حلول الأسئلة

السؤال

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

الحل

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{(2 \sqrt{3})^{2}}{a^{2}} + \frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}} = 1 \dots \dots (2) \\ \frac{12}{b^{2} + 4} + \frac{3}{b^{2}} = 1] \times b^{2} (b^{2} + 4) \\ 12 b^{2} + 3 b^{2} + 12 = b^{2} (b^{2} + 4) \\ 15 b^{2} + 12 = b^{4} + 4 b^{2} \Rightarrow b^{4} - 15 b^{2} + 4 b^{2} - 12 = 0 \\ b^{4} - 11 b^{2} - 12 = 0 \\ (b^{2} - 12) (b^{2} + 1) = 0 \\ either b^{2} = 12 \Rightarrow a^{2} = 12 + 4 = 16 ((1) معادلة في نعوض) \\ or b^{2} = - 1 (تهمل) \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{2}} = 1 (بالمقارنة) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ a^{2} = 1 \Rightarrow a = 1, b^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ ∴ F_{1} (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0), F_{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) (السينات محور على البؤرتان) \end{aligned} \begin{aligned} ∴ V_{1} (1, 0), V_{2} (- 1, 0) (الرأسان) \\ 2 a \Rightarrow 2 (1) = 2 (القطبان) . . . . (الصغير المحور طرفا) \\ 2 b \Rightarrow 2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (الكبير المحور طول) \\ 2 c = 2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (البؤرتين بين المسافة) \\ y = 0 (الكبير المحور معادلة) \\ x = 0 (الصغير المحور معادلة) \\ (0, 0) (المركز) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \end{aligned}$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

بالقسمة على 117

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \\ a^{2} = 13 \Rightarrow a = \sqrt{13}, b^{2} = 9 \Rightarrow b = 3 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c^{2} = 13 - 9 = 4 \Rightarrow c = 2 \\ ∴ F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0) (السينات محور على البؤرتان) \\ ∴ V_{1} (\sqrt{13}, 0), V_{2} (- \sqrt{13}, 0) (الرأسان) \\ ∴ P_{1} (0, 3), P_{2} (0, - 3) (القطبان) \\ 2 a \Rightarrow 2 (\sqrt{13}) = 2 \sqrt{13} (الكبير المحور طول) \\ 2 b \Rightarrow 2 (3) = 6 (الصغير المحور طول) \\ y = 0 (الكبير المحور معادلة) \\ x = 0 (الصغير المحور معادلة) \\ (0, 0) (المركز) \\ e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{13}} < 1 \end{aligned}$

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ 2 a = 12 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow a^{2} = 36 \end{aligned} \begin{aligned} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 36 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 11 \\ \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{11} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 1

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \\ c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ b = 4 \Rightarrow b^{2} = 16 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ a^{2} = 16 + 4 \Rightarrow a^{2} = 20 \\ \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 2

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

$\begin{aligned} 2 a = 5 + 1 = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ 2 c = 5 - 1 = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 4 = 9 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9 - 4 = 5 \end{aligned}$

الشكل 3

هناك حالتين لمعادلة القع الناقص هما:

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

لم يحدد موقع البؤرتين فنكتب معادلتين

$∵ e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = 2 c \Rightarrow a^{2} = 4 c^{2} \begin{aligned} ∵ 2 b = 12 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow b^{2} = 36 \\ ∵ c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ c^{2} = 4 c^{2} - 36 \Rightarrow 3 c^{2} = 36 \Rightarrow c^{2} = 12 \\ a^{2} = 4 (12) \Rightarrow a^{2} = 48 \end{aligned}$

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{48} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

لم يحدد موقع البؤرتين

$\begin{aligned} 2 c = 8 \Rightarrow c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \\ \frac{1}{2} (2 b) = 3 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 9 + 16 \Rightarrow a^{2} = 25 \end{aligned}$

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

$\begin{aligned} ∵ c = 2, a = 3 \\ p F_{1} + p F_{2} = 2 a (التعريف حسب) \\ \sqrt{(x - 0)^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 0)^{2} + (y + 2)^{2}} = 2 (3) \\ \sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 6 \\ {[\sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} = 6 - \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}}]}^{2} (الطرفين بتربيع) \\ (x^{2} + y^{2} - 4 y + 4) = (36 - 12 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} + x^{2} + y^{2} + 4 y + 4) \\ (12 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}}) = 36 + 8 y (4 على نقسم) \\ 3 \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 9 + 2 y (الطرفين بتربيع) \\ 9 [x^{2} + (y + 2)^{2}] = (9 + 2 y)^{2} \end{aligned} \begin{aligned} 9 (x^{2} + y^{2} + 4 y + 4) = 81 + 36 y + 4 y^{2} \\ 9 x^{2} + 9 y^{2} + 36 y + 36 = 81 + 36 y + 4 y^{2} \\ 9 x^{2} + 5 y^{2} = 45 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \end{aligned}$

الشكل 1

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

$\begin{aligned} ∵ 2 c = 6 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow (\pm 3, 0) (البؤرتان) \\ ∵ 2 a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow (\pm 5, 0) (الرأسان) \\ ∴ P F_{1} + P F_{2} = 2 a (التعريف حسب) \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + (y - 0)^{2}} + \sqrt{(x + 3)^{2} + (y - 0)^{2}} = 2 (5) \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 10 \\ \sqrt{(x - 3)^{2} + y^{2}} = 10 - \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} (الطرفين بتربيع) \\ x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = 100 - 20 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} + x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} \end{aligned} \begin{aligned} [20 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 100 + 12 x] \div 4 \\ 5 \sqrt{(x + 3)^{2} + y^{2}} = 25 + 3 x (الطرفين بتربيع) \\ 25 (x^{2} + 6 x + 9 + y^{2}) = 625 + 150 x + 9 x^{2} \\ 25 x^{2} + 150 x + 225 + 25 y^{2} = 625 + 150 x + 9 x^{2} \\ 16 x^{2} + 25 y^{2} = 625 - 225 \\ 16 x^{2} + 25 y^{2} = 400] \div (400) \Rightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل 2

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع الناقص هي $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$(6, 2)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(6)^{2}}{a^{2}} + \frac{(2)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \dots . . (1)$

$(3, 4)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 . . . . . (2)$

$\begin{aligned} \frac{144}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 4 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ \mp \frac{9}{a^{2}} \mp \frac{16}{b^{2}} = \mp 1 . . . . . . (2) \end{aligned} (بالطرح) \frac{135}{a^{2}} = 3 \Rightarrow a^{2} = \frac{135}{3} \Rightarrow a^{2} = 45$

نعوض قيمة $a^{2}$ في المعادلة (1)

$\frac{36}{45} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = 1 - \frac{36}{45} \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = \frac{9}{45} \Rightarrow \frac{4}{b^{2}} = \frac{1}{5} \Rightarrow b^{2} = 20 \frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (الناقص القطع معادلة)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ يقطع المحور الصادي فإن $x = 0$

$0 + y^{2} - 3 (0) = 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (0, 4), (0, - 4)$

وتمثلان بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية):

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16$

لإيجاد معادلة الدليل للقطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = 12 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 12 \Rightarrow p = 3 \\ x = - 3 (الدليل معادلة) \Rightarrow (- 3, 0) (التماس نقطة) \end{aligned}$

معادلة القطع الناقص صادية ومعادلة القطع المكافئ سينية، ويما أن النقطة $(- 3, 0)$ تحقق معادلة القطع الناقص لأنه يمر بها

$\begin{aligned} \frac{(- 3)^{2}}{b^{2}} + \frac{(0)^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 9 + 16 \Rightarrow a^{2} = 25 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

$\begin{aligned} \frac{(- 2)^{2}}{4 b^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{4}{4 b^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{17}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 17 \\ a^{2} = 4 (17) \Rightarrow a^{2} = 68 \Rightarrow \frac{x^{2}}{68} + \frac{y^{2}}{17} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

القطع المكافئ:

نلاحظ بأن معادلة القطع المكافئ سينية موجبة:

$y^{2} = 4 p x y^{2} = 4 \sqrt{3} x \Rightarrow p = \sqrt{3}$

بؤرة القطع المكافئ $F (\sqrt{3}, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته سينية).

القطع الناقص:

$\begin{aligned} h x^{2} + k y^{2} = 36 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = \sqrt{3} \Rightarrow c^{2} = 3 \end{aligned}$

مجموع مربعي طولي محوريه يساوي (60):

$\begin{aligned} (2 a)^{2} + (2 b)^{2} = 60 \\ 4 a^{2} + 4 b^{2} = 60 \\ a^{2} + b^{2} = 15 \Rightarrow b^{2} = 15 - a^{2} \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 15 - a^{2} + 3 \\ 2 a^{2} = 18 \Rightarrow a^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 15 - 9 = 6 \\ \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

بالمقارنة $\frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1$

$\frac{36}{h} = 9 \Rightarrow h = 4, \frac{36}{k} = 6 \Rightarrow k = 6$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = 4 p y \\ x^{2} = 24 y 4 p = 24 \Rightarrow p = 6 \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (0, 6)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية).

القطع الناقص:

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36$

مجموع طولي محوريه (36):

$\begin{aligned} 2 a + 2 b = 36 \Rightarrow a + b = 18 \Rightarrow a = 18 - b \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{aligned} \begin{aligned} (18 - b)^{2} = b^{2} + 36 \Rightarrow 324 - 36 b + b^{2} = b^{2} + 36 \\ 36 b = 324 - 36 \Rightarrow 36 b = 288 \Rightarrow b = \frac{288}{36} = 8 \Rightarrow a = 18 - 8 = 10 \\ ∴ b^{2} = 64, a^{2} = 100 \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} ∵ F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \end{aligned}$

محيط المثلث = مجموع أضلاعه الثلاثة

$\underset{2 a}{\underset{⏟}{Q F_{1} + Q F_{2}}} + \underset{2 c}{\underset{⏟}{F_{1} F_{2}}} = 24 \begin{aligned} F_{1} F_{2} = 2 c = 2 (4) = 8 (البؤرتين بين المسافة) \\ Q F_{1} + Q F_{2} = 2 a (الناقص القطع تعريف حسب) \end{aligned} \begin{aligned} 2 a + 8 = 24 \Rightarrow 2 a = 24 - 8 \Rightarrow 2 a = 16 \\ a = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow 64 = b^{2} + 16 \Rightarrow b^{2} = 48 \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

الشكل

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

الحل

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

بالقسمة على 117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

الشكل 1

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

البؤرتان صاديتان ومعادلة القطع:

الشكل 2

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الشكل 3

هناك حالتين لمعادلة القع الناقص هما:

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

لم يحدد موقع البؤرتين فنكتب معادلتين

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{48} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

لم يحدد موقع البؤرتين

إذا كانت البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
إذا كانت البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

الشكل 1

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

الشكل 2

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = - 8 x \\ y^{2} = - 4 x p \Rightarrow - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow (- 2, 0) (البؤرة) \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (- 2, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (سينية) $F (- 2, 0)$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} F_{1} (2, 0), F_{2} (- 2, 0), c = 2 \Rightarrow c^{2} = 4 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 4 \dots \dots (1) \end{aligned}$

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

البؤرتان سينيتان فمعادلة القطع الناقص هي $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$(6, 2)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(6)^{2}}{a^{2}} + \frac{(2)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \dots . . (1)$

$(3, 4)$ تنتمي للقطع الناقص فهي تحقق معادلته:

$\frac{(3)^{2}}{a^{2}} + \frac{(4)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 . . . . . (2)$

نعوض قيمة $a^{2}$ في المعادلة (1)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ يقطع المحور الصادي فإن $x = 0$

$0 + y^{2} - 3 (0) = 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (0, 4), (0, - 4)$

وتمثلان بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية):

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16$

لإيجاد معادلة الدليل للقطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = 12 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 12 \Rightarrow p = 3 \\ x = - 3 (الدليل معادلة) \Rightarrow (- 3, 0) (التماس نقطة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتمي إلى محور السينات ومركزه في نقطة الأصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^{2} + 8 x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني يساوي $(- 2)$

القطع المكافئ:

لإيجاد نقطتا تقاطع القطع الناقص مع القطع المكافئ $x = - 2$

$y^{2} + 8 (- 2) = 0 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 2, - 4), (- 2, 4)$

القطع الناقص:

البؤرتان تنتمي لمحور السينات فمعادلة القطع:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = 4 b^{2}$

النقاط تنتمي للقطع الناقص (أي تحقق معادلته):

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

القطع المكافئ:

نلاحظ بأن معادلة القطع المكافئ سينية موجبة:

$y^{2} = 4 p x y^{2} = 4 \sqrt{3} x \Rightarrow p = \sqrt{3}$

بؤرة القطع المكافئ $F (\sqrt{3}, 0)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته سينية).

القطع الناقص:

مجموع مربعي طولي محوريه يساوي (60):

بالمقارنة $\frac{x^{2}}{\frac{36}{h}} + \frac{y^{2}}{\frac{36}{k}} = 1$

$\frac{36}{h} = 9 \Rightarrow h = 4, \frac{36}{k} = 6 \Rightarrow k = 6$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = 4 p y \\ x^{2} = 24 y 4 p = 24 \Rightarrow p = 6 \end{aligned}$

بؤرة القطع المكافئ $F (0, 6)$ وهي تمثل إحدى بؤرتي القطع الناقص (فتكون معادلته صادية).

القطع الناقص:

$\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36$

مجموع طولي محوريه (36):

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

البؤرتان سينيتان ومعادلة القطع:

$\begin{aligned} ∵ F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, c = 4 \Rightarrow c^{2} = 16 \end{aligned}$

محيط المثلث = مجموع أضلاعه الثلاثة

الشكل

حلول الأسئلة

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y 2 + 8 x = 0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة ( 2 3 , 3 )

مشاركة الحل

تمارين (2-2)

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

x2+2y2=1

9x2+13y2=117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان (−5,0) , (5,0) وطول محوره الكبير يساوي 12 وحدة

البؤرتان هما (0,±2) ويتقاطع مع محور السينات عند x=±4

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين 5 , 1 وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي 12 وطول محوره الصغير 12 وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي 8 وحدات ونصف محوره الصغير يساوي 3 وحدات.

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان (0,±2) ورأساه النقطتان (0,±3)، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين 6 وحدة والعدد الثابت 10 والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2+8x=0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة (23,3)

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (3,4) , (6,2)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني x2+y2−3x=16y2=12x مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ y2=12x

(8)- قطع ناقص hx2+ky2=36 ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي 60 وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2=43x ما قيمة كل من h , k؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ x2=24y ومجموع طولي محوريه 36 وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F2(−4,0) , F1(4,0) والنقطة Q ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث QF1F2 يساوي 24 وحدة.

مشاركة الدرس

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y 2 + 8 x = 0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة ( 2 3 , 3 )

تمارين (2-2)

تمارين (2-2)

(1)- عين كل من البؤرتين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلاتها في كل مما يأتي:

x2+2y2=1

9x2+13y2=117

(2)- جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل في كل مما يأتي ثم ارسمه:

البؤرتان هما النقطتان (−5,0) , (5,0) وطول محوره الكبير يساوي 12 وحدة

البؤرتان هما (0,±2) ويتقاطع مع محور السينات عند x=±4

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين 5 , 1 وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي 12 وطول محوره الصغير 12 وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي 8 وحدات ونصف محوره الصغير يساوي 3 وحدات.

(3)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص إذا علم:

بؤرتاه النقطتان (0,±2) ورأساه النقطتان (0,±3)، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين 6 وحدة والعدد الثابت 10 والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2+8x=0 علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة (23,3)

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (3,4) , (6,2)

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني x2+y2−3x=16y2=12x مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ y2=12x

(8)- قطع ناقص hx2+ky2=36 ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي 60 وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2=43x ما قيمة كل من h , k؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ x2=24y ومجموع طولي محوريه 36 وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F2(−4,0) , F1(4,0) والنقطة Q ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث QF1F2 يساوي 24 وحدة.

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

$x^{2} + 2 y^{2} = 1$

$9 x^{2} + 13 y^{2} = 117$

البؤرتان هما النقطتان $(- 5, 0), (5, 0)$ وطول محوره الكبير يساوي $(12)$ وحدة

البؤرتان هما $(0, \pm 2)$ ويتقاطع مع محور السينات عند $x = \pm 4$

إحدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين $5, 1$ وحدة على الترتيب.

الاختلاف المركزي يساوي $\frac{1}{2}$ وطول محوره الصغير $(12)$ وحدة طولية.

المسافة بين بؤرتيه تساوي $(8)$ وحدات ونصف محوره الصغير يساوي $(3)$ وحدات.

بؤرتاه النقطتان $(0, \pm 2)$ ورأساه النقطتان $(0, \pm 3)$ ، ومركزه نقطة الأصل.

المسافة بين البؤرتين $(6)$ وحدة والعدد الثابت $(10)$ والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه في نقطة الأصل.

(4)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} + 8 x = 0$ علماً بأن القطع الناقص يمر بالنقطة $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين $(3, 4), (6, 2)$

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني $x^{2} + y^{2} - 3 x = 16$ $y^{2} = 12 x$ مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ $y^{2} = 12 x$

(8)- قطع ناقص $h x^{2} + k y^{2} = 36$ ومركزه نقطة الأصل وجموع مربعي طولي محوريه يساوي $(60)$ وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ ما قيمة كل من $h, k$ ؟

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 24 y$ ومجموع طولي محوريه $(36)$ وحدة.

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_{2} (- 4, 0), F_{1} (4, 0)$ والنقطة $Q$ ينتمي للقطع الناقص بحيث أن محيط المثلث $Q F_{1} F_{2}$ يساوي $(24)$ وحدة.