يوجد (n) من الأوساط العددية بين 3، 36 ونسبة الوسط الثاني إلى الوسط الذي ترتيبه (1-n) هي $\frac{3}{10}$ فما قيمة (n)؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{3}{10}=\frac{(36+2\mathrm{d})}{(\mathrm{n}-1)}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36+2\mathrm{d})}{3}\\ & {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ & 3=36+\frac{72+4\mathrm{d}}{3}\times \mathrm{d}\\ & 3=\frac{36}{3}+\frac{72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2}{3}\\ & 3=\frac{108+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2}{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 9-9=-9+108+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2\\ & 0=99+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2\\ & 4{\mathrm{d}}^2+72\mathrm{d}+99=0\end{array} \\ (2\mathrm{d}+33)(2\mathrm{d}+3)=0 \\ \begin{array}{rl}& 2\mathrm{d}+33=0\to \mathrm{d}=\frac{-33}{2}\\ & \mathrm{or} 2\mathrm{d}+3=0\to \mathrm{d}=\frac{-3}{2}\end{array} \\ \mathrm{d}=\frac{-3}{2} \\ (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36+2\times \frac{-3}{2})}{3} \\ \begin{array}{rl}& (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36-3)}{3}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times \left(33\right)}{3}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{330}{3}=110\\ & \mathrm{n}=110+1=111\end{array} \end{gathered}$$

تمارين عامة على الفصل

(1)- لكل مما يأتي توجد أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة، أختر الإجابة الصحيحة:

أ) إذا كانت $⟨10,\mathrm{x},0\text{،}-5,\dots ⟩$ متتابعة حسابية فإن:

• x=5
• x=-5
• x=-5 والحد السادس = 10-
• ليس أياً مما ذكر.

ب) متتابعة حسابية حدها الثامن = 28 وحدها الحادي والعشرين = 67 فإن:

• أساسها = 3 وحدها الأول = 7-
• أساسها = 3- وحدها الأول = 7-
• أساسها = 3 وحدها الأول = 7
• أساسها = 3- وحدها الأول = 7

ج) عدد الأعداد الصحيحة المحصورة بين (1000)، (2000) ويقبل القسمة على (7) بدون باق هو:

• 142
• 143
• 144
• 285

د) رتبة الحد الذي قيمته $\frac{1}{192}$ في المتتابعة $⟨\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{6},\dots ⟩$ هي:

• 8
• 8-
• $\frac{1}{8}$
• $\frac{1}{2}$

(2)- يوجد (n) من الأوساط العددية بين 3، 36 ونسبة الوسط الثاني إلى الوسط الذي ترتيبه (1-n) هي $\frac{3}{10}$ فما قيمة (n)؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{3}{10}=\frac{(36+2\mathrm{d})}{(\mathrm{n}-1)}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36+2\mathrm{d})}{3}\\ & {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ & 3=36+\frac{72+4\mathrm{d}}{3}\times \mathrm{d}\\ & 3=\frac{36}{3}+\frac{72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2}{3}\\ & 3=\frac{108+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2}{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 9-9=-9+108+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2\\ & 0=99+72\mathrm{d}+4{\mathrm{d}}^2\\ & 4{\mathrm{d}}^2+72\mathrm{d}+99=0\end{array} \\ (2\mathrm{d}+33)(2\mathrm{d}+3)=0 \\ \begin{array}{rl}& 2\mathrm{d}+33=0\to \mathrm{d}=\frac{-33}{2}\\ & \mathrm{or} 2\mathrm{d}+3=0\to \mathrm{d}=\frac{-3}{2}\end{array} \\ \mathrm{d}=\frac{-3}{2} \\ (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36+2\times \frac{-3}{2})}{3} \\ \begin{array}{rl}& (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times (36-3)}{3}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{10\times \left(33\right)}{3}\\ & (\mathrm{n}-1)=\frac{330}{3}=110\\ & \mathrm{n}=110+1=111\end{array} \end{gathered}$$

(3)- أوجد مجموع الأعداد الصحيحة التي أكبر من 100 وأصغر من 1000 والتي لا تقبل القسمة على 5 بدون باق.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ & 995=105+(\mathrm{n}-1)\\ & 995=105+5\mathrm{n}-5\\ & 995=100+5\mathrm{n}\\ & 5\mathrm{n}=995-100\\ & 5\mathrm{n}=895\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{n}=\frac{895}{5}=179\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{179}{2}[105+995]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{179}{2}\left[1100\right]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=179\times 550\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=98450\end{array} \end{gathered}$$

(4)- ثلاثة أعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها = 14 وحاصل ضربها = 64 فما هذه الأعداد؟

(5)- إذا كان الزيت المستهلك من أحد الخزانات في كل يوم = $\frac{2}{3}$ ما يستهلك منه في اليوم السابق مباشرة فإذا استهلك منه في اليوم الأول (243) لتراً فبعد كم يوم يستهلك منه (665) لتراً؟

(6)- إذا كان $⟨\mathrm{x},7,\dots ,\mathrm{y},25⟩$ متتابعة حسابية وكانت 2 + y = 5x جد عدد حدود المتتابعة ومجموعها.

(7)- أي العبارات الآتية صائبة وأي منها خاطئة:

أ) إذا كان (r) أساس المتتابعة الهندسية <Un> فان $\mathrm{U}5={\mathrm{r}}^2.\mathrm{U}3$

ب) أساس المتتابعة الهندسية $⟨1,-1,1,-1,\dots ⟩$ هو (1)

ج) إذا كانت $⟨32,\mathrm{a},2,-\frac{1}{2},\cdots ⟩$ متتابعة هندسية فان 8-=a

د) اذا كانت $⟨4,\mathrm{x},16⟩$ متتابعة هندسية فان 8- = x

هـ) في المتتابعة حسابية $⟨3,7,11,\dots ,\mathrm{x},63⟩$ فان 59 = x

و) متتابعة حسابية حدها الثالث = 9 وحدها السابع = 3 - فإن حدها العاشر = 12 -.

(8)- متتابعة حسابية مجموع الحدود السبعة الأولى منها $\frac{35}{2}$ وحدودها الأول والثالث والسابع تكون متتابعة هندسية جد المتتابعة الهندسية.

(9)- كم حداُ يلزم أخذها ابتداءً من الحد الأول للمتتابعة الهندسية <... , 64,96,144> ليكون مجموعها 2059

(10)- متتابعة حسابية أساسها (3) وحدودها الثاني والرابع والثامن تكون متتابعة هندسية جد المتتابعة الهندسية.

(11)- ما عدد الأوساط الهندسية بين (1536)، (3) إذا كان الوسط الرابع (48).