حلول الأسئلة

السؤال

البيانات المعطاة في الجدول التالي تمثل الكثافة العددية لأشجار الصنوبر (x) ومساحة قاعدة الأشجار (y)

x: 307,79,71,192,122,404,55,82

y: 13.5,20.1,14.8,19.6,19.5,17.4,26.1,21.1

المطلوب إيجاد معامل ارتباط سبيرمان بين كثافة الأشجار ومساحة قاعدة الأشجار.

الحل

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 55,71,79,82,122,192,307,404

y: 13.5,14.8,17.4,19.5,19.6,20.1,21.1,26.1

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
36	6	1	13.5	7	307	1
9	3-	6	20.1	3	79	2
0	0	2	14.8	2	71	3
1	1	5	19.6	6	192	4
1	1	4	19.5	5	122	5
25	5	3	17.4	8	404	6
49	7-	8	26.1	1	55	7
9	3-	7	21.1	4	82	8

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 130}{8 (64 - 1)} = 1 - \frac{780}{8 \times 63} = 1 - \frac{780}{504} = \frac{504 - 780}{504} = \frac{- 776}{504} = - 1 .539$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-4)

(1)- جد معامل الارتباط بين y, x من الجدول التالي:

3	2	1	x
6	4	2	y

$\begin{aligned} \bar{X} = \frac{\sum x}{n} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2 \\ \bar{Y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \\ S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x)^{2} - (\bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 14 - 4} = \sqrt{\frac{14 - 12}{4}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \\ S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (y)^{2} - (y)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 56 - 16} = \sqrt{\frac{56 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \end{aligned}$

$\sum x = 6, \sum y = 12, \sum (x)^{2} = 14, \sum (y)^{2} = 56, \sum (x, y) = 28 r = \frac{\frac{1}{n} \sum (xy - \bar{xy})}{S_{x} \cdot S_{y}} = \frac{\frac{1}{3} \times 28 - 8}{\sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{\frac{28 - 24}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1$

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(2)- جد معامل الارتباط بين y, x

12	8	4	x
6	4	2	y

$\begin{aligned} \bar{X} = \frac{\sum x}{n} = \frac{4 + 8 + 12}{3} = \frac{24}{3} = 8 \\ \bar{Y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \end{aligned} \begin{aligned} S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x)^{2} - (\bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 224 - (8)^{2}} = \sqrt{\frac{224 - 192}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} \\ S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (y)^{2} - (y)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 56 - 16} = \sqrt{\frac{56 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \end{aligned}$

$\sum x = 24, \sum y = 12, \sum (x)^{2} = 244, \sum (y)^{2} = 56, \sum (x, y) = 112 r = \frac{\frac{1}{n} \sum (xy - \bar{xy})}{S_{x} \cdot S_{y}} = \frac{\frac{1}{3} \times 112 - 32}{\sqrt{\frac{32}{3}} \times \sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{\frac{112 - 96}{3}}{\sqrt{\frac{256}{9}}} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{3}} = 1$

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(3)- جد معامل الارتباط بين y, x

7	6	5	4	3	x
14	12	10	8	6	y

$\begin{aligned} \bar{X} = \frac{\sum x}{n} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5 \\ \bar{Y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{6 + 8 + 10 + 12 + 14}{5} = \frac{50}{5} = 10 \end{aligned} \begin{matrix} S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x)^{2} - (\bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{5} \times 10} = \sqrt{2} \\ S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (y)^{2} - (\bar{y})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{5} \times 40} = \sqrt{8} \\ r = \frac{\frac{1}{n} \sum (xy - \bar{xy})}{S_{x} . S_{y}} = \frac{\frac{1}{5} \times 20}{\sqrt{2} \times \sqrt{8}} = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1 \end{matrix}$

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(4)- جد معامل الارتباط البسيط بين المتغيرين y, x

9	11	5	4	10	8	9	6	8	7	5	2	x
8	9	4	3	9	7	6	4	6	5	3	1	y

$\begin{aligned} \bar{X} = \frac{\sum x}{n} = \frac{2 + 5 + 7 + 8 + 6 + 9 + 8 + 10 + 4 + 5 + 11 + 9}{12} = \frac{84}{12} = 7 \\ \bar{Y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{1 + 3 + 5 + 6 + 4 + 6 + 7 + 9 + 3 + 4 + 9 + 8}{12} = \frac{65}{12} = 5 .4 \\ S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x)^{2} - (\bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{12} \times 666 - (7)^{2}} = \sqrt{\frac{666 - 588}{12}} = \sqrt{\frac{13}{2}} \\ S_{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (y)^{2} - (\bar{y})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{12} \times 423 - 16} = \sqrt{\frac{56 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \end{aligned}$

$\sum x = 84, \sum y = 65, \sum (x)^{2} = 666, \sum (y)^{2} = 423, \sum (x, y) = 527 \begin{aligned} r = & \frac{\frac{1}{n} \sum (xy - \bar{xy})}{S_{x} . S_{y}} = \frac{\frac{1}{12} \times (84 \times 65) - (7 \times 5 .4)}{\sqrt{\frac{13}{2}} \times \sqrt{\frac{8}{3}}} \\ = \frac{\frac{1}{12} \times (5460) - (37 .8)}{2 .5 \times 1 .6} = \frac{(455) - (37 .8)}{2 .5 \times 1 .6} = \frac{417 .2}{4} = 104 .3 \end{aligned}$

الارتباط طردي قوي.

(5)- جد معامل الارتباط البسيط للمتغيرين y, x

2.6	3.8	1.2	4.2	3.3	2.5	1.3	1.5	x
5	7	1	8	6	4	2	3	y

(6)- من الجدول التالي جد معامل ارتباط سبيرمان

x: 50,70,80,40,30,60,65,70,75,55

y: 45,60,65,30,20,55,60,60,65,50

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 30,40,50,55,60,65,70,70,75,80

y: 20,30,45,55,60,60,60,65,65,65

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
0	0	3	45	3	50	1
2.25	1.5	6	60	7.5	70	2
1	1	9	65	10	80	3
0	0	2	30	2	40	4
0	0	1	20	1	30	5
1	1	4	55	5	60	6
0	0	6	60	6	65	7
2.25	1.5	6	60	7.5	70	8
0	0	9	65	9	75	9
25	5-	9	65	4	55	10

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 31 .5}{10 (10 - 1)} = 1 - \frac{189}{10 \times 9} = 1 - \frac{189}{10} = \frac{10 - 189}{10} = \frac{- 179}{10} = - 17 .9$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.

(7)- البيانات المعطاة في الجدول التالي تمثل الكثافة العددية لأشجار الصنوبر (x) ومساحة قاعدة الأشجار (y)

x: 307,79,71,192,122,404,55,82

y: 13.5,20.1,14.8,19.6,19.5,17.4,26.1,21.1

المطلوب إيجاد معامل ارتباط سبيرمان بين كثافة الأشجار ومساحة قاعدة الأشجار.

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 55,71,79,82,122,192,307,404

y: 13.5,14.8,17.4,19.5,19.6,20.1,21.1,26.1

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
36	6	1	13.5	7	307	1
9	3-	6	20.1	3	79	2
0	0	2	14.8	2	71	3
1	1	5	19.6	6	192	4
1	1	4	19.5	5	122	5
25	5	3	17.4	8	404	6
49	7-	8	26.1	1	55	7
9	3-	7	21.1	4	82	8

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 130}{8 (64 - 1)} = 1 - \frac{780}{8 \times 63} = 1 - \frac{780}{504} = \frac{504 - 780}{504} = \frac{- 776}{504} = - 1 .539$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

البيانات المعطاة في الجدول التالي تمثل الكثافة العددية لأشجار الصنوبر (x) ومساحة قاعدة الأشجار (y)

x: 307,79,71,192,122,404,55,82

y: 13.5,20.1,14.8,19.6,19.5,17.4,26.1,21.1

المطلوب إيجاد معامل ارتباط سبيرمان بين كثافة الأشجار ومساحة قاعدة الأشجار.

الحل

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 55,71,79,82,122,192,307,404

y: 13.5,14.8,17.4,19.5,19.6,20.1,21.1,26.1

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
36	6	1	13.5	7	307	1
9	3-	6	20.1	3	79	2
0	0	2	14.8	2	71	3
1	1	5	19.6	6	192	4
1	1	4	19.5	5	122	5
25	5	3	17.4	8	404	6
49	7-	8	26.1	1	55	7
9	3-	7	21.1	4	82	8

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 130}{8 (64 - 1)} = 1 - \frac{780}{8 \times 63} = 1 - \frac{780}{504} = \frac{504 - 780}{504} = \frac{- 776}{504} = - 1 .539$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.

تمارين (2-4)

(1)- جد معامل الارتباط بين y, x من الجدول التالي:

3	2	1	x
6	4	2	y

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(2)- جد معامل الارتباط بين y, x

12	8	4	x
6	4	2	y

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(3)- جد معامل الارتباط بين y, x

7	6	5	4	3	x
14	12	10	8	6	y

معامل الارتباط = 1 والارتباط طردي تام.

(4)- جد معامل الارتباط البسيط بين المتغيرين y, x

9	11	5	4	10	8	9	6	8	7	5	2	x
8	9	4	3	9	7	6	4	6	5	3	1	y

الارتباط طردي قوي.

(5)- جد معامل الارتباط البسيط للمتغيرين y, x

2.6	3.8	1.2	4.2	3.3	2.5	1.3	1.5	x
5	7	1	8	6	4	2	3	y

(6)- من الجدول التالي جد معامل ارتباط سبيرمان

x: 50,70,80,40,30,60,65,70,75,55

y: 45,60,65,30,20,55,60,60,65,50

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 30,40,50,55,60,65,70,70,75,80

y: 20,30,45,55,60,60,60,65,65,65

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
0	0	3	45	3	50	1
2.25	1.5	6	60	7.5	70	2
1	1	9	65	10	80	3
0	0	2	30	2	40	4
0	0	1	20	1	30	5
1	1	4	55	5	60	6
0	0	6	60	6	65	7
2.25	1.5	6	60	7.5	70	8
0	0	9	65	9	75	9
25	5-	9	65	4	55	10

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 31 .5}{10 (10 - 1)} = 1 - \frac{189}{10 \times 9} = 1 - \frac{189}{10} = \frac{10 - 189}{10} = \frac{- 179}{10} = - 17 .9$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.

(7)- البيانات المعطاة في الجدول التالي تمثل الكثافة العددية لأشجار الصنوبر (x) ومساحة قاعدة الأشجار (y)

x: 307,79,71,192,122,404,55,82

y: 13.5,20.1,14.8,19.6,19.5,17.4,26.1,21.1

المطلوب إيجاد معامل ارتباط سبيرمان بين كثافة الأشجار ومساحة قاعدة الأشجار.

نرتب القيم تصاعدياً:

x: 55,71,79,82,122,192,307,404

y: 13.5,14.8,17.4,19.5,19.6,20.1,21.1,26.1

d²	d=x-y	y	y حسب التسلسل المعطى	x	x حسب التسلسل المعطى	-
36	6	1	13.5	7	307	1
9	3-	6	20.1	3	79	2
0	0	2	14.8	2	71	3
1	1	5	19.6	6	192	4
1	1	4	19.5	5	122	5
25	5	3	17.4	8	404	6
49	7-	8	26.1	1	55	7
9	3-	7	21.1	4	82	8

$r = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)} r = 1 - \frac{6 \times 130}{8 (64 - 1)} = 1 - \frac{780}{8 \times 63} = 1 - \frac{780}{504} = \frac{504 - 780}{504} = \frac{- 776}{504} = - 1 .539$

معامل الارتباط عكسي لأنه سالب.