حلول الأسئلة

السؤال

جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

الحل

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

$\begin{aligned} \frac{(- 2)^{2}}{4 b^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{4 b^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{17}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 17 \\ a^{2} = 4 (17) \Rightarrow a^{2} = 68 \Rightarrow \frac{x^{2}}{68} + \frac{y^{2}}{17} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{2}} = 1 (بالمقارنة) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ a^{2} = 1 \Rightarrow a = 1, b^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ ∴ F_{1} (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0), F_{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) (السينات محور على البؤرتان) \end{aligned} \begin{aligned} ∴ V_{1} (1, 0), V_{2} (- 1, 0) (الرأسان) \\ 2 a \Rightarrow 2 (1) = 2 (القطبان) . . . . (الصغير المحور طرفا) \\ 2 b \Rightarrow 2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (الكبير المحور طول) \\ 2 c = 2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (البؤرتين بين المسافة) \\ y = 0 (الكبير المحور معادلة) \\ x = 0 (الصغير المحور معادلة) \\ (0, 0) (المركز) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \end{aligned}$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

بالقسمة على 117

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \\ a^{2} = 13 \Rightarrow a = \sqrt{13}, b^{2} = 9 \Rightarrow b = 3 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 13 - 9 = 4 \Rightarrow c = 2 \\ ∴ F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0) (السينات محور على البؤرتان) \\ ∴ V_{1} (\sqrt{13}, 0), V_{2} (- \sqrt{13}, 0) (الرأسان) \\ ∴ P_{1} (0, 3), P_{2} (0, - 3) (القطبان) \\ 2 a \Rightarrow 2 (\sqrt{13}) = 2 \sqrt{13} (الكبير المحور طول) \\ 2 b \Rightarrow 2 (3) = 6 (الصغير المحور طول) \\ y = 0 (الكبير المحور معادلة) \\ x = 0 (الصغير المحور معادلة) \\ (0, 0) (المركز) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{13}} < 1 \end{aligned}$

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ 2 a = 12 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow a^{2} = 36 \end{aligned} \begin{aligned} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 36 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 11 \\ \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{11} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 1

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \\ c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ b = 4 \Rightarrow b^{2} = 16 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ a^{2} = 16 + 4 \Rightarrow a^{2} = 20 \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 2

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

$\begin{aligned} 2 a = 5 + 1 = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ 2 c = 5 - 1 = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 4 = 9 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9 - 4 = 5 \end{aligned}$

الشكل 3

هناك حالتين لمعادلة القع الناقص هما:

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

لم يحدد موقع البؤرتين فنكتب معادلتين

$∵ e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = 2 c \Rightarrow a^{2} = 4 c^{2} \begin{aligned} ∵ 2 b = 12 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow b^{2} = 36 \\ ∵ c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ c^{2} = 4 c^{2} - 36 \Rightarrow 3 c^{2} = 36 \Rightarrow c^{2} = 12 \\ a^{2} = 4 (12) \Rightarrow a^{2} = 48 \end{aligned}$

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{48} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

لم يحدد موقع البؤرتين

$\begin{aligned} 2 c = 8 \Rightarrow c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \\ \frac{1}{2} (2 b) = 3 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 9 + 16 \Rightarrow a^{2} = 25 \end{aligned}$

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

$\begin{aligned} ∵ c = 2, a = 3 \\ p F_{1} + p F_{2} = 2 a (التعريف حسب) \\ \sqrt{(x - 0)^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 0)^{2} + (y + 2)^{2}} = 2 (3) \\ \sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 6 \\ {[\sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} = 6 - \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}}]}^{2} (الطرفين بتربيع) \\ (x^{2} + y^{2} - 4 y + 4) = (36 - 12 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} + x^{2} + y^{2} + 4 y + 4) \\ (12 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}}) = 36 + 8 y (4 على نقسم) \\ 3 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 9 + 2 y (الطرفين بتربيع) \\ 9 [x^{2} + (y + 2)^{2}] = (9 + 2 y)^{2} \end{aligned} \begin{aligned} 9 (x^{2} + y^{2} + 4 y + 4) = 81 + 36 y + 4 y^{2} \\ 9 x^{2} + 9 y^{2} + 36 y + 36 = 81 + 36 y + 4 y^{2} \\ 9 x^{2} + 5 y^{2} = 45 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \end{aligned}$

الشكل 1

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

$\begin{aligned} ∵ 2 c = 6 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow (\pm 3, 0) (البؤرتان) \\ ∵ 2 a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow (\pm 5, 0) (الرأسان) \\ ∴ P F_{1} + P F_{2} = 2 a (التعريف حسب) \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 0)^{2}} + \sqrt{(x + 3)^{2} + (y - 0)^{2}} = 2 (5) \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 10 \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} = 10 - \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} (الطرفين بتربيع) \\ x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = 100 - 20 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} + x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} \end{aligned} \begin{aligned} [20 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 100 + 12 x] \div 4 \\ 5 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 25 + 3 x (الطرفين بتربيع) \\ 25 (x^{2} + 6 x + 9 + y^{2}) = 625 + 150 x + 9 x^{2} \\ 25 x^{2} + 150 x + 225 + 25 y^{2} = 625 + 150 x + 9 x^{2} \\ 16 x^{2} + 25 y^{2} = 625 - 225 \\ 16 x^{2} + 25 y^{2} = 400] \div (400) \Rightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 2

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{(2 \sqrt{3})^{2}}{a^{2}} + \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1 \dots \dots (2) \\ \frac{12}{b^{2} + 4} + \frac{3}{b^{2}} = 1] \times b^{2} (b^{2} + 4) \\ 12 b^{2} + 3 b^{2} + 12 = b^{2} (b^{2} + 4) \\ 15 b^{2} + 12 = b^{4} + 4 b^{2} \Rightarrow b^{4} - 15 b^{2} + 4 b^{2} - 12 = 0 \\ b^{4} - 11 b^{2} - 12 = 0 \\ (b^{2} - 12) (b^{2} + 1) = 0 \\ either b^{2} = 12 \Rightarrow a^{2} = 12 + 4 = 16 ((1) معادلة في نعوض) \\ or b^{2} = - 1 (تهمل) \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع الناقص هي $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$(6, 2)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(6)^{2}}{a^{2}} + \frac{(2)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \dots . . (1)$

$(3, 4)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 . . . . . (2)$

$\begin{aligned} \frac{144}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ \mp \frac{9}{a^{2}} \mp \frac{16}{b^{2}} = \mp 1 . . . . . . (2) \end{aligned} (بالطرح) \frac{135}{a^{2}} = 3 \Rightarrow a^{2} = \frac{135}{3} \Rightarrow a^{2} = 45$

نعوض قيمة $a^{2}$ في المعادلة (1)

$\frac{36}{45} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = 1 - \frac{36}{45} \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = \frac{9}{45} \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = \frac{1}{5} \Rightarrow b^{2} = 20 \frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (الناقص القطع معادلة)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ يقطع المحور الصادي فإن $x = 0$

$0 + y^{2} - 3 (0) = 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (0, 4), (0, - 4)$

وتمثلان بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية):

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16$

لإيجاد معادلة الدليل للقطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = 12 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 12 \Rightarrow p = 3 \\ x = - 3 (الدليل معادلة) \Rightarrow (- 3, 0) (التماس نقطة) \end{aligned}$

معادلة القطع الناقص صادية ومعادلة القطع المكافئ سينية، ويما أن النقطة $(- 3, 0)$ تحقق معادلة القطع الناقص لأنه يمر بها

$\begin{aligned} \frac{(- 3)^{2}}{b^{2}} + \frac{(0)^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 9 + 16 \Rightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

القطع المكافئ:

نلاحظ بأن معادلة القطع المكافئ سينية موجبة:

$y^{2} = 4 p x y^{2} = 4 \sqrt{3} x \Rightarrow p = \sqrt{3}$

بؤرة القطع المكافئ $F (\sqrt{3}, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته سينية).

القطع الناقص:

$\begin{aligned} h x^{2} + k y^{2} = 36 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = \sqrt{3} \Rightarrow c^{2} = 3 \end{aligned}$

مجموع مربعي طولي محوريه يساوي (60):

$\begin{aligned} (2 a)^{2} + (2 b)^{2} = 60 \\ 4 a^{2} + 4 b^{2} = 60 \\ a^{2} + b^{2} = 15 \Rightarrow b^{2} = 15 - a^{2} \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 15 - a^{2} + 3 \\ 2 a^{2} = 18 \Rightarrow a^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 15 - 9 = 6 \\ \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

بالمقارنة $\frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1$

$\frac{36}{h} = 9 \Rightarrow h = 4, \frac{36}{k} = 6 \Rightarrow k = 6$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = 4 p y \\ x^{2} = 24 y 4 p = 24 \Rightarrow p = 6 \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (0, 6)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية).

القطع الناقص:

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36$

مجموع طولي محوريه (36):

$\begin{aligned} 2 a + 2 b = 36 \Rightarrow a + b = 18 \Rightarrow a = 18 - b \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{aligned} \begin{aligned} (18 - b)^{2} = b^{2} + 36 \Rightarrow 324 - 36 b + b^{2} = b^{2} + 36 \\ 36 b = 324 - 36 \Rightarrow 36 b = 288 \Rightarrow b = \frac{288}{36} = 8 \Rightarrow a = 18 - 8 = 10 \\ ∴ b^{2} = 64, a^{2} = 100 \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} ∵ F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \end{aligned}$

محيط المثلث = مجموع أضلاعه الثلاثة

$\underset{2 a}{\underset{⏟}{Q F_{1} + Q F_{2}}} + \underset{2 c}{\underset{⏟}{F_{1} F_{2}}} = 24 \begin{aligned} F_{1} F_{2} = 2 c = 2 (4) = 8 (البؤرتين بين المسافة) \\ Q F_{1} + Q F_{2} = 2 a (الناقص القطع تعريف حسب) \end{aligned} \begin{aligned} 2 a + 8 = 24 \Rightarrow 2 a = 24 - 8 \Rightarrow 2 a = 16 \\ a = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow 64 = b^{2} + 16 \Rightarrow b^{2} = 48 \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

الحل

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

بالقسمة على 117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

الشكل 1

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع:

الشكل 2

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الشكل 3

هناك حالتين لمعادلة القع الناقص هما:

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

لم يحدد موقع البؤرتين فنكتب معادلتين

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{48} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

لم يحدد موقع البؤرتين

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

الشكل 1

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

الشكل 2

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع الناقص هي $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$(6, 2)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(6)^{2}}{a^{2}} + \frac{(2)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \dots . . (1)$

$(3, 4)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 . . . . . (2)$

نعوض قيمة $a^{2}$ في المعادلة (1)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ يقطع المحور الصادي فإن $x = 0$

$0 + y^{2} - 3 (0) = 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (0, 4), (0, - 4)$

وتمثلان بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية):

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16$

لإيجاد معادلة الدليل للقطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = 12 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 12 \Rightarrow p = 3 \\ x = - 3 (الدليل معادلة) \Rightarrow (- 3, 0) (التماس نقطة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

القطع المكافئ:

نلاحظ بأن معادلة القطع المكافئ سينية موجبة:

$y^{2} = 4 p x y^{2} = 4 \sqrt{3} x \Rightarrow p = \sqrt{3}$

بؤرة القطع المكافئ $F (\sqrt{3}, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته سينية).

القطع الناقص:

مجموع مربعي طولي محوريه يساوي (60):

بالمقارنة $\frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1$

$\frac{36}{h} = 9 \Rightarrow h = 4, \frac{36}{k} = 6 \Rightarrow k = 6$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = 4 p y \\ x^{2} = 24 y 4 p = 24 \Rightarrow p = 6 \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (0, 6)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية).

القطع الناقص:

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36$

مجموع طولي محوريه (36):

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} ∵ F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \end{aligned}$

محيط المثلث = مجموع أضلاعه الثلاثة

الشكل

حلول الأسئلة

مشاركة الحل

تمارين (2-2)

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

x2+2y2=1

9x2+13y2=117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان (−5,0) , (5,0) وطول محوره الكبير يساوي 12 وحدة

البؤرتان هما (0,±2) ويتقاطع مع محور السينات عند x=±4

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين 5 , 1 وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي 12 وطول محوره الصغير 12 وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي 8 وحدات ونصف محوره الصغير يساوي 3 وحدات.

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان (0,±2) ورأساه النقطتان (0,±3)، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين 6 وحدة والعدد الثابت 10 والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2+8x=0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة (23,3)

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (3,4) , (6,2)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني x2+y2−3x=16y2=12x مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ y2=12x

(8)- قطع ناقص hx2+ky2=36 ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي 60 وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2=43x ما قيمة كل من h , k؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ x2=24y ومجموع طولي محوريه 36 وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F2(−4,0) , F1(4,0) والنقطة Q ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث QF1F2 يساوي 24 وحدة.

مشاركة الدرس

تمارين (2-2)

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

x2+2y2=1

9x2+13y2=117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان (−5,0) , (5,0) وطول محوره الكبير يساوي 12 وحدة

البؤرتان هما (0,±2) ويتقاطع مع محور السينات عند x=±4

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين 5 , 1 وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي 12 وطول محوره الصغير 12 وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي 8 وحدات ونصف محوره الصغير يساوي 3 وحدات.

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان (0,±2) ورأساه النقطتان (0,±3)، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين 6 وحدة والعدد الثابت 10 والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2+8x=0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة (23,3)

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (3,4) , (6,2)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني x2+y2−3x=16y2=12x مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ y2=12x

(8)- قطع ناقص hx2+ky2=36 ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي 60 وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2=43x ما قيمة كل من h , k؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ x2=24y ومجموع طولي محوريه 36 وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F2(−4,0) , F1(4,0) والنقطة Q ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث QF1F2 يساوي 24 وحدة.

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.