حلول الأسئلة

السؤال

خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فإذا كانت مساحة المعدن المستخدم في صناعته $108 m^{2}$ جد أبعاد الخزان لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن الخزان ذو غطاء كامل.

الحل

الفرضية:

نفرض عرض القاعدة = x
نفرض طول القاعدة (ضعف عرضها) = 2x
نفرض الارتفاع = y
نفرض حجم الخزان = V

الدالة: حجم الخزان.

العلاقة: مساحة المعدن = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$\begin{aligned} V = (2 x) (x) (y) = 2 x^{2} y \dots \dots \dots . (1) \\ 108 = \underset{القاعدة محيط}{\underset{⏟}{2 (2 x + x)}} y + 2 (2 x) (x) \\ 108 = 2 (3 x) y + 4 x^{2} (\div 2) \\ 54 = 3 x y + 2 x^{2} \\ 3 x y = 54 - 2 x^{2} \\ y = \frac{54 - 2 x^{2}}{3 x} . . . . . (2) ((1) في (2) معادلة نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} V = 2 x^{2} \frac{54 - 2 x^{2}}{3 x} = \frac{2}{3} (54 x - 2 x^{3}) \\ V^{'} = \frac{2}{3} (54 - 6 x^{2}) (V^{'} = 0) \\ \frac{2}{3} (54 - 6 x^{2}) = 0 \overset{\frac{3}{2}}{\Rightarrow} 54 - 6 x^{2} = 0 (\div 6) \end{aligned} \begin{aligned} 9 - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3 m (القاعدة عرض) \\ 2 (3) = 6 m (القاعدة طول) \\ y = \frac{54 - 2 (9)}{3 (3)} = \frac{36}{9} = 4 m (الارتفاع) \end{aligned}$

الشكل

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (6-3)

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما $75$ وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

الفرضية:

نفرض العدد الأول = $x$
نفرض العدد الثاني = $y$

الدالة: $L$ = حاصل ضرب العدد الأول × مربع العدد الثاني

العلاقة: مجموع العددين $x + y = 75$

$\begin{aligned} L = x \cdot y^{2} \dots \dots (1) \\ x + y = 75 \\ x = 75 - y \dots \dots (2) \\ L = (75 - y) \cdot y^{2} \\ L = 75 y^{2} - y^{3} \\ L^{'} = 150 y - 3 y^{2} (L^{'} = 0) \\ e i t h e r y = 0 (نجعل) \\ o r 50 - y = 0 \Rightarrow y = 50 (الثاني العدد) ((2) معادلة في نعوض) \\ x = 75 - 50 = 25 (الأول العدد) \end{aligned}$

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها $4 \sqrt{3} cm$ .

الفرضية:

نفرض الارتفاع = $2 h$
نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
نفرض الحجم = $v$

الدالة: قانون حجم الأسطوانة (هي التي تقوم باشتقاقها).

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $A B C$

$\begin{aligned} V = r^{2} π .2 h \dots \dots (1) \\ \begin{aligned} h^{2} + r^{2} = (4 \sqrt{3})^{2} \\ h^{2} + r^{2} = 48 \\ r^{2} = 48 - h^{2} \dots \dots (2) ((1) في (2) معادلة نعوض) \\ V = 2 π (48 - h^{2}) h \end{aligned} \\ \begin{array}{ll} V = 2 π (48 L - h^{3}) \\ V' = 2 π (48 - 3 h^{2}) & (V' = 0) \\ [2 π (48 - 3 h^{2}) = 0] & (\div 2 π) \end{array} \\ [48 - 3 h^{2} = 0] \div 3 \Rightarrow 16 - h^{2} = 0 \Rightarrow h^{2} = 16 \\ either h = - 4 (تهمل) \\ or h = 4 ((2) في نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} r^{2} = 48 - h^{2} = 48 - 16 \Rightarrow r^{2} = 32 \Rightarrow r = 4 \sqrt{2} (الاسطوانة قطر نصف) \\ 2 h = 2 (4) = 8 cm (الاسطوانة ارتفاع) \end{aligned}$

الشكل

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها $4 \sqrt{2} cm$ .

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $2 x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها).

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $A B C$

$\begin{aligned} A = 2 x \cdot y . . . . (1) \\ x^{2} + y^{2} = (4 \sqrt{2})^{2} \\ x^{2} + y^{2} = 32 \\ y^{2} = 32 - x^{2} \\ y = \sqrt{32 - x^{2}} \dots \dots (2) ((1) في (2) نعوض) \\ A = 2 x \sqrt{(32 - x^{2})} \\ A = 2 \sqrt{32 x^{2} - x^{4}} \\ A' = \frac{(2) [64 x - 4 x^{3}]}{2 \sqrt{32 x^{2} - x^{4}}} \Rightarrow A' = \frac{[64 x - 4 x^{3}]}{\sqrt{32 x^{2} - x^{4}}} (A' = 0) \\ \frac{[64 x - 4 x^{3}]}{\sqrt{32 x^{2} - x^{4}}} = 0 \Rightarrow [64 x - 4 x^{3} = 0] (\div 4) \Rightarrow x (16 - x^{2}) = 0 \\ e i t h e r x = 0 (تهمل) \\ o r 16 - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \\ e i t h e r x = - 4 (تهمل) \begin{array}{l} \end{array} \\ o r x = 4 \\ 2 x = 2 (4) = 8 cm (المستطيل طول) ((2) في نعوض) \\ y = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4 cm (المستطيل عرض) \end{aligned}$

الشكل

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = $8 \sqrt{2 c m}$ .

الفرضية:

نفرض ارتفاع المثلث = $h$
نفرض طول ضلع المثلث = $2 L$
نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث (هي التي نقوم باشتقاقها).

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس.

$\begin{aligned} A = \frac{1}{2} \cdot 2 L \cdot h \\ A = L . h . . . . (1) \\ h^{2} + L^{2} = (8 \sqrt{2})^{2} \\ h^{2} + L^{2} = 128 \\ h^{2} = 128 - L^{2} \\ h = \sqrt{128 - L^{2}} \dots \dots (2) ((1) في (2) نعوض) \\ A = L \cdot \sqrt{128 - L^{2}} \\ A = \sqrt{128 L^{2} - L^{4}} \\ A' = \frac{256 L - 4 L^{3}}{2 \sqrt{128 L^{2} - L^{4}}} (A' = 0) \\ 256 L - 4 L^{3} \\ \frac{2 \sqrt{128 L^{2} - L^{4}}}{} = 0 \\ [256 L - 4 L^{3} = 0] (\div 4) \\ L (64 - L^{2}) = 0 \\ e i t h e r L = 0 (تهمل) \\ o r L^{2} = 64 \Rightarrow L = \pm 8 \\ L = - 8 \Rightarrow (تهمل) \Rightarrow L = 8 ((2) في نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} 2 L = 2 (8) = 16 cm (المثلث ضلع طول) \\ h = \sqrt{128 - 64} = \sqrt{64} = 8 cm (الارتفاع) \\ A = L h = (8) 8 = 64 {cm}^{2} \end{aligned}$

الشكل

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته $16 {cm}^{2}$ .

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$
نفرض محيط المستطيل = $P$

الدالة: هي محيط المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها) محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).

العلاقة: مساحة المستطيل.

$\begin{aligned} P = 2 (x + y) \dots \dots \dots \dots (1) \\ A = x y \Rightarrow 16 = x y \Rightarrow y = \frac{16}{x} \dots \dots \dots \dots (2) ((1) في (2) نعوض) \\ P = 2 (x + \frac{16}{x}) \\ P = 2 (x + 16 x^{- 1}) \\ P = 2 x + 32 x^{- 1} \\ P^{'} = 2 - 32 x^{- 2} (p^{'} = 0) \\ [2 - 32 x^{- 2} = 0] (\div 2) \\ 1 - 16 x^{- 2} = 0 \Rightarrow 1 - \frac{16}{x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{16}{x^{2}} = 1 \Rightarrow x^{2} = 16 \\ x = \pm 4 \Rightarrow x = - 4 (تهمل) \\ x = 4 ((1) في نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} y = \frac{16}{4} = 4 \\ P = 2 (4 + 4) = 16 cm \end{aligned}$

الشكل

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها $3 c m$ .

الفرضية:

نفرض نصف قطر المخروط = $r$
نفرض ارتفاع المخروط = $h$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية $A B C$

$\begin{aligned} V = \frac{1}{3} π r^{2} h \dots \dots \dots \dots (1) \\ r^{2} + (h - 3)^{2} = (3)^{2} \\ r^{2} + h^{2} - 6 h + 9 = 9 \\ r^{2} = 6 h - h^{2} \dots \dots \dots (2) \\ V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (6 h - h^{2}) h = \frac{π}{3} (6 h^{2} - h^{3}) \end{aligned} \begin{aligned} V^{'} = \frac{π}{3} (12 h - 3 h^{2}) (V^{'} = 0) \\ [\frac{π}{3} (12 h - 3 h^{2}) = 0] (\times 3) \\ 12 h π - 3 h^{2} π = 0 (\div 3 π) \\ 4 h - h^{2} = 0 \Rightarrow h (4 - h) = 0 \\ e i t h e r h = 0 (تهمل) \\ o r 4 - h = 0 \Rightarrow h = 4 (الارتفاع) ((2) معادلة في نعوض) \\ r^{2} = 6 (4) - (4)^{2} = 24 - 16 = 8 \end{aligned} \begin{aligned} r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} (القطر نصف) \\ V = \frac{1}{3} π (8) (4) = \frac{32}{3} π {cm}^{3} \end{aligned}$

الشكل

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة $B (6, 8)$ والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

الفرضية:

نقرض النقطة $(x, 0)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.
نفرض النقطة $(0, y)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.
نفرض أبعاد المثلث = $x, y$
نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث.

العلاقة: قانون الميل (ميل $\bar{A C}$ = میل $\bar{B C}$ )

النقطة $B (6, 8)$ تنتمي للمستقيم $\bar{A C}$

$A = \frac{1}{2} x \cdot y m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \Rightarrow (\frac{y - 8}{0 - 6} = \frac{8 - 0}{6 - x}) (وسطين في طرفين) \begin{aligned} (y - 8) (6 - x) = - 48 \Rightarrow 6 y - x y - 48 + 8 x = - 48 \\ 6 y - x y + 8 x = 0 \end{aligned} \begin{aligned} y (6 - x) = - 8 x \Rightarrow y = \frac{- 8 x}{6 - x} \dots \dots \dots \dots \dots (2) ((1) في نعوض) \\ A = \frac{1}{2} x \cdot y = \frac{1}{2} x \frac{- 8 x}{6 - x} = \frac{- 4 x^{2}}{6 - x} \dots \dots \dots (3) (نشتق) \end{aligned} \begin{aligned} A^{'} = \frac{(6 - x) (- 8 x) - (- 4 x^{2}) (- 1)}{(6 - x)^{2}} = \frac{- 48 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{(6 - x)^{2}} \\ A^{'} = \frac{- 48 x + 4 x^{2}}{(6 - x)^{2}} (A^{'} = 0) \\ \frac{4 x^{2} - 48 x}{(6 - x)^{2}} = 0 \Rightarrow [4 x^{2} - 48 x = 0] (\div 4) \\ x^{2} - 12 x = 0 \Rightarrow x (x - 12) = 0 \\ either x = 0 (تهمل) \\ or x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12 \\ y = \frac{- 8 (12)}{6 - 12} = \frac{- 8 (12)}{- 6} = 16 \end{aligned}$

$(12, 0)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.

$(0, 16)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.

$\begin{aligned} m \bar{B C} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{8 - 0}{6 - 12} = \frac{8}{- 6} = \frac{- 4}{3} \\ (y - y_{1}) = m (x - x_{1}) \\ (y - 8) = \frac{- 4}{3} (x - 6) \overset{\times 3}{\Rightarrow} 3 y - 24 = - 4 (x - 6) \\ 3 y - 24 = - 4 x + 24 \\ 4 x + 3 y - 48 = 0 \end{aligned}$

الشكل

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة $f (x) = 12 - x^{2}$ ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $2 x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل

مساحة المستطيل = الطول × العرض

العلاقة: المعادلة $y = 12 - x^{2}$

$\begin{aligned} A = 2 x . y \dots \dots \dots (1) \\ y = 12 - x^{2} \dots \dots \dots (2) ((1) في (2) نعوض) \\ A = 2 x (12 - x^{2}) \\ A = 24 x - 2 x^{3} \\ A^{'} = 24 - 6 x^{2} (A^{'} = 0) \\ 24 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow 6 x^{2} = 0) \\ x = \mp 2 \Rightarrow x = - 2 (تهمل), x = 2 \end{aligned} \begin{aligned} 2 x = 4 cm (الطول) \\ y = 12 - x^{2} \Rightarrow y = 12 - (2)^{2} = 12 - 4 = 8 \\ P = 2 (2 x + y) \\ P = 4 x + 2 y = 4 (2) + 2 (8) = 8 + 16 = 24 cm \end{aligned}$

الشكل

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $(8 cm)$ وطول قطر قاعدته $(12 cm)$ .

الفرضية:

نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
نفرض نصف قطر قاعدتها = $r$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

العلاقة: تشابه المثلثان $(A D E, A B C)$

$\begin{aligned} V = r^{2} π h \dots \dots \dots (1) \\ \frac{8}{8 - h} = \frac{6}{r} \\ 8 r = 6 (8 - h) \\ 8 r = 48 - 6 h (\div 2) \\ 4 r = 24 - 3 h \\ 3 h = 24 - 4 r \\ h = \frac{24 - 4 r}{3} \dots \dots \dots (2) ((1) في نعوض) \\ V = r^{2} π h = r^{2} π (\frac{24 - 4 r}{3}) \\ V = \frac{π}{3} (24 r^{2} - 4 r^{3}) \\ V^{'} = \frac{π}{3} (48 r - 12 r^{2}) (V^{'} = 0) \\ \frac{π}{3} (48 r - 12 r^{2}) = 0 \end{aligned} \begin{aligned} [16 π r - 4 π r^{2} = 0] (\div 4 π) \\ 4 r - r^{2} = 0 \\ r (4 - r) = 0 \\ either r = 0 (يهمل) \\ or 4 - r = 0 \Rightarrow r = 4 c m \\ h = \frac{24 - 4 (4)}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3} \end{aligned}$

الشكل

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره $6 \sqrt{3} cm$ دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

الفرضية:

نفرض ارتفاع المخروط = $h$
نفرض نصف قطر قاعدته = $r$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.

$\begin{aligned} V = \frac{1}{3} r^{2} π h . . . . . (1) \\ h^{2} + r^{2} = (6 \sqrt{3})^{2} \\ r^{2} = 108 - h^{2} \dots \dots \dots (2) ((1) في (2) نعوض) \\ V = \frac{1}{3} (108 - h^{2}) π h \\ V = \frac{π}{3} (108 h - h^{3}) \\ V^{'} = \frac{π}{3} (108 - 3 h^{2}) (V^{'} = 0) \\ 36 π - h^{2} π = 0 \overset{∙ π}{\Rightarrow} 36 - h^{2} = 0 \Rightarrow h^{2} = 36 \Rightarrow h = \pm 6 \\ either h = - 6 (يهمل) \\ or h = 6 ((2) في نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} r^{2} = 108 - 6^{2} = 108 - 36 = 72 \\ r = \sqrt{72} c m \\ V = \frac{π}{3} r^{2} h = \frac{π}{3} (72) (6) = \frac{72 \times 6 π}{3} = 144 π {cm}^{3} (للمخروط حجم أكبر) \end{aligned}$

الشكل

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها $(125 π) {cm}^{3}$ جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

الفرضية:

نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
نفرض المساحة الكلية بدون غطاء = $A$
نفرض حجم الاسطوانة = $v$

الدالة: قانون المساحة المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة قاعدة واحدة.

العلاقة: قانون حجم الاسطوانة الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

$\begin{aligned} A = 2 r π h + r^{2} π \dots \dots \dots \dots (1) \\ v = r^{2} π h \Rightarrow 125 π = r^{2} π h \\ h = \frac{125}{r^{2}} . . . . . (2) \\ A = 2 r π h + r^{2} π \\ A = 2 r π (\frac{125}{r^{2}}) + r^{2} π \\ A = 250 π r^{- 1} + r^{2} π \\ A^{'} = - 250 π r^{- 2} + 2 r π (A^{'} = 0) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{- 250 π}{r^{2}} + 2 r π = 0 \overset{(\div 2 π)}{⟹} \frac{- 125}{r^{2}} + r = 0 \Rightarrow \frac{125}{r^{2}} = r \\ r^{3} = 125 \Rightarrow r = 5 cm ((2) في نعوض) \\ h = \frac{125}{25} = 5 cm \end{aligned}$

الشكل

(12)- خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فإذا كانت مساحة المعدن المستخدم في صناعته $108 m^{2}$ جد أبعاد الخزان لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن الخزان ذو غطاء كامل.

الفرضية:

نفرض عرض القاعدة = x
نفرض طول القاعدة (ضعف عرضها) = 2x
نفرض الارتفاع = y
نفرض حجم الخزان = V

الدالة: حجم الخزان.

العلاقة: مساحة المعدن = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

الشكل

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فإذا كانت مساحة المعدن المستخدم في صناعته $108 m^{2}$ جد أبعاد الخزان لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن الخزان ذو غطاء كامل.

الحل

الفرضية:

نفرض عرض القاعدة = x
نفرض طول القاعدة (ضعف عرضها) = 2x
نفرض الارتفاع = y
نفرض حجم الخزان = V

الدالة: حجم الخزان.

العلاقة: مساحة المعدن = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

الشكل

تمارين (6-3)

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما $75$ وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

الفرضية:

نفرض العدد الأول = $x$
نفرض العدد الثاني = $y$

الدالة: $L$ = حاصل ضرب العدد الأول × مربع العدد الثاني

العلاقة: مجموع العددين $x + y = 75$

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها $4 \sqrt{3} cm$ .

الفرضية:

نفرض الارتفاع = $2 h$
نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
نفرض الحجم = $v$

الدالة: قانون حجم الأسطوانة (هي التي تقوم باشتقاقها).

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $A B C$

الشكل

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها $4 \sqrt{2} cm$ .

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $2 x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها).

العلاقة: نظرية فيثاغورس على المثلث القائم $A B C$

الشكل

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = $8 \sqrt{2 c m}$ .

الفرضية:

نفرض ارتفاع المثلث = $h$
نفرض طول ضلع المثلث = $2 L$
نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث (هي التي نقوم باشتقاقها).

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس.

الشكل

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته $16 {cm}^{2}$ .

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$
نفرض محيط المستطيل = $P$

الدالة: هي محيط المستطيل (هي التي تقوم باشتقاقها) محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).

العلاقة: مساحة المستطيل.

الشكل

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها $3 c m$ .

الفرضية:

نفرض نصف قطر المخروط = $r$
نفرض ارتفاع المخروط = $h$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية $A B C$

الشكل

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة $B (6, 8)$ والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

الفرضية:

نقرض النقطة $(x, 0)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.
نفرض النقطة $(0, y)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.
نفرض أبعاد المثلث = $x, y$
نفرض مساحة المثلث = $A$

الدالة: قانون مساحة المثلث.

العلاقة: قانون الميل (ميل $\bar{A C}$ = میل $\bar{B C}$ )

النقطة $B (6, 8)$ تنتمي للمستقيم $\bar{A C}$

$(12, 0)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور السيني.

$(0, 16)$ نقطة تقاطع المستقيم مع المحور الصادي.

الشكل

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة $f (x) = 12 - x^{2}$ ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

الفرضية:

نفرض طول المستطيل = $2 x$
نفرض عرض المستطيل = $y$
نفرض مساحة المستطيل = $A$

الدالة: قانون مساحة المستطيل

مساحة المستطيل = الطول × العرض

العلاقة: المعادلة $y = 12 - x^{2}$

الشكل

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $(8 cm)$ وطول قطر قاعدته $(12 cm)$ .

الفرضية:

نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
نفرض نصف قطر قاعدتها = $r$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

العلاقة: تشابه المثلثان $(A D E, A B C)$

الشكل

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره $6 \sqrt{3} cm$ دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

الفرضية:

نفرض ارتفاع المخروط = $h$
نفرض نصف قطر قاعدته = $r$
نفرض حجم المخروط = $V$

الدالة: قانون حجم المخروط.

العلاقة: مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.

الشكل

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها $(125 π) {cm}^{3}$ جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

الفرضية:

نفرض ارتفاع الاسطوانة = $h$
نفرض نصف قطر الاسطوانة = $r$
نفرض المساحة الكلية بدون غطاء = $A$
نفرض حجم الاسطوانة = $v$

الدالة: قانون المساحة المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة قاعدة واحدة.

العلاقة: قانون حجم الاسطوانة الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

الشكل

(12)- خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فإذا كانت مساحة المعدن المستخدم في صناعته $108 m^{2}$ جد أبعاد الخزان لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن الخزان ذو غطاء كامل.

الفرضية:

نفرض عرض القاعدة = x
نفرض طول القاعدة (ضعف عرضها) = 2x
نفرض الارتفاع = y
نفرض حجم الخزان = V

الدالة: حجم الخزان.

العلاقة: مساحة المعدن = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

الشكل

حلول الأسئلة

مشاركة الحل

تمارين (6-3)

تمارين (6-3)

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما 75 وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها 43cm.

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها 42cm.

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = 82cm.

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته 16cm2.

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها 3cm.

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة B(6,8) والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة f(x)=12−x2 ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه (8cm) وطول قطر قاعدته (12cm).

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره 63cm دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها (125π)cm3 جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

مشاركة الدرس

تمارين (6-3)

تمارين (6-3)

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما 75 وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها 43cm.

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها 42cm.

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = 82cm.

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته 16cm2.

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها 3cm.

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة B(6,8) والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة f(x)=12−x2 ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه (8cm) وطول قطر قاعدته (12cm).

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره 63cm دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها (125π)cm3 جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما $75$ وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها $4 \sqrt{3} cm$ .

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها $4 \sqrt{2} cm$ .

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = $8 \sqrt{2 c m}$ .

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته $16 {cm}^{2}$ .

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها $3 c m$ .

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة $B (6, 8)$ والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة $f (x) = 12 - x^{2}$ ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $(8 cm)$ وطول قطر قاعدته $(12 cm)$ .

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره $6 \sqrt{3} cm$ دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها $(125 π) {cm}^{3}$ جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.

(1)- جد عددين موجبين مجموعهما $75$ وحاصل ضرب أحدهما في مربع الآخر أكبر ما يمكن.

(2)- جد ارتفاع أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها $4 \sqrt{3} cm$ .

(3)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة قطرها $4 \sqrt{2} cm$ .

(4)- جد أبعاد أكبر مساحة المثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه = $8 \sqrt{2 c m}$ .

(5)- جد أقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته $16 {cm}^{2}$ .

(6)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها $3 c m$ .

(7)- جد معادلة المستقيم الذي يمر من النقطة $B (6, 8)$ والذي يصنع مع المحوريين في الربع الأول أصغر مثلث.

(8)- جد بعدي أكبر مستطيل يوضع داخل المنطقة المحددة $f (x) = 12 - x^{2}$ ومحور السينات، رأسان من رؤوسه على المنحني والرأسان الآخران على محور السينات، ثم جد محيطه.

(9)- جد أبعاد أكبر أسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه $(8 cm)$ وطول قطر قاعدته $(12 cm)$ .

(10)- جد حجم أكبر مخروط دائري قائم ناتج منه دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره $6 \sqrt{3} cm$ دوران دورة كاملة حول أحد ضلعيه القائمين.

(11)- علبة أسطوانية الشكل مفتوحة من الأعلى سعتها $(125 π) {cm}^{3}$ جد أبعادها عندما تكون مساحة المعدن المستخدم في صناعتها أقل ما يمكن.