حلول الأسئلة

السؤال

جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

الحل

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 > 0 \end{aligned}$

الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

من الممكن استخدام الطريقة الآتية لمعرفة نوع النقطة الحرجة (عظمى أو صغرى).

نجد $f' (x), f'' (x)$
نجد قيم $x$ التي تجعل $f' (x) = 0$ ونعوضها في $f'' (x)$ فإذا كانت الإشارة بعد التعويض:

موجبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية صغرى محلية.
سالبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية عظمى محلية.
تساوي صفراً فإن هذه الطريقة فاشلة في معرفة نوع النقطة الحرجة، ويعاد الاختبار بواسطة الطريقة السابقة عن طريق المشتقة الأولى.

(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

$f (x) = 6 x - 3 x^{2} - 1$

$\begin{aligned} f' (x) = 6 - 6 x (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 - 6 x = 0 \Rightarrow 6 = 6 x \Rightarrow x = 1 \\ f'' (x) = - 6 < 0 \end{aligned}$

توجد نهاية نقطة عظمى محلية عند $x = 1$

$f (1) = 6 (1) - 3 (1)^{2} - 1 = 2$

$(1, 2) ∴$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f (x) = x - \frac{4}{x^{2}}, x \neq 0$

$\begin{aligned} f (x) = x - 4 x^{- 2} \\ f' (x) = 1 + 8 x^{- 3} \\ f' (x) = 1 + \frac{8}{x^{3}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ [1 + \frac{8}{x^{3}} = 0] \times x^{3} \Rightarrow x^{3} + 8 = 0 \Rightarrow x^{3} = - 8 \Rightarrow x = - 2 \\ f' (x) = 1 + 8 x^{- 3} \\ f'' (x) = - 24 x^{- 4} \Rightarrow \hat{f} (x) = \frac{- 24}{x^{4}} \\ f'' (- 2) = \frac{- 24}{(- 2)^{4}} = \frac{- 24}{16} = \frac{- 3}{2} < 0 \\ f (- 2) = - 2 - \frac{4}{(- 2)^{2}} = - 2 - 1 = - 3 \end{aligned}$

$(- 2, - 3) ∴$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 (f' (x) = 0 (نجعل)) \begin{aligned} [3 x^{2} - 6 x - 9 = 0] \div 3 \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, x = - 1 \\ f'' (x) = 6 x - 6 \end{aligned}$

عندما $x = - 1$

فإن $f'' (- 1) = - 12 < 0, f' (- 1) = 0$

توجد نهاية عظمى محلية عند $(x = - 1)$

النهاية العظمى المحلية هي $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) = - 1 - 3 + 9 = 5$

عندما $x = 3$

فإن $f'' (3) = 12 > 0, f^{'} (3) = 0$

توجد نهاية صغرى محلية عند $(x = 3)$

النهاية الصغرى المحلية هي $f (3) = (3)^{3} - 3 (3)^{2} - 9 (3) = 27 - 27 - 27 = - 27$

$f (x) = 4 - (x + 1)^{4}$

$\begin{aligned} f' (x) = - 4 (x + 1)^{3} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ - 4 (x + 1)^{3} = 0 \Rightarrow (x + 1)^{3} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, f' (- 1) = 0 \\ f'' (x) = - 12 (x + 1)^{2} \Rightarrow (x + 1)^{2} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, f'' (- 1) = 0 \end{aligned}$

$f'' (- 1) = 0$ هذه الطريقة لا تصح لذا نعود إلى ملاحظة تغير إشارة $f'$ بجوار $(x = - 1)$

الشكل

$f$ متزايدة في ${x : x < 0}$
$f$ متناقصة في ${x : x > - 1}$

توجد نهاية صغرى محلية وهي $f (- 1) = 4 - (- 1 + 1)^{4} = 4$

ملاحظة: في حالة عدم إمكانية مساواة المشتقة الثانية بالصفر نثبت على خط الأعداد الحقيقة القيمة التي تجعل المقام يساوي صفر.

(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

$f (x) = 4 - (x + 2)^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = - 2 (x + 2) \cdot (1) = - 2 x - 4 \\ f^{''} (x) = - 2 < 0 \end{aligned}$

الدالة محدية في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 > 0 \end{aligned}$

الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني $f (x) = (x - 2) (x + 1)^{2}$ ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.

$\begin{aligned} f (x) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 1) \\ f^{'} (x) = (x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (1) \\ f^{'} (x) = 2 x^{2} + 2 x - 4 x - 4 + x^{2} + 2 x + 1 \\ f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 \\ f^{''} (x) = 6 x (f^{''} (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \\ f (0) = (0 - 2) (0 + 1)^{''} (x) = 0 (0, - 2) (انقلاب نقطة) \\ m = f^{'} (x) = f^{'} (0) = - 3 \\ (y - y_{1}) = m (x - x_{1}) \\ (y - (- 2)) = - 3 (x - 0) \\ y + 2 = - 3 x \Rightarrow 3 x + y + 2 = 0 \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

الحل

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 > 0 \end{aligned}$

الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

من الممكن استخدام الطريقة الآتية لمعرفة نوع النقطة الحرجة (عظمى أو صغرى).

نجد $f' (x), f'' (x)$
نجد قيم $x$ التي تجعل $f' (x) = 0$ ونعوضها في $f'' (x)$ فإذا كانت الإشارة بعد التعويض:

موجبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية صغرى محلية.
سالبة فالنقطة الحرجة تمثل نقطة نهاية عظمى محلية.
تساوي صفراً فإن هذه الطريقة فاشلة في معرفة نوع النقطة الحرجة، ويعاد الاختبار بواسطة الطريقة السابقة عن طريق المشتقة الأولى.

(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

$f (x) = 6 x - 3 x^{2} - 1$

$\begin{aligned} f' (x) = 6 - 6 x (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 - 6 x = 0 \Rightarrow 6 = 6 x \Rightarrow x = 1 \\ f'' (x) = - 6 < 0 \end{aligned}$

توجد نهاية نقطة عظمى محلية عند $x = 1$

$f (1) = 6 (1) - 3 (1)^{2} - 1 = 2$

$(1, 2) ∴$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f (x) = x - \frac{4}{x^{2}}, x \neq 0$

$(- 2, - 3) ∴$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

عندما $x = - 1$

فإن $f'' (- 1) = - 12 < 0, f' (- 1) = 0$

توجد نهاية عظمى محلية عند $(x = - 1)$

النهاية العظمى المحلية هي $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) = - 1 - 3 + 9 = 5$

عندما $x = 3$

فإن $f'' (3) = 12 > 0, f^{'} (3) = 0$

توجد نهاية صغرى محلية عند $(x = 3)$

النهاية الصغرى المحلية هي $f (3) = (3)^{3} - 3 (3)^{2} - 9 (3) = 27 - 27 - 27 = - 27$

$f (x) = 4 - (x + 1)^{4}$

$f'' (- 1) = 0$ هذه الطريقة لا تصح لذا نعود إلى ملاحظة تغير إشارة $f'$ بجوار $(x = - 1)$

الشكل

$f$ متزايدة في ${x : x < 0}$
$f$ متناقصة في ${x : x > - 1}$

توجد نهاية صغرى محلية وهي $f (- 1) = 4 - (- 1 + 1)^{4} = 4$

(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

$f (x) = 4 - (x + 2)^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = - 2 (x + 2) \cdot (1) = - 2 x - 4 \\ f^{''} (x) = - 2 < 0 \end{aligned}$

الدالة محدية في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 x^{3} + 6 x \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 > 0 \end{aligned}$

الدالة مقعرة في مجالها ولا توجد نقاط انقلاب.

حلول الأسئلة

جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

مشاركة الحل

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

f(x)=6x−3x2−1

f(x)=x−4x2 , x≠0

f(x)=x3−3x2−9x

f(x)=4−(x+1)4

(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

f(x)=4−(x+2)2

f(x)=x4+3x2−3

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني f(x)=(x−2)(x+1)2 ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.

مشاركة الدرس

جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

استخدام المشتقة الثانية لفحص النهايات العظمى والصغرى المحلية

(1)- باستخدام اختبار المشتقة الثانية إن أمكن جد النهايات المحلية للدوال الآتية:

f(x)=6x−3x2−1

f(x)=x−4x2 , x≠0

f(x)=x3−3x2−9x

f(x)=4−(x+1)4

(2)- جد مناطق التقعر والتحدب ونقاط الانقلاب إن وجدت للدوال التالية:

f(x)=4−(x+2)2

f(x)=x4+3x2−3

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني f(x)=(x−2)(x+1)2 ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.

$f (x) = 6 x - 3 x^{2} - 1$

$f (x) = x - \frac{4}{x^{2}}, x \neq 0$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

$f (x) = 4 - (x + 1)^{4}$

$f (x) = 4 - (x + 2)^{2}$

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني $f (x) = (x - 2) (x + 1)^{2}$ ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.

$f (x) = 6 x - 3 x^{2} - 1$

$f (x) = x - \frac{4}{x^{2}}, x \neq 0$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

$f (x) = 4 - (x + 1)^{4}$

$f (x) = 4 - (x + 2)^{2}$

$f (x) = x^{4} + 3 x^{2} - 3$

(3)- جد نقاط الانقلاب للمنحني $f (x) = (x - 2) (x + 1)^{2}$ ثم جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة انقلابه.