=1.01-1=0.01\\ & f\left(a\right)=f\left(1\right)=\sqrt[5]{31\left(1\right)+1}=\sqrt[5]{32}=2\\ & f\left(x\right)=(31x+1{)}^{\frac{1}{5}}\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{5}(31x+1{)}^{\frac{-4}{5}}(31)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& f\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{5}(31a+1{)}^{\frac{-4}{5}}(31)\Rightarrow f\text{'}(1)=\frac{1}{5}(31\left(1\right)+1{)}^{\frac{-4}{5}}\left(31\right)=\frac{31}{5}(32{)}^{\frac{-4}{5}}\\ & f\text{'}\left(a\right)=\frac{31}{5}{\left(2^5\right)}^{\frac{-4}{5}}=\frac{31}{5}{2}^{-4}=\frac{31}{5}\cdot \frac{1}{16}=\frac{31}{80}=0.3875\\ & f(a+h)=f\left(a\right)+h\cdot f\text{'}\left(a\right)\\ & f(1+0.01)=2+0.3875.\left(0.01\right)\\ & f\left(1.01\right)=2+0.003875=2.003875\end{array} \end{gathered}$$

7- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني البياني للدالة $y{x}^2=1$

الدالة $y{x}^2=1\Rightarrow y=\frac{1}{x^2}$

• أوسع مجال للدالة = $R\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$ $x^2=0\Rightarrow x=0$

• نقاط التقاطع مع المحورين.

$\begin{array}{rl}& x=0\Rightarrow y=\frac{1}{0} \left(\mathrm{معرفة} \mathrm{غير}\right)\\ & y=0\Rightarrow \frac{1}{x^2}=0\Rightarrow 1=0 \left(\mathrm{ممكن} \mathrm{غير}\right)\end{array}$

لا توجد نقاط تقاطع مع المحورين.

• التناظر:

الدالة غبر متناظرة مع نقطة الاصل لأن $f(-x)\ne -f\left(x\right)$

الدالة متناظرة مع محور الصادات لأن $f(-x)=f\left(x\right)$

• المحاذيات:

مستقيم محاذي عمودي $x^2=0\Rightarrow x=0$

مستقيم محاذي أفقي $y=\frac{0}{1}\Rightarrow y=0$

• مناطق التزايد والتناقص

$\begin{array}{rl}& y=\frac{1}{x^2}\Rightarrow y\text{'}=\frac{x^2\cdot 0-1\left(2x\right)}{x^4}\\ & y\text{'}=\frac{-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}\ne 0 \left(\mathrm{نهايات} \mathrm{توجد} \mathrm{لا}\right)\end{array}$

الدالة متناقصة في $\{x:x<0\}$

الدالة متزايدة في $\{x:x>0\}$

• مناطق التحدب والتقعر

$\begin{array}{rl}& y^{\mathrm{\prime }}=\frac{-2}{x^3}\\ & y^{\mathrm{\prime }}=\frac{x^3.0-(-2)\cdot 3x^2}{{\left(x^3\right)}^2}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\frac{6}{x^4}\ne 0\end{array}$

الدالة مقعرة في الفترتين $\{x:x>0\},\{x:x<0\}$

• الرسم البياني: